Le problème dans ta définition des vecteurs n'est pas un problème mathématique, c'est un problème didactique : Les relations et classes d'équivalence sont difficiles à définir et à conceptualiser. Surtout quand le mot "ensemble" est tabou. C'est le cas au collège. Au lycée, la notion d'ensemble est considérée comme innée. C'est guère mieux.
Alors que la notion de classe d'équivalence est plus facile à appréhender. Le seul intérêt d'un vecteur, c'est ce qu'il fait, non pas ce qu'il est.
Les concepteurs des programmes ont donc taillé un programme mi-chèvre mi-chou pour reléguer les difficultés avec le reste du bourrier sous le tapis.
Cela dit, quand je définis les vecteurs en seconde, je chausse du deux.
@ Dom. Si tu veux. Ce qui est important c'est qu'il n'y ait pas de clash lorsque les deux mondes se rencontrent.
@tous:
ces histoires de fonctions et de relation d'équivalence sont surtout à destination des lecteurs du site. C'est pour motiver certains choix possibles d'exposés.
Apparemment on a réintroduit les translations au collège (sans vecteurs et avec des parallélogrammes ce qui est très bien de mon point de vue). Du coup qu'est ce qui empêche de remplacer l'habituel cours d'introduction aux vecteurs par
1°) un vecteur est une translation.
2°) la composition des translations $\vec{u},\vec{v}$ est désignée par $\vec{u}+\vec{v}$.
3°) fin.
Les approfondissements nécessaires peuvent bien sûr être faits dans la foulée: dire qui est le vecteur $\lambda \vec v$ quand $\vec v$ est un vecteur et $\lambda$ un scalaire, faire les produits scalaires, vectoriels etc.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
En réponse à Marsup :
Je remarque simplement que depuis les nouveaux programmes de terminale, il y a sur la plupart des forums (*) des incompréhensions évoquées par des étudiants qui cherchent quelle aire est calculée.
Cordialement.
(*) Pas ici, les lycéens n'y viennent quasiment plus.
Par contre, je m'étonne de "pourquoi donner deux noms différents pour la même notion ?".
Il me paraît clair que "angle orienté", "rotation" et "complexe de module 1" ne sont pas les mêmes choses.
C'est-à-dire que même si angles orientés, rotations etc sont "opérationnellement assimilables" il ne s'agit pas des mêmes objets (dans certains jeux de définitions courantes).
Alors que pour les vecteurs et les translations, si on utilise *la* définition de fonction il s'agit stricto sensu de la même chose.
[size=x-small](*) il y a déjà eu des discussions fleuves sur le forum à ce sujet, non seulement cette façon de faire est parfaitement rigoureuse au contraire des autres qui au mieux cachent des difficultés conceptuelles sous le tapis, mais en plus c'est la plus courte: elle fait 3 lignes max.[/size]
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys:
Avec ta définition, on peut écrire $\vec{AB}(A) = B$ et $\vec{BC} \circ \vec{AB} = \vec{AC}$. Dans l'absolu pourquoi pas, mais cela ne me semble pas très usuel... Ces expressions ne sont permises que comme conséquence d'un choix de modélisation particulière (« détail d'implémentation »).
De même, ta définition de fonction n'est, me semble-t-il, qu'une modélisation particulière du (ou plutôt d'un !) concept. Dans RDO tome 1, ce que tu appelles fonction est appelé le graphe d'une application ; pour ces auteurs, une fonction est un triplet $(\Gamma, E, F)$ où $\Gamma$ est une partie de $E\times F$ dont la première projection, l'ensemble de définition de la fonction, n'est pas nécessairement égale à l'ensemble de départ $E$ (autrement dit, une fonction de $E$ dans $F$ selon RDO n'est pas nécessairement définie en tout point de son ensemble de départ $E$, contrairement à une application de $E$ dans $F$). Loin de moi l'idée de prétendre que tu as tort, c'est plutôt une question de terminologie...
Bref, tout ça pour dire que « la » notion de fonction (sur laquelle tu t'appuies pour justifier « translation = vecteur ») ne me semble pas définie de manière absolue et identique pour tout le monde, qu'il s'agit plutôt d'un concept à géométrie (légèrement) variable, lequel peut être modélisé de diverses manières... de même que l'objet vecteur si l'on veut le construire sans la théorie des espaces vectoriels, ce qui semble être le cas ici.
Avec ta modélisation, un vecteur est un ensemble de couples de points. Mais dans la théorie des espaces vectoriels, ceci n'est pas nécessaire. Ta modélisation a le mérite d'une relative simplicité, mais expose des détails d'implémentation qu'on n'attribue pas habituellement aux vecteurs (ils ne découlent pas des axiomes de la définition usuelle d'un espace vectoriel). Ce sont ces détails d'implémentation qui permettent les opérations quelque peu inhabituelles ci-dessus ($\vec{AB}(A) = B$ et $\vec{BC} \circ \vec{AB} = \vec{AC}$). Si l'on respecte « l'API publique d'un vecteur » (celle venant des axiomes de définition d'un espace vectoriel), ces opérations ne sont pas permises a priori (évidemment, on peut choisir des espaces vectoriels particuliers où elles le sont).
