Nombres et grandeurs
Bonsoir,
1) En termes ensemblistes, y a-t-il un lien d'inclusion entre ces deux conceptions ?
Autrement dit, un nombre est-il une grandeur ?
Une grandeur est-elle un nombre ?
2) AB = 3 cm (par exemple).
En demandant aux eleves d ecrire une longueur avec des lettres, on attend qu'ils nous disent "AB".
Mais quelle question leur demander si on veux qu'ils nous disent "3 cm" ?
Parce qu'il semble qu'il ne faut pas confondre LA longueur (terme generique) comme etant une grandeur et, dans cette categore, il existe des longueurs (une infinité) comme par exemple 3 cm, 1 km, etc.
En bref, il ne faut pas confondre LA longueur et LES longueurs.
Alors J'ai bien pensè à demander "la valeur de la longueur", mais quand on demande par exemple d utiliser le theoreme de Pythagore pour calculer la longueur de l'hypotenuse [AB], on n attend pas que les eleves repondent AB mais 5 cm par exemple.
Pourtant, on n'a pas demande pas la valeur de la longueur de l'hypoténuse.
Je cherche une cohérence, rien d'autre.
Merci pour vos réponses.
1) En termes ensemblistes, y a-t-il un lien d'inclusion entre ces deux conceptions ?
Autrement dit, un nombre est-il une grandeur ?
Une grandeur est-elle un nombre ?
2) AB = 3 cm (par exemple).
En demandant aux eleves d ecrire une longueur avec des lettres, on attend qu'ils nous disent "AB".
Mais quelle question leur demander si on veux qu'ils nous disent "3 cm" ?
Parce qu'il semble qu'il ne faut pas confondre LA longueur (terme generique) comme etant une grandeur et, dans cette categore, il existe des longueurs (une infinité) comme par exemple 3 cm, 1 km, etc.
En bref, il ne faut pas confondre LA longueur et LES longueurs.
Alors J'ai bien pensè à demander "la valeur de la longueur", mais quand on demande par exemple d utiliser le theoreme de Pythagore pour calculer la longueur de l'hypotenuse [AB], on n attend pas que les eleves repondent AB mais 5 cm par exemple.
Pourtant, on n'a pas demande pas la valeur de la longueur de l'hypoténuse.
Je cherche une cohérence, rien d'autre.
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Réponses
C'est un sujet "sensible" surtout que dès que l'on parle d'unité de mesure...on sort des Mathématiques.
Les programmes suggèrent d'utiliser les unités dans les calculs (périmètre, par exemple).
J'avais rédigé un petit document, déposé sur le forum, qui traitait du terme "longueur" dans la sphère math et du terme "longueur" dans le secondaire.
Bref, c'est assez casse-tête.
Je ne sais même pas si je sais différencier parfaitement : grandeur, mesure, longueur, unité de longueur, unité de mesure de longueur...
Pour répondre à ta question :
Si l'on veut exiger la réponse du type "3 cm", on peut déjà commencer par dire "écrire la longueur en écriture décimale".
Pour exiger les "cm", on peut demander "Quelle est la longueur en cm ? Écrire la réponse en écriture décimale."
C'est important selon moi de seriner ce qu'est l'écriture décimale. Évidemment, dès la 5e...jusqu'à la Terminale on entendra "c'est quoi déjà l'écriture décimale ?" .
Une ecriture décimale n'a jamais été définie clairement et simplement : c'est dommage parce que c'est celle-là qu'on utilise le plus.
Tu pourrais me faire partager ce document, s'il te plait Dom ?
Dirions-nous que 3 cm est une mesure de la longueur ?
Une valeur ?
Probleme de "mesure' pour mesure d'angle : 30° est une mesure de la mesure de l'angle B...
Pour moi, oui, 3 cm est une mesure de la longueur d'un segment.
Mais dans le secondaire, 3 cm est appelée longueur.
