Nouveau programme math collège lycée 2018

Voici le nouveau programme de maths pour le collège et lycée
préconisé par Lafforgue, je trouve que c'est très bien.

Je l'ai trouvé ici
L'enseignement des mathématiques par Laurent Lafforgue
https://www.epparis.org/project/seminaire-quel-enseignement-secondaire-pour-le-xxie-siecle/

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Au collège
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– Pour l’arithmétique au collège, l’étude systématique de la
division euclidienne d’un entier par un autre, avec comme conséquences
l’unique décomposition de tout entier ou de toute fraction en produit de
puissances de nombres premiers et l’existence et les propriétés des
anneaux Z/dZ.
Le but du cours peut être d’étudier les équations polynomiales de
degré 1 ou 2 à coefficients dans ces anneaux et particulièrement dans les
corps Z/pZ. Cela conduit à la question de savoir quels éléments non nuls
de Z/pZ sont des carrés.
– Pour la géométrie au collège, l’étude des procédés de
construction de points du plan et donc de la droite et de l’espace, ainsi
que celle des symétries (respectant les distances, c’est-à-dire les
isométries) du plan et de l’espace.
On propose d’étudier quatre procédés de construction de points : à
la règle, à la règle et à l’équerre, à la règle et au compas, et par
approximations successives. L’autre but du cours serait de déterminer
toutes les symétries du plan et de l’espace et d’étudier comment elles
agissent concrètement par des constructions à la règle et à l’équerre.
– Pour l’analyse au collège, l’approximation des nombres réels par
des suites de fractions, la notion de coordonnées numériques d’un point
puis la définition par approximations successives des notions de
longueur d’une courbe, d’aire d’une surface plane, de volume d’un corps
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spatial et d’aire de son bord, avec leurs propriétés d’invariance par
isométries et d’homogénéité par dilatations.
La définition des longueurs des arcs de cercle permet d’introduire
la notion de mesure des angles et donc les coordonnées polaires des
points du plan et les coordonnées sphériques des points de l’espace (en
faisant bien sûr le rapport avec les notions de longitude et de latitude). Le
passage des coordonnées polaires ou sphériques aux coordonnées
cartésiennes permet d’introduire les fonctions cosinus et sinus.
Le but du cours peut être de démontrer les formules de calcul des
longueurs, aires et volumes des figures introduites dans la partie
géométrique du cours, en particulier les formules pour l’aire d’un
triangle, d’un disque ou d’une sphère, et pour le volume d’une pyramide,
d’un cylindre ou d’une boule.


2)Au lycée
– L’arithmétique au lycée peut être consacrée à l’étude des formes
quadratiques (c’est-à-dire des polynômes homogènes de degré 2 en
plusieurs variables) à coefficients dans les fractions, dans les entiers et
dans les Z/nZ.
Le but du cours peut être de démontrer, d’une part, que tout entier
est somme de quatre carrés (mais pas de moins) et que les formes
quadratiques à coefficients entiers satisfont le « principe de Hasse » (au
moins dans le cas de trois variables) : elles ont une solution non triviale
dans les entiers si et seulement si elles ont une solution non triviale dans
les nombres réels et dans Z/dZ pour tout entier d.
– La géométrie au lycée peut être consacrée à l’étude algébrique
des points du plan qui sont constructibles à la règle et au compas.
Cela exige de traduire les intersections de droites et de cercles en
systèmes d’équations de degrés 1 ou 2, puis d’introduire progressivement
les notions de corps engendré sur un autre par un élément algébrique, de
degré d’une telle extension, donc d’espace vectoriel sur un corps et de
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dimension d’un tel espace vectoriel, de comportement des degrés des
extensions dans des suites d’extensions emboîtées, de polynôme minimal
d’un élément algébrique et pour cela de division euclidienne d’un
polynôme par un autre.
Le but du cours pourrait être d’une part de démontrer que la
duplication du cube, la trisection de l’angle et la quadrature du cercle
sont impossibles et d’autre part de donner un critère nécessaire et
suffisant pour que le polygone régulier à n côtés soit constructible à la
règle et au compas.
– L’analyse au lycée peut être consacrée à donner un traitement
mathématique complet et rigoureux de la démonstration des trois lois de
Kepler (dans le cas, bien sûr, où on ne considère que deux corps célestes)
à partir de la théorie de l’attraction universelle de Newton.
Cela suppose d’introduire le calcul différentiel – avec les notions
de vitesse et d’accélération –, le calcul intégral et la relation qui les lie.
Les trajectoires possibles d’un corps céleste soumis à la loi de
Newton sont planes et de trois types possibles : ellipse, hyperbole ou
parabole. Ce sont les trois types possibles de coniques c’est-à-dire de
courbes planes définies par des équations de degré 2.
On voit ainsi qu’un thème unificateur pour l’ensemble de cette
esquisse de programme de mathématiques au collège et au lycée est celui
des équations polynomiales de degré 2 en une ou plusieurs variables