Les vecteurs en Seconde

C'est même mieux maintenant puisque les nouveaux lycéens ont entendu parler de translations au collège !

C'est un chapitre avec lequel je suis assez mal à l'aise à cause de ce problème de définition qu'on ne peut pas donner clairement en seconde.

Kioups a écrit:

C'est même mieux maintenant puisque les nouveaux lycéens ont entendu parler de translations au collège !

Tu es vraiment persuadé de ce que tu dis.....ou alors c'est ironique ?

Demande donc à un élève de TS ce qu'est un vecteur (dans le meilleur des cas il te dira que ce sont deux lettres avec une flèche dessus....)

Chez certains élèves de TS tout cela crée un véritable gloubiboulga (confusion entre vecteur, distance, affixe, points......)
Comment peut-on être arrivé en TS et parler dans sourciller de "points colinéaires" ?
Voilà ce qu'il en coûte de ne plus rien définir...et donc de ne plus faire de maths au lycée....

Faire mumuse avec scratch ou geogebra en troisième pour faire semblant de parler de translations n'améliorera en rien leur compréhension de la notion de vecteur en seconde.....je parierais même que cela sera pire encore....

Plutôt que faire des zaktivités stériles calibrées pour plaire aux adjudants pédagogiques régionaux, il faudrait revenir au cours magistral bien structuré.

Et pourquoi pas co-conique d'ailleurs ? X:-(

Un vecteur c'est la difference de deux points.

@parisse : des carottes moins des carottes donnent des navets ou comment ajouter de la confusion à la confusion .

Domi

Oui mais ici le $-$ n'est pas une différence. $A-B$ abrège $\overrightarrow{BA}$, c'est une pure notation.

En effet @nicolas patrois, des prepas CAPES proposaient cela aussi dans les années 2000, et même au CNED d'ailleurs (là professeur qui rédigeait ces parties là, dispensaient les cours à Paris 6).

Mais tu sais bien qu'un + ici et qu'un - là...ça va être géré n'importe comment par les gamins.
Même si c'est un bon exercice de compréhension finalement.

@parisse
C'est tout de même une addition "extérieure" car on ajoute un objet à un autre de nature différente.
C'est en cela que je dis que c'est un bon exercice mais que c'est très difficile.

Évidemment c'est d'une cohérence implacable, ça personne ne le conteste.

Oui...et non.
On a abrégé une somme d'un truc avec le même truc.
Bon si c'est pas un entier, ça se discute ;-)

Curieusement (ou pas) : les additions strictement vectorielles passent bien avec Chasles (on introduit un point et patati et patata). Les multiplications par un scalaire aussi je trouve. Même si ces dernières créent des absurdités d'écriture pour certains.

Anecdote : J'ai vu une fois, ce truc amusant : $2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{2A2B}$ avec un doute sur la flèche (recouvrait-elle l'ensemble ?)

Si $B-A=\overrightarrow{AB}$, ce n’est pas faux. (:P)

Pourquoi se refuser a utiliser une notation commode? Les bons eleves pourront creuser ce qu'il y a derriere la notation quand ils auront la maturite suffisante. Il y a d'autres domaines ou on fait ca sans que ca fasse d'histoires, par exemple la plupart des gens qui font des calculs avec des formes differentielles (du genre dr=x/r*dx+y/r*dy) n'en connaissent pas la definition mathematique rigoureuse.

Moi je le définis par " l'ensemble des couples de points qui définissent la même translation que le couple (A, ".
Je vois pas ce qu'on peut faire d'autre...

Moi ça me gène d'ajouter ou de soustraire des vecteurs avec des points même si la notation permet de réduire la longueur des formules et même si elle rarement source d'erreur . Si on sait qu'un espace vectoriel est un espace affine dans lequel on a fixé une origine $O$ et on peut y aller car la notation n'est qu'une simplification d'écriture : $A=\overrightarrow{OA}$ . Dans le cas contraire on propose un outil pratique qui n'a aucun sens et qui peut générer beaucoup de confusion . A long terme , un algorithme super efficace est-il plus utile qu'une méthode un peu plus lourde mais gardant du signifiant ?

