Côtés homologues
Bonsoir,
Comment justifie-on proprement que, pour deux triangles semblables ABC et DEF, deux côtés (par exemple [BC] et [EF]) sont homologues ?
Comment justifie-on proprement que, pour deux triangles semblables ABC et DEF, deux côtés (par exemple [BC] et [EF]) sont homologues ?
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Réponses
On repère d'abord les sommets homologues, grâce aux mesures d'angles.
Ensuite c'est simple, il n'y a même plus besoin de regarder la figure.
C'est la démonstration, qui utilise Thalès, qui permet de savoir quel côté est homologue de quel autre.
Ensuite, comme pour Thalès (puisque ça vient de là), on observe en effet.
Rappel : pour Thalès, on met bien un côté avec un autre, et cela trois fois de suite.
Rien n'est justifié, on observe.
J'en déduis qu'ils sont semblables.
On doit en déduire le rapport d'agrandissement.
"Je sais" que [BC] et [DF] sont homologues (par observation) donc DF / BC = ...
Mais bon, ce côté observation ne me plait pas trop...
C'est la même chose.
Parles-tu du rangement dans l'ordre croissant des longueurs des côtés de chaque triangle ?
Ta question est "comment justifier".
Alors je te demande si tu justifies les égalités de Thalès.
Par exemple :
Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en P.
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Quels rapports de longueurs sont égaux et "pourquoi ceux-là" ?
PA / PB = PC / PD.
Le troisième, égal aux deux premiers, étant le rapport des segments de droites parallèles : AC / BD.
Une justification possible : il s'agit de proportionnalité entre les longueurs des côtes d'un triangle, et celles de l'autre.
On place les côtés de l'un au numérateur en plaçant au dénominateur le côté de l'autre tel que les supports sont parallèles.
Ce n'est jamais dit nulle part mais chaque quotient (et non seulement le troisième) contient des longueurs de deux côtés parallèles. Cela renvoie au caractère affine de ce théorème.
Mais là, j'affirme sans justifier. C'est ça que je veux te dire.
On dit "la figure est comme ça" donc "on a ces égalités".
La démo de Thalès montre que les côtés se placent "comme ça" dans le contexte de la proportionnalité.
Bref.
Revenons à deux triangles semblables.
La seule démonstration que je connais (collège) : avec des isométries (maximum trois symétries axiales) on peut transformer un triangle pour l'amener dans l'autre, pour que la configuration soit celle de Thalès.
Évidemment, ce sont les angles qui nous guident.
On renvoie le sommet de l'angle dont la mesure vaut $a$ sur le sommet de l'autre angle dont la mesure vaut $a$.
Ensuite on fait correspondre les côtés, là encore, selon les angles afin que deux côtés soient parallèles.
Et là, on a ce que l'on veut.
Ainsi, c'est avec les angles que l'on se repère.
Donc :
1) tableau des homologues des sommets (par lecture des angles)
2) rapports égaux en lisant le tableau des sommets.
Remarque : ce tableau est un tableau de valeurs.
La première ligne, les points de départ.
La seconde ligne, les images des points de départ par...la/une similitude qui renvoie un triangle sur l'autre.
Depuis les nouveaux programmes, on emmène le petit triangle dans le grand avec au plus trois symétries axiales, puis on effectue une homothétie pour transformer le petit en le grand. La composée de tout ça est la similitude dont j'ai parlé.
Puis on en déduit l'image des segments, angles, droites etc.
DEFINITION : Le rapport défini par trois points X, Y, Z (Y\neq Z) est le nombre réel |XZ|/|YZ|.
DEFINITION : Une similitude est une transformation du plan $\mathcal{S}:$ P $\mapsto$ P' qui conserve les rapports :
quels que soient les points X, Y, Z (Y\neq Z), on a |XZ|/|YZ| = |X'Z'|/|Y'Z'|.
THEOREME : A toute similitude $\mathcal{S}:$ est associé un nombre réel positif $\lambda$ tel que
|X'Y'| = $\lambda$|XY| quels que soient les points X, Y.
Preuve : Soit A, B, C D quatre points distincts. On a
$$
\frac{|\text{A'B'}|}{|\text{B'C'}|} = \frac{|\text{AB}|}{|\text{BC}|} \Longleftrightarrow \frac{|\text{A'B'}|}{|\text{AB}|} = \frac{|\text{B'C'}|}{|\text{BC}|} \qquad\text{De même}\qquad \frac{|\text{B'C'}|}{|\text{BC}|} = \frac{|\text{C'D'}|}{|\text{CD}|}
$$
A présent on fixe les points A, B et on fait varier (C, D) dans l'ensemble des couples de points distincts du plan, ce qui prouve le théorème.
Ce qui précède est le cadre dans lequel on peut aborder les cas de similitude des triangles. Il faudrait encore balayer dans les coins (C = D, etc.) mais l'essentiel est fait.
DEFINITION : Deux triangles sont semblables ss'il existe une similitude qui transforme le premier en le second.
3e CAS DE SIMILITUDE : Si deux triangles (ABC), (A'B'C') sont semblables, alors $|A'B'|/|AB|=|B'C'|/|BC|=...$
et réciproquement.
La preuve directe est facile, la réciproque difficile; on peut l'admettre en un premier temps sans que cela ne perturbe la démarche logique. Les questions d'angle se traitent via Al Kashi (th. du cosinus) et le concept de triangle standard : un triangle est standard ssi son diamètre est 1 , et tout triangle est semblable à un triangle standard.
En particulier le triangle standard associé au triangle de côtés $a$, $b$, $c$ a pour côtés $\sin\alpha$, $\sin\beta$, $\sin\gamma$.
Et ainsi de suite.
Cependant, on est au collège ici.
Pas de similitude.
On pourrait admettre "Thalès" et les propriétés de conservation de symétries axiales.
Je n'ai pas regardé la fin dans le détail, mais si on prend les triangles FGT et UIB, les sommets homologues sont F et U, G et I, T et B. Simplement parce qu'on a écrit "FGT et UIB".
Après, si on n'a pas écrit correctement, la preuve ne marchera pas, c'est tout. Mais dans certains cas, ça marchera toujours, par exemple si ce sont deux triangles équilatéraux dont on veut démontrer qu'ils sont semblables.
Cordialement.
Les noms des triangles ne doivent pas induire en erreur et entraîner des tableaux des sommets homologues complètement faux.
Cordialement.
Ce que tu me dis Dom me fait penser à l'exercice ci-après.
Pour ma part, je ne vois pas les trois symétries axiales en question avec l'homothétie mais plutôt une translation et une rotation.
Les similitudes ne sont pas au programme de collège (les homothéties sont abstraits pour les élèves, c'est déjà pas mal).
Pour ce qui est de l'homothétie, c'est juste si l'on désire transforme le petit en le grand une fois bien mis en place.
A 3 min 40, des écritures de tableaux comme l'indique Dom et que semble ignorer Arturo ?
Je dis "qui se correspondent" au lieu de "homologues". Autant éviter une surcharge de vocabulaire qui ne facilite pas la compréhension... Un détail ? Peut-être pas quand je lis la prose d'Arturo(:P)
Le plus chiant est d'espérer se retrouver avec le vocabulaire de l'épreuve du DNB : une situation absurde.
Ce choix d'exercice me semble consternant.
Une question que j'ai posée ici, sans réponse :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1582376