Les vecteurs en Seconde
Bonjour,
Il semblerait que la réforme du lycée entre en vigueur à la rentrée 2018 pour la classe de seconde. Savez-vous ce qui va changer pour l'enseignement des maths dans ce niveau ? Aura-t-on les mêmes horaires (4 heures) ?
[ Titre initial: Réforme du lycée
La discussion ayant pris une autre direction , je la renomme. jacquot ]
Il semblerait que la réforme du lycée entre en vigueur à la rentrée 2018 pour la classe de seconde. Savez-vous ce qui va changer pour l'enseignement des maths dans ce niveau ? Aura-t-on les mêmes horaires (4 heures) ?
[ Titre initial: Réforme du lycée
La discussion ayant pris une autre direction , je la renomme. jacquot ]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
[ Message malencontreusement déplacé faisant suite à la question initiale.
J'ai renommé la discussion compte tenu de la remarque ci-dessus. jacquot ]
Avec l'aménagement de la classe de seconde, comment définissez-vous maintenant un vecteur du plan (en seconde) ?
Merci.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
Le faisais-tu avant ? Et comment ?
Et il me semble que l'on peut conserver cela après les rénovations, non ?
Ou alors j'ai loupé quelque chose...
Domi
On note avec un élément (le représentant choisi) et un symbole (la flèche) un ensemble d'éléments.
C'est une notion bien abstraite. Et puis ensuite on écrit des calculs avec ces ensembles.
C'est peine perdue de penser rassurer l'auditoire.
On peut écrire dans un cours :
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que la translation qui transforme $A$ en $B$ est la translation qui transforme $C$ en $D$.
Cela définit davantage l'égalité de vecteurs que le vecteur lui même.
C'est comme la caractérisation suivante : deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
Pour le coup, la notion d'angles est presque plus simple...
Tu es vraiment persuadé de ce que tu dis.....ou alors c'est ironique ?
Demande donc à un élève de TS ce qu'est un vecteur (dans le meilleur des cas il te dira que ce sont deux lettres avec une flèche dessus....)
Je crois que le message de @kioups dit seulement que depuis un an, les translations sont revenues au collège.
Sans vecteur, c'est vrai, mais on a au moins un début du boulot déjà fait du type "cette translation est aussi cette translation" etc.
Un petit gain, disons très minime mais pas négligeable quand on connaît le boulot à fournir en seconde quand aucun élève n'avait entendu parlé de translation.
Mais là où tu as raison : personne ne sait ce qu'est un vecteur au lycée.
Comment peut-on être arrivé en TS et parler dans sourciller de "points colinéaires" ?
Voilà ce qu'il en coûte de ne plus rien définir...et donc de ne plus faire de maths au lycée....
Faire mumuse avec scratch ou geogebra en troisième pour faire semblant de parler de translations n'améliorera en rien leur compréhension de la notion de vecteur en seconde.....je parierais même que cela sera pire encore....
Plutôt que faire des zaktivités stériles calibrées pour plaire aux adjudants pédagogiques régionaux, il faudrait revenir au cours magistral bien structuré.
Que peut-on bien faire avec trois points, à part se demander s'ils sont co-linéaires ?
Que peut-on bien faire avec quatre points d'un plan, à part se demander s'ils sont co-cycliques ?
Evidemment, on peut en prendre un peu plus à la fois, et se demander s'ils sont co-cubiques, mais cela fait quand même bondir la complexité des calculs.
Cordialement, Pierre.
co-coniques: tout à fait. Il suffit d'écrire que les plongements conifiants des six points sont co-trucs (co-hyperplanaires).
Cordialement, Pierre.
;-)
@parisse
Oui. Mais alors là, j'aimerais voir ce que cela donne dans la partie calculatoire.
Les élèves se permettent déjà tout, alors si on peut soustraire des points...ça va en écrire des bêtises...
Domi
C’est d’ailleurs comme ça qu’on calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
-- Schnoebelen, Philippe
C'est pire que tout aujourd'hui si l'on s'en tient aux textes.
Je crois même qu'il y a écrit explicitement qu'on ne donne pas de définition ponctuelle de ces transformations.
C'est une honte.
Je crois qu'il faut les donner.
C'est assez difficile pour la rotation, un peu moins pour l'homothétie.
Par contre pour les symétries et la translation, c'est tout de même à la portée des gamins.
J'ai eu la discussion avec un inspecteur (pas trop "idiot" celui-là).
Je lui ai dit que si les profs commençaient à "faire des grands gestes" pour ce genre de chose, c'était assez grave.