Domi

He ! Oh !

L'égalité \( \overrightarrow{AB} = B - A \) est une définition !
lorsqu'on considère les variétés affines comme parties d'espaces vectoriels.
De ce fait un vecteur est un point et inversement.
Tout dépend avec quelles lunettes vous les regardez.

À partir de là, il n'y a plus besoin de se poser les questions quant à savoir quoi choisir comme axiomes de la géométrie affine, euclidienne, etc.

Le problème est que vous/le collège/le lycée vous attaquez à la face nord : la définition intrinsèque des espaces affines.

Geogebra additionne les points et les vecteurs sans scrupule ni vergogne.

Certains élèves utilisent spontanément cette notation. Je les mets en garde, je les félicite pour leur prise d'initiative et je leurs mets tous les points - et même un peu plus en provision de tous ceux que les futurs correcteurs vont enlever.

Comme le signalait GaBuZoMeu dans un autre fil, pouvez-vous donner une situation où cetee notation conduit à un résultat faux ?

e.v.

[ @Dom $2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{2A2B}$ c'est un peu abusif (il manque des parenthèses je pense...) ]

Oui Aléa et une symétrie centrale est un point , une symétrie axiale est une droite , ...

Il est clair qu'on ne peut pas tout définir au collège et au lycée : qu'est-ce qu'une longueur une aire , un volume , un angle , ... ?

On ne définit pas forcément mais on évite d'ajouter de la confusion là où il y en a déjà beaucoup .

Il n'y a pas de vecteur au collège , on considère la translation qui amène $A$ en $B$ sans autre forme de procès ( l'existence et l'unicité de la translation est admise X:-( )

Domi

Les primitives aussi ont du sens...

J'ai un robinet d'eau ouvert.

Au temps $t_0=0$, je mets en-dessous un seau vide.

Je m'amuse à faire varier le débit $v(t)$ (p.ex. en litre par seconde) du robinet.

Interpréter l'intégrale $\int_{t_0=0}^T v(t) dt$.

L'horrible vérité est qu'un vecteur (dans la géométrie du collège-disons à l'ancienne: une classe pour une relation d'équivalence particulière) est littéralement(*) une translation, mais le programme (qui est d'une stupidité effrayante) utilise le mot "définition" dans un sens incorrect (l'incantation "la translation qui transforme A en B s'appelle la translation de vecteur $\vec{AB}$" ne définit pas le vecteur $\vec{AB}$ mais donne uniquement un sens au groupe de mots "la translation de vecteur $\vec{AB}$").


(*)rappelons que si $E$ et $F$ sont des ensembles, une fonction de $E$ dans $F$ est une partie $t$ de $E\times F$ telle que pour tout $p\in E$, il existe un $q\in F$ unique tel que $(p,q)\in t$. On utilise également la convention de notation suivante: pour toute fonction $g$ et tout $(x,y)\in g$, $y=g(x)$.

Dans la suite $\mathcal P$ désigne le plan usuel.

Donnons des définitions (le mot définition est utilisé dans le sens que tout le monde sauf les auteurs de programmes de maths du collège/lycée lui donne-ce qui inclut l'homme de la rue comme le mathématicien)

Une translation est une fonction de $\mathcal P$ dans $\mathcal P$ telle que pour tous $A,B\in \mathcal P$ , les points $A,B,f(B),f(A)$ (pris dans cet ordre) sont les sommets d'un parallélogramme (éventuellement aplati).

Un vecteur est une classe d'équivalence pour la relation d'équivalence $\equiv$ sur $\mathcal P^2$ définie comme suit:
si $(U,V)$ et $(W,X)$ sont des éléments de $\mathcal P^2$, $(U,V)\equiv (W,X)$ si (et seulement si...) $U,W,X,V$, pris dans cet ordre, sont les sommets d'un parallélogramme (éventuellement aplati).
(c'est la définition des vieux livres, elle peut paraître tirée par les cheveux mais au moins à l'époque on définissait).

On a le fait suivant:
Les translations et les vecteurs sont exactement la même chose.