Si l'on respecte « l'API publique d'un vecteur » (celle venant des axiomes de définition d'un espace vectoriel), ces opérations ne sont pas permises a priori (évidemment, on peut choisir des espaces vectoriels particuliers où elles le sont).
Tout ceci sauf erreur, etc.
L'API publique d'un espace vectoriel, les élèves de lycée n'y ont de toute façon pas accès, et le plan $P$ y est ouvertement traité comme un espace affine.
"l'API publique d'un espace vectoriel sur le corps $K$" consiste sauf erreur en:
1°) la preuve qu'il existe des espaces vectoriels sur $K$ (par exemple si $I$ est un ensemble, l'ensemble des fonctions de $I$ dans $K$ à support fini ...)
2°) une liste d'énoncés à 3 variables libres $(P_i)_{i=1,2,3,4...}$ tels que pour tous $x,y,z$, si $(x,y,z)$ est un espace vectoriel sur $K$ alors on a $P_i(x,y,z)$ (où "$(x,y,z)$ est un espace vectoriel sur $K$" signifie "$(x,y)$ est un groupe abélien et $y$ est une fonction de $K \times x$ dans $x$ vérifiant les axiomes bien connus").
Et bien ce qu'on fait ici pour utiliser ladite "API", c'est de regarder un certain sous-groupe des bijections du plan dans lui-même (les translations) et de montrer que ce groupe (et non pas $P$!!) satisfait lesdits axiomes.
Quant à $\vec{AB} \circ \vec{BC}=\vec{AC}$, il ne s'agit que de la relation de Chasles à la typographie près, (le remplacement du symbole $\circ$ par $+$ ne devrait pas poser de difficulté conceptuelle insurmontable)
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Moui, bon... mathématiquement, c'est faisable, mais ça fait un peu bizarre d'introduire un nouveau mot (vecteur) pour un objet déjà connu (une translation). Tu vas peut-être me répondre « c'est parce que l'ensemble des translations d'un espace affine réel donné, muni des lois $\circ$ et $.$, vérifie les axiomes d'un $\R$-espace vectoriel ». Certes, mais là, on repart sur l'approche axiomatique (« vous verrez plus tard que... »).
Va aussi falloir bosser un peu pour justifier l'emploi de l'expression « la translation de vecteur $\vec{u}$ » quand il s'agit juste de la translation $\vec{u}$... et se préparer à entendre parler de translations colinéaires, de produit scalaire de translations, de projection d'une translation sur une droite vectorielletranslationnelle, etc. ;-)
Mais comme la définition ponctuelle n'est pas exigible certains font des grands gestes et parlent de glissement selon une droite.
Dans l'échantillon restreint que je connais, la définition donnée est : "M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B lorsque ABM'M est un parallélogramme". Cela pose certains problèmes pour les cas particuliers.
Je ne sais pas si d'autres utilisent la caractérisation par les milieux des diagonales (comme plutôt fait au lycée). Cela pose moins de problème, disons que seul "le milieu d'un point" (cas où deux points sont confondus) peut faire écarquiller les yeux de certains élèves.
OK.
Donc en seconde on commence par simplement renommer "la translation qui transforme A en B" en "la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$".
Peut-on en amont ou en aval rajouter une définition concernant le "vecteur $\overrightarrow{AB}$" et non le groupe de mots "translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$".
Par exemple peut-on donner la définition suivante : "Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un objet caractérisé par une direction, celle de la droite $(AB)$, un sens, celui de A vers B, et une longueur, celle du segment [AB]" ?
On sait définir avoir la même direction : c'est être parallèle à.
On sait définir avoir la même longueur.
Pour "avoir le même sens" : comment définir cela ? Je ne vois que l'idée du parallélogramme, encore.
Pour la définition proposée : j'écrirais plutôt que $\overrightarrow{AB}$ est l'ensemble des bipoints (encore !) tels que mêmes direction, même sens, même longueur.
Je veux dire qu'il me semble que l'on ne peut pas échapper à la notion d'ensemble (sans théoriser, bien entendu).
Il faut que ce programme change, ce n'est plus possible (le but de mes propos n'est pas de critiquer les enseignants qui ont à composer avec leurs élèves et les injonctions administratives).
La définition avec la liste, formellement, revient à dire qu'un vecteur est une liste $[D,s,\ell]$ avec $D$ une droite, $s=:(x,y)$ un couple de points distincts de $D$ et $\ell$ un nombre réel positif ou nul (et après ça il reste un certain nombre de corvées à accomplir pour dire ce que sont deux vecteurs égaux, qui est le vecteur nul-on aura $[D,(a,b),0]=[D',(a',b'),0]$ pour toutes droites $D,D'$ et tous $(a,b,a',b') \in D^2 \times D'^2$ tels que $a\neq b$ et $a'\neq b'$, ensuite il faut dire comment sommer deux vecteurs etc): un gadget lourdingue, ajouté artificiellement aux maths et qui devient une simple liste de coordonnées à ajouter (comme une translation tiens tiens) dès qu'on introduit les coordonnées...