à ce sujet, un article menant vers deux pages en .pdf pourrait vous intéresser : "Tout est affaire de mesure" :
http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/10/tout-est-affaire-de-mesure.html
Cordialement,
Encore une fois, tu cherches une rigueur totale dans un contexte (enseignement secondaire) où il ne peut pas y en avoir. Il s'agit de former progressivement des élèves qui ne savent pas à une connaissance imparfaite (on ne forme pas des matheux, on ne travaille pas axiomatiquement, etc.
Cette phrase "Pour moi, seul le nombre a une écriture décimale. " montre bien que tu t'imposes des contraintes inutiles. Inutiles, car il y a bien des écritures décimales pour les mesures du physicien et de l'ingénieur. Inutiles car tu ne peux pas, raisonnablement, imposer ça à tes élèves qui ne le comprendront pas : Tu n'es même pas capable de clarifier la situation pour toi !
Et encore une fois, tu es gêné par la polysémie du français : Un mot peut avoir plusieurs significations. Et le français se comprend par le contexte (comme toute langue naturelle). Ton exemple du théorème de Pythagore est éclairant : Si on demande la longueur du côté AB, la réponse AB par un élève te montrera qu'il se moque de toi ! Exactement comme mon copain de première qui répondait à "1 - L'équation a-t-elle des racines ?" par "Oui, car on les demande à la question 2".
Sinon, dès les éléments d'Euclide, on fait un distinguo entre nombre et grandeur, ce qui fait que la théorie des quotients se trouve à deux endroits dans les "éléments" d'Euclide. Mais depuis, on a défini des nombres pour les grandeurs géométriques, longueur, aire, volume. La distinction d'Euclide disparaît, la différence se fait entre "maths pures" et "maths utilitaires". Et en collège, on fait des maths utilitaires, celles dont les citoyens ont besoin dans la vie de tous les jours (comptes en €, surfaces de l'appartement ou du terrain, vitesse moyenne ou instantanée de la voiture, ...). Et un prof de collège ne doit pas avoir honte de former des citoyens qui comprennent. Car c'est son travail prioritaire, il ne forme pas des matheux : En 20 ans de lycée, je n'ai aucun de mes élèves qui est devenu mathématicien. Mais une bonne partie se sert toujours de mathématiques utilitaires.
Cordialement.
J'ai du mal à me dire que j'enseigne une discipline qui a des principes et que je vais devoir m’asseoir dessus.
Bon, on s'éloigne du fil initial.
Je réfléchis à trouver des alternatives.
Mais si on tire la rigueur à soi : faudrait-il faire de la théorie des ensembles avant de tracer un carré ?
Faudrait-il présenter Peano avant de compter jusqu'à 10 ?
Remarque : D'ailleurs je n'aime pas ces chapitres qui parlent explicitement de "grandeurs produit" ou "grandeurs quotients".
C'est inutile selon moi.
Cela dit, il n'est pas inutile de dire aux élèves que tu ne sais pas définir ce qu'est le "cm" mathématiquement.
Mais que tu vas l'utiliser souvent.
Autre suggestion : "Quel est le nombre de centimètres, en écriture décimale, qui est égal à AB ?" .
Bon je raye, c'est n'importe quoi.
On ne parle pas de nombres et de grandeurs mais de grandeurs et de mesures.
Une grandeur est quelque chose que l'on peut mesurer ou relever.
Exemple de grandeur : ta masse, ta taille, ton age, ta pointure de chaussure, ton acuité visuelle, ...
Attention : certaines grandeurs sont mesurables et d'autres non, elles sont alors dites repérables.
Pour faire simple une grandeur est mesurable si sa mesure est toujours positive et si on peut la "doter" d'une addition qui fonctionne comme on l'attend.
Exemple : Tu prends un volume $V_1$ d'eau à 30°c et un volume d'eau $V_2$ à 20°C. Tu les mélanges, que se passe t-il ?
Concernant le volume résultant, c'est facile, c'est $V_1 + V_2$. Pour la température résultante ? Tu ne peux pas dire grand chose ...