Bon, bref, une réponse :
La définition de la translation avec les parallélogrammes se fait dans plusieurs collèges, même "difficiles".
Ainsi c'est tout comme ce que tu dis @bulledesavon. On définit "translation de vecteur" mais pas vecteur.
Par contre, le paragraphe avec "direction, sens, longueur" je le trouve "bof bof", voire inutile.
Pour terminer mon message : les profs de seconde peuvent s'appuyer sur ce qu'ils faisaient et devraient même aller un peu plus vite.
Mais tu sais bien qu'un + ici et qu'un - là...ça va être géré n'importe comment par les gamins.
Même si c'est un bon exercice de compréhension finalement.
C'est tout de même une addition "extérieure" car on ajoute un objet à un autre de nature différente.
C'est en cela que je dis que c'est un bon exercice mais que c'est très difficile.
Évidemment c'est d'une cohérence implacable, ça personne ne le conteste.
-- Schnoebelen, Philippe
On a abrégé une somme d'un truc avec le même truc.
Bon si c'est pas un entier, ça se discute ;-)
Curieusement (ou pas) : les additions strictement vectorielles passent bien avec Chasles (on introduit un point et patati et patata). Les multiplications par un scalaire aussi je trouve. Même si ces dernières créent des absurdités d'écriture pour certains.
Anecdote : J'ai vu une fois, ce truc amusant : $2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{2A2B}$ avec un doute sur la flèche (recouvrait-elle l'ensemble ?)
Oui ok, je taquinais Parisse en fait, mais quand même...
Après j'avoue que j'ai vu des élèves le faire spontanément, c'est donc que ça passe bien. Effectivement quand ils cherchent une solution ($M$ tel que $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}$ --> ils écrivent $M=C+\overrightarrow{AB}$).
-- Schnoebelen, Philippe
Seulement la question est de définir le vecteur $\overrightarrow{AB}$.
En écrivant $B-A$ on n'a toujours pas de définition.
Mais j'ai pu louper un message "clé" (c'est sincère, je suis depuis mon zinc...).
Je vois pas ce qu'on peut faire d'autre...
à une époque, on a eu l'ambition de construire correctement la géométrie du collège. En fait, les profs, pour aider les élèves à comprendre, sont généralement revenus à ce qui se faisait avant (*). par exemple les parts de tarte pour les fractions (pour décoder les classes d'équivalences de couples d'entiers (a,b) avec b non nul).
Pour les vecteurs, on arrivait à deux idées (les deux me semblent nécessaires) :
* une direction, un sens et une longueur
* ce qu'il y a de commun aux bipoints (A,B) et (C,D) tels que ABDC est un parallélogramme
En collège et lycée, ces deux idées suffisent à saisir. Les enseignants de mécanique (en STI, par exemple, ou bac pro) se débrouillent parfaitement avec la première idée plus la règle d'addition. La définition par les translations explicite un élément commun (la translation qui est telle que A à pour image .
La "définition" par B-A est très pratique pour les calculs, mais il est caractéristique qu'après avoir été presque la seule au début du vingtième siècle, elle n'a pas été utilisée dans l'enseignement secondaire. Par contre, en géométrie affine, c'est une évidence.
Enfin le but du calcul vectoriel est de calculer, et là, la définition intervient très peu.
Au fond, ce qui compte, ce n'est pas la définition formelle (on l'écrit pour l'inspecteur ?), mais la compréhension qu'en ont les élèves. Il est caractéristique que le retour à la définition des intégrales en terminale avec l'aire sous la courbe (**) met en difficulté certains élèves car ils ne conçoivent plus l'intégrale comme un cumul et/ou comme une inversion de la dérivation. Ils en viennent à chercher de quelle aire il est question quand on intègre l'intensité d'un courant ou calcule des coefficients de Fourier.
Cordialement.
(*) ils le disaient en classe mais ne l'écrivaient jamais, et jamais non plus en présence d'un inspecteur.
(**) conjuguée à la faiblesse du niveau moyen
[édit : La définition de Blueberry me convient parfaitement]
Domi
Tu dis que ce qui compte, ce n'est pas vraiment la définition donnée, mais le fait que les élèves parviennent à manipuler plusieurs conceptions juxtaposées de le même notion. (je suis assez d'accord)
Dans ce cas, la définition de l'intégrale comme une aire n'est pas pire qu'une autre, puisque ce qui importe c'est justement qu'il y a plusieurs points de vue ?
Est-ce que ça irait mieux si on définissait l'intégrale comme résultant d'un cumul continu (par analogie avec les sommes finies, notamment) ?
