Primitive d'une fonction continue

jules adwan · December 2017

Étant donnée une fonction continue f à variable réelle définie sur un intervalle ouvert, est-il possible de déterminer la nature de l'intervalle de définition d'une primitive de f ?
et s'il s'agit d'une primitive vérifiant une certaine condition ??

jules adwan · December 2017

??

gerard0 · December 2017

Bonjour.

A priori, la primitive est définie sur le même intervalle. Si f est continue sur I, ouvert non vide, et a est un élément de I, toutes ses primitives s'écrivent $x\mapsto \int_a^xf(t)\, dt + C$ où $C$ est un réel et x varie dans I.
Je ne comprends pas la notion de " primitive vérifiant une certaine condition", sauf si c'est du genre $f(a)=b$ auquel cas j'ai implicitement déjà répondu.

Cordialement.

jules adwan · December 2017

voila ma réponse à l'aide de la pièce jointe
cordialement 70948

Poirot · December 2017

Tout ce qui compte, c'est là où est dérivable la primitive en question. Par définition, c'est sur l'intervalle où est définie la fonction continue de départ. Ensuite il se peut qu'on puisse prolonger par continuité la primitive au-delà mais c'est une autre histoire.

Dom · December 2017

Un complément : c'est la "formule" qui induit en erreur.
On connaît tellement $x \mapsto \sqrt{x}$ défini sur $\mathbb R^+$ que l'on prolonge instinctivement.

Par exemple : une primitive de la fonction identité ($x \mapsto x$) sur $[0;1]$ est la fonction définie sur $[0;1]$ par $x \mapsto \dfrac{x^2}{2}$.
Et on se dit "ha c'est défini sur $\mathbb R$ du coup".
Mais il n'en n'est rien puisque c'est une autre fonction que l'on a dans la tête.
Et même, si on prolonge une primitive, alors la fonction obtenue n'est plus une primitive de ladite fonction, sauf à restreindre cette primitive à l'ensemble de définition de l'originale.

Ces choses là demandent une certaine maturité malgré leur simplicité.