Newton n'a jamais entendu parler de vecteurs de sa vie (ils ont été inventés environ un siècle après sa mort) ce qui ne l'a pas empêché d'inventer la mécanique classique. Quand je vois cette discussion je me dis qu'il a eu beaucoup de chance d'avoir échappé à ces objets.
Pour la définition proposée : j'écrirais plutôt que $\vec{AB}$ est l'ensemble des bipoints (encore !) tels que mêmes direction, même sens, même longueur.
On est d'accord que -mettons si on n'aime pas ma définition préférée de fonction- mais plutôt celle de Ramis-Deschamps-Odoux (cette référence étant citée dans la discussion), un vecteur, défini comme ça, est exactement le graphe d'une translation
?
;-)
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Foys écrivait:
> un vecteur, défini comme ça, est exactement le graphe d'une translation ? ;-)
Très jolie remarque, Foys !
J'en profite pour demander une petite confirmation.
Est-ce que votre discussion porte sur la question de savoir s'il faut dire :
un vecteur est "quelque chose". un vecteur est associé à une translation, et réciproquement,
ou bien :
un vecteur est une translation
Ta définition est intéressante. Je crois que je vais l'adopter comme suit.
Soit deux points \( A \) et \( B \) du plan.
On appelle translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \) ou plus simplement vecteur \( \overrightarrow{AB} \) la transformation du plan qui a un point \( M \) associe le point \( M' \) tel que \( ABM'M \) soit un parallélogramme (éventuellement aplati).
On reconnait là les translations déjà vues au collège. etc.
Inconvénient.
On perd un peu la notion de vecteur du cours de physique. Lesquels ont une origine et une extrémité.
Mais bon.
De toutes façons en physique on se sert peu des vecteurs mais surtout de torseurs.
(I) Soient $A,B,C$ des points du plan (ou de l'espace, le raisonnement étant exactement le même) et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$(*). Le théorème de Pythagore entraîne après simplification l'égalité $ AB^2 +AC^2-BC^2 = AH^2+AB^2-BH^2=:\sigma(A,B,C)$.
On peut encore simplifier cette expression:
I.1°) Si $A$ n'est pas entre $B$ et $H$, $\sigma(A,B,C) = 2AH\cdot AB$ (distinguer les cas où $AB=AH+HB$ et $AH=AB+BH$ selon que $B$ est entre $A$ et $H$ ou non).
I.2°) Si $A$ est entre $B$ et $H$, $BH=AB+AH$ et $\sigma(A,B,C)=-2AB\cdot AH$.
(II) Cela étant, soient $\vec{s},\vec{t}$ deux translations et $X,Y$ deux points du plan. Alors les parallélogrammes de sommets $X,\vec{t}(X), (\vec{s}+\vec{t})(X), \vec{s} (X)$ et $Y,\vec{t}(Y), (\vec{s}+\vec{t})(Y) ,\vec{s} (Y)$ sont semblables (ils se déduisent l'un de l'autre par la translation $\vec{XY}$) et donc les quantités $\sigma\left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X) \right )$ et $\sigma\left (Y,\vec{s}(Y),\vec{t}(Y) \right )$ sont égales. On peut donc poser $\vec s \cdot \vec t:= \frac{1}{2} \sigma\left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X) \right )$ où $X$ est un point quelconque du plan.
Dans la situation de (I), on voit donc qu'on a en particulier $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=\varepsilon \cdot AB \cdot AH$ où $\varepsilon=1$ si $B,H$ sont du même côté que $A$ (i.e. si $A$ n'est pas entre $B$ et $H$...)et $-1$ sinon. On retombe dès lors dans les sentiers battus.
[size=x-small](*) ajout: si $A=B$, $\sigma(A,B,C)$ vaut $0$... Remplacer "$(AB)$" par n'importe quelle
droite contenant $A=B$... $AH\cdot AB$ vaut $0$ de toute façon. Il n'y a pas de difficulté ici.[/size]
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Foys, je ne demandais pas tant de développements ! Je n'ai pas de difficulté, pour moi-même, à définir sur les translations tout ce que l'on peut faire avec des vecteurs : il suffit de transporter chaque notion avec l'isomorphisme naturel $\vec{u} \mapsto t_{\vec{u}}$ de la direction de ton espace affine $\mathcal{P}$ dans l'e.v. des translations de cet espace. Tout ce que je disais, c'est que définir les vecteurs explicitement par « un vecteur est une translation » amènerait naturellement les élèves à parler de choses qui me paraissent saugrenues, en tout cas peu usitées, telles que le produit scalaire de deux translations. Cela ne se pose pas avec une approche axiomatique (certes impraticable de nos jours dans le secondaire).
