Comprendre les mathématiques

Bonsoir torA,

je souhaiterais que vous écriviez un théorème et sa démonstration vus (par vos yeux à vous) en collège ou lycée.

S

torA : la démonstration ne tient pas à partir du moment où il est écrit « Si $f$ est strictement décroissante alors $f(a) > f(b)$ ». Peu importe ce qui suit le « alors », à vrai dire, il est juste impossible, sur le plan de la logique, de démontrer un résultat en supposant qu'il est vrai (supposition qui est faite dans cette phrase).

Ce qu'il faut faire : montrer que quels que soient les réels $a$ et $b$ dans $]-\infty; 0]$, si $a < b$, alors $a^2 > b^2$. Pour cela, tu peux commencer en disant :

« Soient $a$ et $b$ dans $]-\infty; 0]$ tels que $a < b$. »

Je te laisse le soin d'écrire la suite.

torA, de quelle implication parles-tu ? Il faut être précis, sinon on n'y arrivera pas, je crains...

Je vais tenter une réponse plus constructive que celle de Samok, mais je ne garantie rien.

Déjà sur ta démonstration : elle serait correcte si il n'y avait pas un brouillard logique assez dérangeant (et qui a visiblement dérangé). Dans une version corrigée de ta preuve, il n'y aurait aucune différence dans les connecteurs logiques entre les étapes.
Là, tu utilises une forme "Si ... alors ...", puis "Par suite" puis "<=>", qui n'ont pas le même sens. Il arrive que l'on veuille varier les mots pour éviter l'ennui, mais il faut alors utiliser des synonymes. De plus, ces connecteurs logiques que tu utilises sont soit faux, soit surchargés. Il serait bon que tu te corriges.

Autre point sur cette propriété : il y a beaucoup de façons différentes de la prouver. Le passage par l'identité remarquable est sympa mais, comme il peut être remplacé par plein d'autres raisonnements, il n'éclaire pas beaucoup sur le sens de cette propriété (qui n'est déjà pas d'une fulgurance épiphanique).

Pour essayer de répondre plus globalement : on ne comprend jamais véritablement les mathématiques. On peut comprendre des mathématiques de façon satisfaisante mais rarement de façon complète. La première étape de cette compréhension passe effectivement par la preuve de résultats mathématiques. Pour la suite, chacun est juge de ce qu'il considère une compréhension satisfaisante d'un résultat (être capable de retrouver la preuve longtemps après l'avoir oubliée, situer la place du résultat dans sa théorie environnante, trouver l'exemple particulier qui illustre le cas général ou, au contraire, les contre-exemples qui justifient la nécessité des hypothèses, avoir des images mentales qui illustrent le résultat, etc...).

EDIT : Un seul "s" à contre-exemples.