Monotone

Et pour certains élèves si $f$ est dérivable sur $]-\infty, 0]$ et $f$ dérivable sur $[0,+\infty[$ alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Mais je ne suis pas sur que ce soit du à l'abus du qualificatif dérivable :-D

Une fonction peut même être monotone constante (donc croissante et décroissante) sur I et monotone constante sur J...mais pas nécessairement sur la réunion ;-)

J'ai bien cru que tu allais nous parler d'une inqualifiable langueur ;-)

Euh j’ai un doute là... f peut être dérivable sur [0; + inf[ et sur ]-inf; 0] sans être dérivable sur R?

$x \mapsto \vert x \vert$

Elle coïncide avec $x\mapsto x$ sur $[0,+\infty[$. Tu n'es pas d'accord que $x\mapsto x$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ ?

Oui je suis d’accord. Néanmoins, on dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle lorsqu’elle est dérivable en tout point de cet intervalle. Comme elle n’est pas dérivable en 0, ça me gêne franchement de dire qu’elle l’est sur [0;+inf[

Mais quel $f$, cher @gb ? La restriction à $\mathbb R+$ de $f$ définie sur $\mathbb R$ ... (qui ne s'appelle pas $f$ a priori) ?

Être dérivable sur $E$ signifie bien être dérivable en tout point de $E$.

@Foys cerne mieux le problème selon moi car il parle bien de deux restrictions d'abord, c'est-à-dire de deux fonctions distinctes, puis d'une nouvelle fonction dont on a réuni les domaines des deux précédentes.

N'est-ce pas un abus de langage finalement.

D'ailleurs @GaBuZoMeu et @Héhéhé, n'entretenez-vous pas une ambiguïté en ne donnant pas le domaine de la fonction ?

[small]Je n'ai pas encore cherché de sources contradictoires.[/small]

Ha...j'en suis baba...et vais reprendre un rhum !!!

C'est l'époque où les foies sont sollicités.
Je m'interroge davantage sur la bonne foi, ce soir... mais sans animosité, bien entendu.

Assez d'accord avec @Badiste75 sur ce coup.

Seule échappatoire : préciser que dans le secondaire, les restrictions ne sont pas explicitement au programme et surtout que l'on parle de fonction sans donner les ensembles de définitions...

Il reste du Rhum ? Ça prévient les rhumes, paraît-il ;-)

dom a écrit:

Seule échappatoire : préciser que dans le secondaire, les restrictions ne sont pas explicitement au programme et surtout que l'on parle de fonction sans donner les ensembles de définitions...

Encore une absurdité des programmes.....
Comment peut-on parler de fonction en escamotant la notion d'ensemble de définition ????
On ne peut dans ce cas définir de façon à peu près rigoureuse les notions de continuité et de dérivabilité.....
Ce flou non artistique est préjudiciable à la formation de futurs scientifiques...

paf a écrit:

Le piège est qu'on regarde la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle fermé et je ne crois pas que ça se fasse beaucoup au lycée ni même en L1.

J'ose espérer que l'on étudie les notions de dérivée à gauche et à droite en L1.
Si ce n'est pas le cas, c'est vraiment CONSTERNANT......

@zeitnot
Oui. Mais on donne souvent une expression dont on demande quel est l'ensemble de définition.
Enfin, on a arrêté de faire cela à l'examen depuis quelques années.


Comme ici, on lit "la fonction valeur absolue" ou encore "$x\mapsto |x|$" dans des messages, plus haut, sans être accompagné de quel qu'ensemble que ce soit.
Ça me laisse dubitatif...

Mais je suis complètement d'accord avec toi !*

Ce n'est pas ce que je lis plus haut.

La restriction à un certain ensemble, oui, ok.
Mais si on considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R$, et si $E$ est un sous-ensemble strict de $\mathbb R$, alors les phrases suivantes ne sont pas équivalentes :
1) $f$ est dérivable sur $E$.
2) la restriction de $f$ à $E$ est dérivable sur $E$.

[small]*Bon, j'aurais noté $|.|$ au lieu de $|x|$ mais c'est accessoire sur le fond de la discussion. [/small]

De mon point de vue (*), la notion de dérivabilité n'a de sens que dans un ouvert : pour parler de dérivabilité en 0 de $\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R,\,x \mapsto |x|$, il faut savoir que $[0, +\infty[$ est un ouvert de $[0, +\infty[$.
Ça demande des rudiments de topologie qui ne sont généralement pas connus au lycée ou en L1. J'éviterais donc de parler de ce problème à ces niveaux (ou du moins d'attendre des étudiants qu'ils soient capables de répondre à ce genre de subtilité).

Mais c'est vrai que la place des ensembles de définition, de départ et d'arrivé est ambigüe dans l'enseignement : parfois ils sont donnés dans la définition de la fonction mais parfois on demande de les déduire de l'expression (= la définition?!) de la fonction.

Personnellement, je me souviens très nettement m'être fait la remarque suivante en voyant la définition de la surjectivité pour la première fois : "Mais elle est bête cette définition... toutes les fonctions sont surjectives alors !".

(*) EDIT : Du coup, j'éviterais de dire que $|\cdot|$ définie sur $\mathbb R$ est dérivable sur $[0, +\infty[$. Je comprends que l'on puisse l'accepter et je l'accepte moi-même lorsque l'on a le même problème avec la continuité («$f$ est continue sur $[a,b]$ alors qu'elle n'est pas continue à gauche en $a$») mais, pour une raison qui m'échappe, je tiens à être plus prudent avec la dérivabilité qu'avec la continuité.
Ce que je veux dire, c'est que le problème de fond, c'est que connaître le sens de $\lim_{x\rightarrow 0}$ demande de connaître les voisinages de $0$.