Courbes de $\exp$ et $\ln$

stephaneidf : oui la symétrie par rapport à la première bissectrice permute les coordonnées, mais je réfléchissais à une manière simple de rédiger la preuve (en terminale) que les courbes des fonctions exponentielles et logarithmes sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
Peut être commencer justement par cette phrase puis montrer que pour passer d'un point de la courbe de la fonction exponentielle à la fonction logarithme on permute les coordonnées :\vspace{1cm}

"Le symétrique du point M(a;b) par rapport à la première bissectrice est le point M'(b;a).
Or on a les équivalences suivantes :

$M(a;b)\in\mathcal{C}_{\exp} \Longleftrightarrow e^a=b \Longleftrightarrow a=\ln b\Longleftrightarrow M'(b;a)\in\mathcal{C}_{\ln}$.

Donc le symétrique par rapport à la première bissectrice d'un point de la courbe de la fonction exponentielle est un point de la courbe de la fonction logarithme et inversement.
On en conclut que les courbes des fonctions exponentielles et logarithmes sont symétriques par rapport à la première bissectrice."


C'est mieux comme ça ?
Quelle est la définition de "deux courbes du plan $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont symétriques par rapport à un axe $\Delta$ " ?
J'aurais envie de dire que la définition est :
"Les courbes $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont symétriques par rapport à l'axe $\Delta$ si par définition, $\mathcal{Q}=\{M'$ symétrique de $M$ par rapport à $\Delta$, $M\in\mathcal{P}\}$.


Dans notre cas, on souhaite donc montrer que $\mathcal{C}_{\ln}=\{M'$ symétrique de $M$ par rapport à $\Delta$ où $M\in\mathcal{C}_{\exp}\}$.

\begin{align*}
\{M' \text{ symétrique de } M \text{ par rapport à } \Delta \text{ où } M\in\mathcal{C}_{\exp}\}&=\{M' \text{ symétrique de } M(a;b) \text{ où } a \text{ est réel} \text{ et } b=e^a\}\\
&=\{M'(b;a) \text{ où } a \text{ est rée}l \text{ et } b=e^a\}\\
&=\{M'(b;a) \text{ où } b >0 \text{ et } a=\ln b\}\\
&=\mathcal{C}_{\ln}
\end{align*}