Bon, comme tu t'es quand-même donné de la peine, je vais te donner mon avis. :-)
Ton approche a l'air intéressante pour son aspect « intrinsèque » (ne dépend pas d'un repère, notamment). Le principal problème que j'y vois, outre le fait que ça me paraît trop compliqué pour la plupart des lycéens (mais peut être intéressant à avoir en tête pour le prof.), c'est qu'il me semble difficile de montrer rigoureusement, avec la définition des translations à l'aide des parallélogrammes, que $\sigma\left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X)\right ) = \sigma\left (Y,\vec{s}(Y),\vec{t}(Y)\right )$.
En effet, si je note $(A,B,C) = \left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X)\right )$ et $(A',B',C') = \left (Y,\vec{s}(Y),\vec{t}(Y)\right )$, il s'agit de prouver que $AB^2 + AC^2 - BC^2 = A'B'^2 + A'C'^2 - B'C'^2$. On a sans problème $AB^2 = A'B'^2$ ainsi que $AC^2 = A'C'^2$, mais quid de $BC^2$ et $B'C'^2$ ? En d'autres termes, il faudrait montrer que $\vec{s}(X)\vec{t}(X)\vec{t}(Y)\vec{s}(Y)$ est un parallélogramme. On a facilement $(\vec{s}(X)\vec{s}(Y))$ parallèle à $(\vec{t}(X)\vec{t}(Y))$ ainsi que $\vec{s}(X)\vec{s}(Y) = \vec{t}(X)\vec{t}(Y)$, mais pour en conclure avec les outils de géométrie du collège que $\vec{s}(X)\vec{t}(X)\vec{t}(Y)\vec{s}(Y)$ est un parallélogramme, il faut peu ou prou balancer que le quadrilatère est non croisé, et ça, je n'aime pas (ou alors je veux bien voir la preuve) !
Note qu'on a exactement le même problème pour deux choses qui paraissent bien plus basiques :
démontrer que la composée de deux translations est une translation (en utilisant bien-sûr la définition avec les parallélogrammes) ;
avec les mêmes contraintes, démontrer que si $A$, $B$, $A'$ et $B'$ sont des points et si la translation $s$ qui envoie $A$ en $A'$ est telle que $s(B) = B'$, alors la translation $t$ qui envoie $B$ en $B'$ est égale à $s$. Ceci revient à démontrer(*) que, pour tout point $M$ de l'espace affine considéré, si $AA'B'B$ et $AA'M'M$ sont des parallélogrammes (éventuellement aplatis), alors $BB'M'M$ en est un aussi.
Dans les deux cas, c'est réglé en deux coups de cuillère à pot si l'on admet que la relation d'équipollence est une relation d'équivalence (donc transitive), mais justement, peut-on démontrer cela rigoureusement avec les outils de collège ou lycée, à l'exclusion des vecteurs et des coordonnées dans un repère ?
(*) En s'appuyant sur le fait qu'étant donnés trois points $P$, $Q$, $R$ du plan (ou espace affine considéré), il existe un unique point $S$ tel que $PQRS$ soit un parallélogramme (éventuellement aplati). Ceci est trivial quand on a les vecteurs, mais justement... EDIT : pas trop de problème pour ça en utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu. En fait, ça nous ramène à : « si $I$ et $B$ sont deux points donnés, il existe un unique point $A$ tel que $I$ soit le milieu de $[AB]$. Après, il faudrait savoir quels sont les axiomes auxquels on a droit...
@brian, comment sais-tu que $\mathcal P$ possède une structure d'espace affine?
Rien dans ce qui est pratiqué officiellement au lycée ne permet de s'en convaincre; on introduit un nouveau mot "vecteur" au cours d'une cérémonie qui porte le nom de "définition des vecteurs" et où le refus de dire sans ambiguïté ce qu'est un vecteur est pratiqué de manière ostensible (sous un prétexte didactique, il fallait le faire quand même), ceci accompagné d'un certain nombre d'affirmations décrétées qui font qu'in fine on a un espace affine certes ...
Dans ce que je propose, il y a une propriété admise qui à défaut d'être simple à établir est visuelle et intuitive (c'est mon avis: on voit mal ce type de déplacement échanger les sommets d'un parallélogramme) des translations (on a juste besoin qu'elles conservent les distances, mais les translations sont des opérations assez concrètes), découlant d'une autre que tu as citée sur les parallélogrammes et cette dernière est conséquence du théorème de Desargues (qui est mort plus d'un siècle avant l'invention des vecteurs).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Concernant $\mathcal{P}$, dans l'approche discutée ici, je le considérais vaguement comme une structure d'incidence (cf. ton lien, merci) sans l'avoir formalisé ni nommé. En prenant la propriété de Desargues (le sens direct dit « forme faible » dans l'article Wikipedia) comme axiome, on obtient en effet $\sigma\left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X)\right ) = \sigma\left (Y,\vec{s}(Y),\vec{t}(Y)\right )$ dans le cas où $X \neq Y$ et les droites $(XY)$, $\left( \vec{s}(X) \vec{s}(Y) \right)$ et $\left( \vec{t}(X) \vec{t}(Y) \right)$ sont deux à deux distinctes (donc strictement parallèles).