L'égalité \( \overrightarrow{AB} = B - A \) est une définition !
lorsqu'on considère les variétés affines comme parties d'espaces vectoriels.
De ce fait un vecteur est un point et inversement.
Tout dépend avec quelles lunettes vous les regardez.
À partir de là, il n'y a plus besoin de se poser les questions quant à savoir quoi choisir comme axiomes de la géométrie affine, euclidienne, etc.
Le problème est que vous/le collège/le lycée vous attaquez à la face nord : la définition intrinsèque des espaces affines.
Geogebra additionne les points et les vecteurs sans scrupule ni vergogne.
Certains élèves utilisent spontanément cette notation. Je les mets en garde, je les félicite pour leur prise d'initiative et je leurs mets tous les points - et même un peu plus en provision de tous ceux que les futurs correcteurs vont enlever.
Comme le signalait GaBuZoMeu dans un autre fil, pouvez-vous donner une situation où cetee notation conduit à un résultat faux ?
e.v.
[ @Dom $2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{2A2B}$ c'est un peu abusif (il manque des parenthèses je pense...) ]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Il me semble que ceci donne une définition de vecteur : un vecteur est une translation.
La somme de deux vecteurs est ainsi la composée de deux translations, et comme les choses sont bien faites, c'est encore une translation. On peut même dire que les translations agissent sur l'ensemble des points...
Il est clair qu'on ne peut pas tout définir au collège et au lycée : qu'est-ce qu'une longueur une aire , un volume , un angle , ... ?
On ne définit pas forcément mais on évite d'ajouter de la confusion là où il y en a déjà beaucoup .
Il n'y a pas de vecteur au collège , on considère la translation qui amène $A$ en $B$ sans autre forme de procès ( l'existence et l'unicité de la translation est admise X:-( )
Domi
J'ai un robinet d'eau ouvert.
Au temps $t_0=0$, je mets en-dessous un seau vide.
Je m'amuse à faire varier le débit $v(t)$ (p.ex. en litre par seconde) du robinet.
Interpréter l'intégrale $\int_{t_0=0}^T v(t) dt$.
- Regardez l'aire sous la courbe ( pendant ce temps là je calcule ma petite intégrale ) .
- J'écris le résultat sur mon petit papier .
- Vous avez trouvé combien ?
- Regardez mon petit papier !
C'est fantastique , sous vos applaudissement B-)
En intégrant on à l'air(e) de quoi ?
Il y a du sens et c'est la seule chose importante .
Domi
(*)rappelons que si $E$ et $F$ sont des ensembles, une fonction de $E$ dans $F$ est une partie $t$ de $E\times F$ telle que pour tout $p\in E$, il existe un $q\in F$ unique tel que $(p,q)\in t$. On utilise également la convention de notation suivante: pour toute fonction $g$ et tout $(x,y)\in g$, $y=g(x)$.
Dans la suite $\mathcal P$ désigne le plan usuel.
Donnons des définitions (le mot définition est utilisé dans le sens que tout le monde sauf les auteurs de programmes de maths du collège/lycée lui donne-ce qui inclut l'homme de la rue comme le mathématicien)
Une translation est une fonction de $\mathcal P$ dans $\mathcal P$ telle que pour tous $A,B\in \mathcal P$ , les points $A,B,f(B),f(A)$ (pris dans cet ordre) sont les sommets d'un parallélogramme (éventuellement aplati).
Un vecteur est une classe d'équivalence pour la relation d'équivalence $\equiv$ sur $\mathcal P^2$ définie comme suit:
si $(U,V)$ et $(W,X)$ sont des éléments de $\mathcal P^2$, $(U,V)\equiv (W,X)$ si (et seulement si...) $U,W,X,V$, pris dans cet ordre, sont les sommets d'un parallélogramme (éventuellement aplati).
(c'est la définition des vieux livres, elle peut paraître tirée par les cheveux mais au moins à l'époque on définissait).
On a le fait suivant:
Les translations et les vecteurs sont exactement la même chose.
Montrons qu'une translation est un vecteur: soit $t$ une translation. Alors $t$ est un ensemble de couples (cf définition donnée plus haut). Soit $X\in \mathcal P$. Alors $t$ est la classe d'équivalence de $(X,t(X))$pour $\equiv$; en effet si
$(P,Q)$ est un autre élément de $t$ alors $Q=t(P)$ et donc $(X,P,t(P),t(X))=(X,P,Q,t(X))$ est la liste des sommets d'un parallélogramme, et donc $(P,Q)\equiv (X,t(X))$. Réciproquement, si $(P',Q')\equiv (X,t(X))$, comme $X,P',t(P'),t(X)$ et $X,P',Q',t(X)$ sont les listes des sommets de parallélogrammes on a automatiquement $t(P')=Q'$ et donc $(P',Q')\in t$.
