Domaine de continuité d'une fonction

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

Considérons la fonction inverse.

Il est faux de dire que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ car $-2<2$ et $\dfrac{1}{-2}<\dfrac{1}{2}$. On doit donc dire que la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

Par contre je ne comprends pas pourquoi il est faux de dire que la fonction inverse est continue sur $\mathbb{R}^*$ ? Pour moi elle est continue en tout point de $\mathbb{R}^*$ donc elle est continue sur $\mathbb{R}^*$.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Qui dit que c'est faux ?
  • zeitnot
    zeitnot
    C'est même carrément vrai en fait !
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Dom
    Dom
    Le seul truc déjà vu dans des bouquins : ne définir la continuité que sur un intervalle.
    Est-ce la raison ?
  • gerard0
    gerard0
    C'est une contrainte inutile.
    La définition topologique de la continuité (les images réciproques des ouverts sont des ouverts) ne parle pas d'intervalle, ni même de connexité.

    Rappel : la continuité est une notion locale, pas la monotonie.

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Oui, oui, complètement d'accord.

    Cela me rappelle l'autre discussion où je n'ai pas compris totalement les positions de tous : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1589906.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Oui j'ai vu ça dans un manuel de TS. Et c'est peut être effectivement dû au fait que l'on ne définit la continuité que sur un intervalle.
  • gerard0
    gerard0
    Bulledesavon : Est-ce que, dans les programmes du secondaire, on ne définit la continuité que sur un intervalle ? Ça me paraît tellement superflu que je suis surpris. Je parle bien des programmes, pas des manuels, parfois assez mal rédigés.

    Attention, si f est continue sur [a,b[ et sur [b,c], elle n'a aucune raison d'être continue sur [a,c] : La continuité sur un ensemble est une notion locale, mais qui dépend de l'ensemble considéré. Quand j'enseignais ça, je me contentais de définir les fonctions continues (continue en tout point du domaine de définition) sans parler de "continuité sur ...". Si on avait besoin de se restreindre à un intervalle, on parlait d'une nouvelle fonction, la restriction à l'intervalle.

    Cordialement.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Bonjour,
    Dans le programme officiel :

    --> Contenu : continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires.
    --> Commentaires : On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle.

    Peut être que les auteurs de certains manuels ont prêté attention au <<sont continues par intervalle>> et c'est pourquoi ils imposent que la fonction inverse est continue <<sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$. Mais dans la correction d'un QCM, ils ont dit qu'il était faux de dire que la fonction inverse était continue sur l'union des deux intervalles précédents et qu'il fallait dire qu'elle était continue sur chacun des deux intervalles. Et je n'étais pas d'accord avec le fait que ce soit faux de dire qu'elle était continue sur l'union.
  • Dom
    Dom
    Alors cela peut s'expliquer (mais c'est assez grave*...enfin je ne sais plus ce qui est grave, à force...) :
    Si la notion intuitive est que l'on peut relier un point du graphe à une autre par une ligne "sans lever le crayon" alors oui, y'a un problème.
    Comme le dit @gerard0, c'est une propriété locale et l'idée intuitive semble globale, un peu comme la connexité (par arcs) justement, ou la convexité aussi.

    *Pour ceux qui vont poursuivre leurs études en maths., ça leur met des choses dans la tête qu'il va falloir chasser ensuite...comme d'habitude.
    Et pourtant, le terme "continu" a été choisi, certainement pour donner cette idée de "sans lever le crayon", non ?

    Enfin, on a certainement l'explication de cette histoire de QCM.

    Edit : la notion mathématique qui se rapproche de l'idée intuitive est peut-être la "discontinuité de première espèce" ?
    Je n'y ai pas beaucoup réfléchi, ne me tombez pas dessus.
  • gerard0
    gerard0
    Ok.

    La continuité du programme ne sert qu'au théorème des valeurs intermédiaires. Donc inutile de s'étaler sur cette notion, et le QCM est une réalisation de prof malsain qui cherche à piéger ses élèves. Pire, le programme de définit jamais la continuité sur autre chose qu'un intervalle, donc cette question est hors programme. Ce QCM est idiot !!
    Et si la réponse est "faux", le rédacteur du QCM est mauvais en maths !!

    Cordialement.
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