En revanche, il se peut que quelque chose m'échappe mais je ne crois pas que cela règle le cas, par exemple, où $X \neq Y$, $(XY)$ et $\left( \vec{s}(X) \vec{s}(Y) \right)$ sont confondues et $\left( \vec{t}(X) \vec{t}(Y) \right)$ distincte de $(XY)$ (exactement 2 des 3 droites qui nous intéressent sont confondues). À nouveau, ce qui saute aux yeux, c'est un argument du type $\left[ \vec{s}(X) \vec{s}(Y) \right]$ et $\left[ \vec{t}(X) \vec{t}(Y) \right]$ sont parallèles et de même longueur (en passant par $[XY]$), mais il faut invoquer la non-croisitude de $\vec{s}(X) \vec{s}(Y) \vec{t}(Y) \vec{t}(X)$ pour conclure avec les propriétés du collège que c'est un parallélograme, mpfffff...
C'est dingue ! Comme d'habitude, l'on est parti d'une question toute simple pour en arriver à toutes ces réflexions dont je ne vais pas discuter de leur (in)utilité. Quelqu'un peut-il me dire pourquoi ? Je suis perdu.
Bien cordialement,
Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
A vrai dire, le titre même du fil me pose problème : on n'y discute pas le moins du monde de réforme du lycée (ça n'en demeure pas moins intéressant mais j'aimerais bien qu'on change le titre si possible).
La bascule s'est faite dès le troisième message, et par l'initiateur (ou initiatrice) même de la discussion.
La suggestion de paf pourrait être retenue si on juge que le titre pose maintenant problème. Il pourrait par exemple être remplacé par "Les vecteurs en seconde".
Réponses
Le problème dans ta définition des vecteurs n'est pas un problème mathématique, c'est un problème didactique : Les relations et classes d'équivalence sont difficiles à définir et à conceptualiser. Surtout quand le mot "ensemble" est tabou. C'est le cas au collège. Au lycée, la notion d'ensemble est considérée comme innée. C'est guère mieux.
Alors que la notion de classe d'équivalence est plus facile à appréhender. Le seul intérêt d'un vecteur, c'est ce qu'il fait, non pas ce qu'il est.
Les concepteurs des programmes ont donc taillé un programme mi-chèvre mi-chou pour reléguer les difficultés avec le reste du bourrier sous le tapis.
Cela dit, quand je définis les vecteurs en seconde, je chausse du deux.
@ Dom. Si tu veux. Ce qui est important c'est qu'il n'y ait pas de clash lorsque les deux mondes se rencontrent.
e.v.
ces histoires de fonctions et de relation d'équivalence sont surtout à destination des lecteurs du site. C'est pour motiver certains choix possibles d'exposés.
Apparemment on a réintroduit les translations au collège (sans vecteurs et avec des parallélogrammes ce qui est très bien de mon point de vue). Du coup qu'est ce qui empêche de remplacer l'habituel cours d'introduction aux vecteurs par
1°) un vecteur est une translation.
2°) la composition des translations $\vec{u},\vec{v}$ est désignée par $\vec{u}+\vec{v}$.
3°) fin.
Les approfondissements nécessaires peuvent bien sûr être faits dans la foulée: dire qui est le vecteur $\lambda \vec v$ quand $\vec v$ est un vecteur et $\lambda$ un scalaire, faire les produits scalaires, vectoriels etc.
Je remarque simplement que depuis les nouveaux programmes de terminale, il y a sur la plupart des forums (*) des incompréhensions évoquées par des étudiants qui cherchent quelle aire est calculée.
Cordialement.
(*) Pas ici, les lycéens n'y viennent quasiment plus.
Alors que pour les vecteurs et les translations, si on utilise *la* définition de fonction il s'agit stricto sensu de la même chose.
[size=x-small](*) il y a déjà eu des discussions fleuves sur le forum à ce sujet, non seulement cette façon de faire est parfaitement rigoureuse au contraire des autres qui au mieux cachent des difficultés conceptuelles sous le tapis, mais en plus c'est la plus courte: elle fait 3 lignes max.[/size]
Avec ta définition, on peut écrire $\vec{AB}(A) = B$ et $\vec{BC} \circ \vec{AB} = \vec{AC}$. Dans l'absolu pourquoi pas, mais cela ne me semble pas très usuel... Ces expressions ne sont permises que comme conséquence d'un choix de modélisation particulière (« détail d'implémentation »).
De même, ta définition de fonction n'est, me semble-t-il, qu'une modélisation particulière du (ou plutôt d'un !) concept. Dans RDO tome 1, ce que tu appelles fonction est appelé le graphe d'une application ; pour ces auteurs, une fonction est un triplet $(\Gamma, E, F)$ où $\Gamma$ est une partie de $E\times F$ dont la première projection, l'ensemble de définition de la fonction, n'est pas nécessairement égale à l'ensemble de départ $E$ (autrement dit, une fonction de $E$ dans $F$ selon RDO n'est pas nécessairement définie en tout point de son ensemble de départ $E$, contrairement à une application de $E$ dans $F$). Loin de moi l'idée de prétendre que tu as tort, c'est plutôt une question de terminologie...