Montrons qu'un vecteur est une translation: Soit $v$ un vecteur, classe d'équivalence d'un certain couple $(A,B)\in \mathcal P^2$. Par définition, $v$ est un ensemble de couples d'éléments de $\mathcal P$, autrement dit une partie de $\mathcal P^2$. Montrons que $v$ est une fonction. Soient $X,Y,Z\in \mathcal P$ tels que $(X,Y)\in v$ et $(X,Z)\in v$. Montrons que $Y=Z$: ceci provient du fait que $(X,Y)\equiv (X,Z)$ i.e. $X,X,Z,Y$ sont les sommets d'un parallélogramme(i).
Soit $U \in \mathcal P$; il existe alors un $M$ tel que $AUMB$ est un parallélogramme donc $(U,M)\in v$ (ii). Les points (i) et (ii) entraînent que $v$ est une fonction.
La condition à base de parallélogramme qui fait de $v$ une translation découle immédiatement de la définition de $\equiv$.
Si $A,B\in \mathcal P$, le symbole $\vec{AB}$ désigne l'unique translation envoyant $A$ sur $B$.
Soit $(X,\mathcal A,m)$ un espace mesuré $\sigma$-fini. Si $f:X\to \R_+$ est une application, désignons par $E_f$ l'ensemble $\{(x,y)\in X \times \R_+ \mid y \leq f(x)\}$, on peut vérifier que
1°) $f$ est une fonction mesurable si et seulement si $E_f$ est une partie mesurable de $X\times \R_+$ muni de la tribu produit.
2°) si les conditions de 1° sont remplies, $(m\otimes \mu) (E_f)=\int_X fdm$ (où $\mu$ désigne la mesure de Lebesgue et $\otimes$ le produit de mesures).
(1° est un peu technique, 2° est un corollaire trivial de Fubini)
Bref l'incantation "l'intégrale est l'aire sous la courbe", si elle ne définit rien du tout tant qu'on ne sait pas ce qu'est une aire, a au moins le mérite de ne pas être mensongère.
Je n'aime pas dire que $\overrightarrow{AB}$ est une application affine de partie linéaire $Id$.
$\overrightarrow{0}$ aussi d'ailleurs.
Edit : ton littéralement renvoie sur un rappel qui est un discours sur la théorie des ensembles...
Une fonction n'est pas définie dans le secondaire. Enfin, pas comme ça.
@tous
La discussion devient abracadabrantesque.
C'est donc une définition dans un autre monde.
Et ça n'en est pas une dans l'autre.
Seule l'approche de @Blueberry me semble incontournable, suffisante et nécessaire pour définir cet objet.
Mais ensuite, personne n'est dupe qu'il faut définir l'addition de ces choses là.
Et là je te rejoins @ev, dès que Chasles se pointe, les élèves, même peu brillants, s'en sortent très bien sans erreur.
Mais avec le mélange point/vecteur, j'aimerais voir si cela porte ces fruits...
Assimiler vecteurs et "fonctions affines de partie linéaire nulle" est pertinent même dans le cadre d'espaces affines généraux:
si $E$ est un espace affine sur le $K$-espace vectoriel $V$ alors il existe par définition un morphisme de groupes injectif $\varphi$ de $V$ dans le groupe des bijections de $E$ dans lui-même. Est-ce que la translation de vecteur $v$ est $\varphi(v)$ ou bien $v$ lui-même? En tout cas il n'y a pas de problème à identifier $V$ et son image par $\varphi$ (auquel cas $v=\varphi(v)$ et un vecteur est bel et bien une translation).
On peut tout à fait définir un espace affine sur le corps $K$ comme un couple $(X,G)$ où $G$ est un sous-groupe du groupe $(\mathfrak S _X,\circ)$ des bijections de $X$ dans lui-même, tel que $G$ possède une structure d'espace vectoriel, et tel que pour tous $x,y\in E$, il existe un unique élément $w$ de $G$ tel que $w(x)=y$. Un tel $w$ va être opportunément désigné par $\vec{xy}$, le théorème de Chasles devient une lapalissade (dans la présentation actuelle collégienne c'est un caprice arbitraire) et il n'y a plus de complications ontologiques inutiles.
Oui, d'accord sur "pas de définition de fonction".
Par contre, je m'étonne de "pourquoi donner deux noms différents pour la même notion ?".
Il me paraît clair que "angle orienté", "rotation" et "complexe de module 1" ne sont pas les mêmes choses.