Voilà pourquoi le volume est une grandeur mesurable et pas la température. (Si tu fais attention à la météo, ils parlent des températures relevées sous abris).
Ensuite, une grandeur peut avoir plusieurs mesures, tout dépend de l'unité (c'est à dire l'étalon) choisi pour la mesurer.
Exemple : Pour la température, la mesure "relevée" est différente suivant les °C ou °F.
Qu'est ce que le cm, c'est une sous unité issue du mètre étalon utilisé en France pour mesurer les longueurs.
Pour ce qui est de la théorie, celle qui est le plus souvent prise en exemple est celle d'Hilbert. Elle est reprise dans le document ressources grandeurs et mesures
Et quel est ton avis sur mes questions ?
Il me semble que si on mélange 1dm³ d'eau à 80° et 1dm³ d'eau à 4° le volume du mélange est à peu près 2dm³.
Mais vraisemblablement pas exactement.
La densité de l'eau change avec la température.
Ceci étant dit je pense que ce genre de considération n'a rien à voir avec les mathématiques.
Où on décide que certaines mesures sont additives, ou pas.
Pour le 1) un nombre n'est pas une grandeur c'est sûr. Et une grandeur n'est pas non plus un nombre. Quand à la mesure d'une grandeur, ce n'est pas un nombre mais c'est toujours un couple nombre et unité. Pour un segment, une mesure, c'est par exemple 5 cm. Mais ce n'est pas 5 tout seul (ni cm tout seul). Mais on voit déjà que le nombre seul n'est pas une grandeur ni une mesure.
Il y a un abus de langage qui fait que l'on parle toujours de la mesure alors qu'il serait plus judicieux de parler d'une mesure de ce segment. Avec le système métrique, il est plus judicieux d'utiliser les cm. Mais une mesure possible est aussi 0,5 dm. Ou avec le système anglais environ 2 pouces.
Pour le 2) il faut donc demander aux élèves la mesure de la longueur, c'est à dire le couple nombre et unité. Pour avoir des cm, tu peux demander d'exprimer cette mesure en cm.
Pour moi, qui ne suis pas non plus un spécialiste, l'important c'est de bien identifier la grandeur avec laquelle on travaille. Le problème, c'est qu'avec le segment, ça devient implicite, c'est toujours la longueur. Quand tu travailles avec un polygone, tu précises toujours si tu travailles avec l'aire ou le périmètre ou autre ... Ensuite il faut préciser si tu utilises la grandeur seule ou une mesure, c'est à dire un couple nombre unité. Car là aussi, il n'y a pas d'obligation. Pour s'en convaincre, il suffit de regarder le nombre impressionnant de démonstrations du théorème de Pythagore qui n'utilisent aucune mesure, mais qui sont parfaitement valables. Ces démonstration prouvent que l'on n'a pas besoin d'une mesure d'une longueur pour l'élever au carré, il suffit de dessiner un carré ayant pour côté un segment de longueur donnée. Le dessin est bien sûr fait au compas pour éviter toute mesure. Et dans le cas du théorème de Pythagore, quand tu as tes 3 carrés, c'est à toi de voir comment les découper et les réassembler pour arriver à une preuve. Mais en aucun cas, on fait intervenir une unité et utiliser une mesure.
Les bâtisseurs de cathédrales en France semble-t-il n'ont pas donné au hasard certaines longueurs (certaines hauteurs correspondraient aux mesures du temple de Salomon, la hauteur de la Jérusalem céleste qui ferait 144 unités de hauteur, la longueur de l'arche de Noé, entre autres) mais ils n'utilisaient pas tous la même unité de longueur ("pied de roi", "pied romain"), "le pied de roi" est plus long que le "pied romain" ce qui fait que la cathédrale de Beauvais est plus haute que celle d'Amiens (et les bâtisseurs se sont donnés comme cahier des charges d'avoir la hauteur intérieure des deux cathédrales de 144 unités).