Bref, tout ça pour dire que « la » notion de fonction (sur laquelle tu t'appuies pour justifier « translation = vecteur ») ne me semble pas définie de manière absolue et identique pour tout le monde, qu'il s'agit plutôt d'un concept à géométrie (légèrement) variable, lequel peut être modélisé de diverses manières... de même que l'objet vecteur si l'on veut le construire sans la théorie des espaces vectoriels, ce qui semble être le cas ici.
Avec ta modélisation, un vecteur est un ensemble de couples de points. Mais dans la théorie des espaces vectoriels, ceci n'est pas nécessaire. Ta modélisation a le mérite d'une relative simplicité, mais expose des détails d'implémentation qu'on n'attribue pas habituellement aux vecteurs (ils ne découlent pas des axiomes de la définition usuelle d'un espace vectoriel). Ce sont ces détails d'implémentation qui permettent les opérations quelque peu inhabituelles ci-dessus ($\vec{AB}(A) = B$ et $\vec{BC} \circ \vec{AB} = \vec{AC}$). Si l'on respecte « l'API publique d'un vecteur » (celle venant des axiomes de définition d'un espace vectoriel), ces opérations ne sont pas permises a priori (évidemment, on peut choisir des espaces vectoriels particuliers où elles le sont).
Tout ceci sauf erreur, etc. :-)
"l'API publique d'un espace vectoriel sur le corps $K$" consiste sauf erreur en:
1°) la preuve qu'il existe des espaces vectoriels sur $K$ (par exemple si $I$ est un ensemble, l'ensemble des fonctions de $I$ dans $K$ à support fini ...)
2°) une liste d'énoncés à 3 variables libres $(P_i)_{i=1,2,3,4...}$ tels que pour tous $x,y,z$, si $(x,y,z)$ est un espace vectoriel sur $K$ alors on a $P_i(x,y,z)$ (où "$(x,y,z)$ est un espace vectoriel sur $K$" signifie "$(x,y)$ est un groupe abélien et $y$ est une fonction de $K \times x$ dans $x$ vérifiant les axiomes bien connus").
Et bien ce qu'on fait ici pour utiliser ladite "API", c'est de regarder un certain sous-groupe des bijections du plan dans lui-même (les translations) et de montrer que ce groupe (et non pas $P$!!) satisfait lesdits axiomes.
Quant à $\vec{AB} \circ \vec{BC}=\vec{AC}$, il ne s'agit que de la relation de Chasles à la typographie près, (le remplacement du symbole $\circ$ par $+$ ne devrait pas poser de difficulté conceptuelle insurmontable)
Va aussi falloir bosser un peu pour justifier l'emploi de l'expression « la translation de vecteur $\vec{u}$ » quand il s'agit juste de la translation $\vec{u}$... et se préparer à entendre parler de translations colinéaires, de produit scalaire de translations, de projection d'une translation sur une droite vectorielletranslationnelle, etc. ;-)
Mais comme la définition ponctuelle n'est pas exigible certains font des grands gestes et parlent de glissement selon une droite.
Dans l'échantillon restreint que je connais, la définition donnée est : "M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B lorsque ABM'M est un parallélogramme". Cela pose certains problèmes pour les cas particuliers.
Je ne sais pas si d'autres utilisent la caractérisation par les milieux des diagonales (comme plutôt fait au lycée). Cela pose moins de problème, disons que seul "le milieu d'un point" (cas où deux points sont confondus) peut faire écarquiller les yeux de certains élèves.
Donc en seconde on commence par simplement renommer "la translation qui transforme A en B" en "la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$".
Peut-on en amont ou en aval rajouter une définition concernant le "vecteur $\overrightarrow{AB}$" et non le groupe de mots "translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$".
Par exemple peut-on donner la définition suivante : "Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un objet caractérisé par une direction, celle de la droite $(AB)$, un sens, celui de A vers B, et une longueur, celle du segment [AB]" ?
Essais de réponse :
Mais ce ne sont que des essais de retraité qui essaie de rester branché(:P)
On sait définir avoir la même longueur.
Pour "avoir le même sens" : comment définir cela ? Je ne vois que l'idée du parallélogramme, encore.
Pour la définition proposée : j'écrirais plutôt que $\overrightarrow{AB}$ est l'ensemble des bipoints (encore !) tels que mêmes direction, même sens, même longueur.
Je veux dire qu'il me semble que l'on ne peut pas échapper à la notion d'ensemble (sans théoriser, bien entendu).
La définition avec la liste, formellement, revient à dire qu'un vecteur est une liste $[D,s,\ell]$ avec $D$ une droite, $s=:(x,y)$ un couple de points distincts de $D$ et $\ell$ un nombre réel positif ou nul (et après ça il reste un certain nombre de corvées à accomplir pour dire ce que sont deux vecteurs égaux, qui est le vecteur nul-on aura $[D,(a,b),0]=[D',(a',b'),0]$ pour toutes droites $D,D'$ et tous $(a,b,a',b') \in D^2 \times D'^2$ tels que $a\neq b$ et $a'\neq b'$, ensuite il faut dire comment sommer deux vecteurs etc): un gadget lourdingue, ajouté artificiellement aux maths et qui devient une simple liste de coordonnées à ajouter (comme une translation tiens tiens) dès qu'on introduit les coordonnées...