Montrons qu'une translation est un vecteur: soit $t$ une translation. Alors $t$ est un ensemble de couples (cf définition donnée plus haut). Soit $X\in \mathcal P$. Alors $t$ est la classe d'équivalence de $(X,t(X))$pour $\equiv$; en effet si
$(P,Q)$ est un autre élément de $t$ alors $Q=t(P)$ et donc $(X,P,t(P),t(X))=(X,P,Q,t(X))$ est la liste des sommets d'un parallélogramme, et donc $(P,Q)\equiv (X,t(X))$. Réciproquement, si $(P',Q')\equiv (X,t(X))$, comme $X,P',t(P'),t(X)$ et $X,P',Q',t(X)$ sont les listes des sommets de parallélogrammes on a automatiquement $t(P')=Q'$ et donc $(P',Q')\in t$.

Montrons qu'un vecteur est une translation: Soit $v$ un vecteur, classe d'équivalence d'un certain couple $(A,B)\in \mathcal P^2$. Par définition, $v$ est un ensemble de couples d'éléments de $\mathcal P$, autrement dit une partie de $\mathcal P^2$. Montrons que $v$ est une fonction. Soient $X,Y,Z\in \mathcal P$ tels que $(X,Y)\in v$ et $(X,Z)\in v$. Montrons que $Y=Z$: ceci provient du fait que $(X,Y)\equiv (X,Z)$ i.e. $X,X,Z,Y$ sont les sommets d'un parallélogramme(i).
Soit $U \in \mathcal P$; il existe alors un $M$ tel que $AUMB$ est un parallélogramme donc $(U,M)\in v$ (ii). Les points (i) et (ii) entraînent que $v$ est une fonction.
La condition à base de parallélogramme qui fait de $v$ une translation découle immédiatement de la définition de $\equiv$.

Si $A,B\in \mathcal P$, le symbole $\vec{AB}$ désigne l'unique translation envoyant $A$ sur $B$.

@Foys
Je n'aime pas dire que $\overrightarrow{AB}$ est une application affine de partie linéaire $Id$.
$\overrightarrow{0}$ aussi d'ailleurs.

Edit : ton littéralement renvoie sur un rappel qui est un discours sur la théorie des ensembles...
Une fonction n'est pas définie dans le secondaire. Enfin, pas comme ça.


@tous
La discussion devient abracadabrantesque.

Dom: pourquoi utiliser deux noms différents pour la même notion, en tentant de les faire passer pour des choses fondamentalement différentes et en évitant systématiquement de définir précisément la deuxième? En quoi cela rend-il les énoncés plus intelligibles?


Assimiler vecteurs et "fonctions affines de partie linéaire nulle" est pertinent même dans le cadre d'espaces affines généraux:
si $E$ est un espace affine sur le $K$-espace vectoriel $V$ alors il existe par définition un morphisme de groupes injectif $\varphi$ de $V$ dans le groupe des bijections de $E$ dans lui-même. Est-ce que la translation de vecteur $v$ est $\varphi(v)$ ou bien $v$ lui-même? En tout cas il n'y a pas de problème à identifier $V$ et son image par $\varphi$ (auquel cas $v=\varphi(v)$ et un vecteur est bel et bien une translation).

On peut tout à fait définir un espace affine sur le corps $K$ comme un couple $(X,G)$ où $G$ est un sous-groupe du groupe $(\mathfrak S _X,\circ)$ des bijections de $X$ dans lui-même, tel que $G$ possède une structure d'espace vectoriel, et tel que pour tous $x,y\in E$, il existe un unique élément $w$ de $G$ tel que $w(x)=y$. Un tel $w$ va être opportunément désigné par $\vec{xy}$, le théorème de Chasles devient une lapalissade (dans la présentation actuelle collégienne c'est un caprice arbitraire) et il n'y a plus de complications ontologiques inutiles.

@Foys
Oui, d'accord sur "pas de définition de fonction".
Par contre, je m'étonne de "pourquoi donner deux noms différents pour la même notion ?".
Il me paraît clair que "angle orienté", "rotation" et "complexe de module 1" ne sont pas les mêmes choses.