Voir les quinze dernières minutes de https://www.arte.tv/fr/videos/041820-000-A/les-cathedrales-devoilees/
(par ailleurs c'est un documentaire très intéressant sur la construction des cathédrales)
Lorsque l'objet du discours se complique, il convient d'être de plus en plus attentif à la façon dont on en discourt. Cela s'appelle "rédiger de façon rigoureuse".
Par contre, étaler une couche de gloubi-glouba rigourosique sur un contenu limité, et augmenter l'épaisseur de cette couche au fur et à mesure que le contenu diminue, cela relève d'une attitude compulsive et non d'une attitude raisonnée. Il n'y a pas lieu de s'émerveiller d'une certaine ressemblance entre les nombres et les grandeurs... parce que les nombres ont été construits pour mesurer ces grandeurs !
citation: "une grandeur est quelque chose que l'on peut mesurer ou relever". N'hésitons pas à ajouter qu'une mensuration est quelque chose que l'on peut grandorer: le cercle étant "parfait", rien n'est plus parfait qu'une définition circulaire !
citation: "une grandeur est mesurable si sa mesure est toujours positive". Ben voyons. Lorsque l'on mesure la position d'un objet, on obtient un vecteur. Et les petits zenfants notent dans leur cahier: il est toujours positif de mesurer les conséquences de ce que l'on raconte.
Cordialement, Pierre.
1° $0_M$ est le plus petit élément de $M$.
2° Pour tous $x,y,z\in M$, si $x\leq y$ alors $x+z\leq y+z$.
3° $(M,+\leq)$ est archimédien au sens suivant: pour tous $a,x\in M$ avec $a> 0_M$, il existe $n\in \N$ tel que $na\geq x$.
(si $n\in \N, a\in M$, $na$ signifie bien sûr $a+a+...+a$ $n$ fois.)
Alors pour tout $m>0$ dans $M$, il existe une unique application croissante $f$ de $M$ dans $\R_+$ telle que $f(m)=1$ et pour tous $x,y\in M$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Pour parler avec des catégories, $\big((\R_+,\leq),1\big)$ est un objet final de la catégorie des couples constitués d'un monoïde archimédien (dont le neutre est le minimum) et d'un de ses éléments non nuls, munie des morphismes évidents.
Pour le prouver, lorsque $m\in M\backslash \{m\}$ est donné, on pose pour tout $x \in M$, $f(x)=\inf \left\{ \frac{p}{q}\mid p\in \N, q \in \N^*, qx \geq pm\right\}$, puis on vérifie que $f$ convient.
Ca revient à faire des petits pas pour encadrer $x$ avec des multiples de l'étalon $m$.
On peut montrer aussi que pour tout $b\in \N$ tel que $b\geq 2$, et tout $x\in M$ on a $f(x)=\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{k_n(x)}{b^n}$ où $k_n(x)=\min \{k \in \N \mid km \geq b^n x\} $, on retrouve l'écriture de la mesure de $x$ en base $b$.
Par exemple si $b=10$, $M$ est un ensemble de grandeurs géométriques et si$x$ est l'hypothénuse d'un triangle rectangle de côtés $(3m,1m)$. vous allez vous retrouver avec $3m\ x < 4m$, puis $31m \leq 10 x < 32 m$ puis $316 m \leq 100 x < 317 m$ puis ... etc.
Si le monoïde $(M,+)$ a de plus la propriété que pour tout $x\in M$ et $n\in \N^*$, il existe $y\in M$ tel que $ny=x$ alors on peut simplifier la procédure ci-dessus (on aura $\frac{k_n(x)-1}{b^n}m <x \leq \frac{k_n(x)}{b^n}m$) et en fait $f(x)=\inf \{\alpha\in \Q_+ \mid x \leq \alpha m \}$.
Et d'une ce n'est pas toi qui à élevé le débat avec ce que tu y as apporté !
Et de deux quand tu ne connais pas un sujet, tu n'es pas obligé de participer à la discussion.
Et de trois, tu as raison, j'étale une science que je n'ai pas et je m'en vais.