Newton n'a jamais entendu parler de vecteurs de sa vie (ils ont été inventés environ un siècle après sa mort) ce qui ne l'a pas empêché d'inventer la mécanique classique. Quand je vois cette discussion je me dis qu'il a eu beaucoup de chance d'avoir échappé à ces objets.
On est d'accord que -mettons si on n'aime pas ma définition préférée de fonction- mais plutôt celle de Ramis-Deschamps-Odoux (cette référence étant citée dans la discussion), un vecteur, défini comme ça, est exactement le graphe d'une translation
?
;-)
> un vecteur, défini comme ça, est exactement le graphe d'une translation ? ;-)
Très jolie remarque, Foys !
J'en profite pour demander une petite confirmation.
Est-ce que votre discussion porte sur la question de savoir s'il faut dire :
un vecteur est "quelque chose". un vecteur est associé à une translation, et réciproquement,
ou bien :
un vecteur est une translation
Ta définition est intéressante. Je crois que je vais l'adopter comme suit.
Soit deux points \( A \) et \( B \) du plan.
On appelle translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \) ou plus simplement vecteur \( \overrightarrow{AB} \) la transformation du plan qui a un point \( M \) associe le point \( M' \) tel que \( ABM'M \) soit un parallélogramme (éventuellement aplati).
On reconnait là les translations déjà vues au collège. etc.
Inconvénient.
On perd un peu la notion de vecteur du cours de physique. Lesquels ont une origine et une extrémité.
Mais bon.
De toutes façons en physique on se sert peu des vecteurs mais surtout de torseurs.
e.v.
Pour le produit scalaire de translations:
(I) Soient $A,B,C$ des points du plan (ou de l'espace, le raisonnement étant exactement le même) et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$(*). Le théorème de Pythagore entraîne après simplification l'égalité $ AB^2 +AC^2-BC^2 = AH^2+AB^2-BH^2=:\sigma(A,B,C)$.
On peut encore simplifier cette expression:
I.1°) Si $A$ n'est pas entre $B$ et $H$, $\sigma(A,B,C) = 2AH\cdot AB$ (distinguer les cas où $AB=AH+HB$ et $AH=AB+BH$ selon que $B$ est entre $A$ et $H$ ou non).
I.2°) Si $A$ est entre $B$ et $H$, $BH=AB+AH$ et $\sigma(A,B,C)=-2AB\cdot AH$.
(II) Cela étant, soient $\vec{s},\vec{t}$ deux translations et $X,Y$ deux points du plan. Alors les parallélogrammes de sommets $X,\vec{t}(X), (\vec{s}+\vec{t})(X), \vec{s} (X)$ et $Y,\vec{t}(Y), (\vec{s}+\vec{t})(Y) ,\vec{s} (Y)$ sont semblables (ils se déduisent l'un de l'autre par la translation $\vec{XY}$) et donc les quantités $\sigma\left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X) \right )$ et $\sigma\left (Y,\vec{s}(Y),\vec{t}(Y) \right )$ sont égales. On peut donc poser $\vec s \cdot \vec t:= \frac{1}{2} \sigma\left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X) \right )$ où $X$ est un point quelconque du plan.
Dans la situation de (I), on voit donc qu'on a en particulier $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=\varepsilon \cdot AB \cdot AH$ où $\varepsilon=1$ si $B,H$ sont du même côté que $A$ (i.e. si $A$ n'est pas entre $B$ et $H$...)et $-1$ sinon. On retombe dès lors dans les sentiers battus.
[size=x-small](*) ajout: si $A=B$, $\sigma(A,B,C)$ vaut $0$... Remplacer "$(AB)$" par n'importe quelle
droite contenant $A=B$... $AH\cdot AB$ vaut $0$ de toute façon. Il n'y a pas de difficulté ici.[/size]
Bon, comme tu t'es quand-même donné de la peine, je vais te donner mon avis. :-)
Ton approche a l'air intéressante pour son aspect « intrinsèque » (ne dépend pas d'un repère, notamment). Le principal problème que j'y vois, outre le fait que ça me paraît trop compliqué pour la plupart des lycéens (mais peut être intéressant à avoir en tête pour le prof.), c'est qu'il me semble difficile de montrer rigoureusement, avec la définition des translations à l'aide des parallélogrammes, que $\sigma\left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X)\right ) = \sigma\left (Y,\vec{s}(Y),\vec{t}(Y)\right )$.
En effet, si je note $(A,B,C) = \left (X,\vec{s}(X),\vec{t}(X)\right )$ et $(A',B',C') = \left (Y,\vec{s}(Y),\vec{t}(Y)\right )$, il s'agit de prouver que $AB^2 + AC^2 - BC^2 = A'B'^2 + A'C'^2 - B'C'^2$. On a sans problème $AB^2 = A'B'^2$ ainsi que $AC^2 = A'C'^2$, mais quid de $BC^2$ et $B'C'^2$ ? En d'autres termes, il faudrait montrer que $\vec{s}(X)\vec{t}(X)\vec{t}(Y)\vec{s}(Y)$ est un parallélogramme. On a facilement $(\vec{s}(X)\vec{s}(Y))$ parallèle à $(\vec{t}(X)\vec{t}(Y))$ ainsi que $\vec{s}(X)\vec{s}(Y) = \vec{t}(X)\vec{t}(Y)$, mais pour en conclure avec les outils de géométrie du collège que $\vec{s}(X)\vec{t}(X)\vec{t}(Y)\vec{s}(Y)$ est un parallélogramme, il faut peu ou prou balancer que le quadrilatère est non croisé, et ça, je n'aime pas (ou alors je veux bien voir la preuve) !
Note qu'on a exactement le même problème pour deux choses qui paraissent bien plus basiques :
- démontrer que la composée de deux translations est une translation (en utilisant bien-sûr la définition avec les parallélogrammes) ;
- avec les mêmes contraintes, démontrer que si $A$, $B$, $A'$ et $B'$ sont des points et si la translation $s$ qui envoie $A$ en $A'$ est telle que $s(B) = B'$, alors la translation $t$ qui envoie $B$ en $B'$ est égale à $s$. Ceci revient à démontrer(*) que, pour tout point $M$ de l'espace affine considéré, si $AA'B'B$ et $AA'M'M$ sont des parallélogrammes (éventuellement aplatis), alors $BB'M'M$ en est un aussi.
Dans les deux cas, c'est réglé en deux coups de cuillère à pot si l'on admet que la relation d'équipollence est une relation d'équivalence (donc transitive), mais justement, peut-on démontrer cela rigoureusement avec les outils de collège ou lycée, à l'exclusion des vecteurs et des coordonnées dans un repère ?(*) En s'appuyant sur le fait qu'étant donnés trois points $P$, $Q$, $R$ du plan (ou espace affine considéré), il existe un unique point $S$ tel que $PQRS$ soit un parallélogramme (éventuellement aplati). Ceci est trivial quand on a les vecteurs, mais justement... EDIT : pas trop de problème pour ça en utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu. En fait, ça nous ramène à : « si $I$ et $B$ sont deux points donnés, il existe un unique point $A$ tel que $I$ soit le milieu de $[AB]$. Après, il faudrait savoir quels sont les axiomes auxquels on a droit...
Rien dans ce qui est pratiqué officiellement au lycée ne permet de s'en convaincre; on introduit un nouveau mot "vecteur" au cours d'une cérémonie qui porte le nom de "définition des vecteurs" et où le refus de dire sans ambiguïté ce qu'est un vecteur est pratiqué de manière ostensible (sous un prétexte didactique, il fallait le faire quand même), ceci accompagné d'un certain nombre d'affirmations décrétées qui font qu'in fine on a un espace affine certes ...
Dans ce que je propose, il y a une propriété admise qui à défaut d'être simple à établir est visuelle et intuitive (c'est mon avis: on voit mal ce type de déplacement échanger les sommets d'un parallélogramme) des translations (on a juste besoin qu'elles conservent les distances, mais les translations sont des opérations assez concrètes), découlant d'une autre que tu as citée sur les parallélogrammes et cette dernière est conséquence du théorème de Desargues (qui est mort plus d'un siècle avant l'invention des vecteurs).
En revanche, il se peut que quelque chose m'échappe mais je ne crois pas que cela règle le cas, par exemple, où $X \neq Y$, $(XY)$ et $\left( \vec{s}(X) \vec{s}(Y) \right)$ sont confondues et $\left( \vec{t}(X) \vec{t}(Y) \right)$ distincte de $(XY)$ (exactement 2 des 3 droites qui nous intéressent sont confondues). À nouveau, ce qui saute aux yeux, c'est un argument du type $\left[ \vec{s}(X) \vec{s}(Y) \right]$ et $\left[ \vec{t}(X) \vec{t}(Y) \right]$ sont parallèles et de même longueur (en passant par $[XY]$), mais il faut invoquer la non-croisitude de $\vec{s}(X) \vec{s}(Y) \vec{t}(Y) \vec{t}(X)$ pour conclure avec les propriétés du collège que c'est un parallélograme, mpfffff...
C'est dingue ! Comme d'habitude, l'on est parti d'une question toute simple pour en arriver à toutes ces réflexions dont je ne vais pas discuter de leur (in)utilité. Quelqu'un peut-il me dire pourquoi ? Je suis perdu.
Bien cordialement,
Thierry
-- Schnoebelen, Philippe
La bascule s'est faite dès le troisième message, et par l'initiateur (ou initiatrice) même de la discussion.
La suggestion de paf pourrait être retenue si on juge que le titre pose maintenant problème. Il pourrait par exemple être remplacé par "Les vecteurs en seconde".
Amicalement