0 modulo pi

Bonjour

Tu chipotes... Tu veux bien accepter $arg(z)=0 \pmod {2\pi}$? et pas $\pmod \pi$? Ce qu'on pourrait discuter c'est l'écriture même $\arg(z)$ qui n'est pas une "vraie" fonction, bien définie. Mais il y a des habitudes, pas si gênantes que ça!

À la formulation près, l'équivalence ne me dérange pas. Il y a deux options.

1) Soit on définit $\arg(z)$ comme l'argument principal, c'est-à-dire l'unique réel compris entre $-\pi$ (exclu) et $\pi$ (autorisé) qui est un argument de $z$. Dans ce cas, l'écriture «$\arg z=0\mod{\pi}$» est à prendre comme une congruence et elle va bien.

2) Soit on considère que l'argument $\arg(z)$ est défini à (un multiple de) $2\pi$ près, auquel cas il n'est pas ambigu de considérer une congruence modulo $\pi$. En effet, si $\theta$ et $\theta'$ coïncident à un multiple de $2\pi$ près, ils coïncident a fortiori à un multiple de $\pi$ près. En effet, l'argument d'un complexe non nul $z$ peut être $0$ ou (exclusif) $\pi$ (à un multiple de $2\pi$ près) et c'est exactement ce qu'exprime la congruence $\arg z=0\mod\pi$.


Quant au problème de formulation, c'est le suivant. La phrase commence par « $z$ est un réel non nul SSI $\arg(z)$... ». Cela sous-entend que $z$ a été défini avant parce que soit $z$ n'a pas été défini avant, alors c'est débile de chercher une CNS en termes complexes, soit $z$ a été défini avant et il faut supposer avant que $z$ n'est pas nul pour pouvoir parler d'argument.

Par ailleurs, si on utilise un symbole d'équivalence, il vaut mieux que la phrase soit toute en symboles. Enfin, le parenthésage des propositions est ambigu, il vaudrait mieux mettre des parenthèses (est-ce que c'est : $A\iff(B\ \text{ou}\ C)\iff D$ ou bien $(A\iff \ \text{ou}\ (C\iff D)$ ?).

Il vaudrait mieux écrire :

Soit $z$ un complexe non nul. Alors
\[z\in\R\iff \Bigl[\arg(z)=0\ (2\pi)\ \text{ou}\ \arg(z)=\pi\ (2\pi)\Bigr]\iff\arg(z)=0\ (\pi).\]

En effet, à la fin des fins, ça revient à ça : s'il y a $(2\pi)$ ou $(\pi)$ à la fin d'une égalité, c'est que c'est une congruence.

C'est peut-être une faute de frappe et l'auteur voulait en fait dire "$\text{arg}(z)=0 \text{ mod } 2\pi $".

(Les arguments de nombres complexes sont quand même fondamentalement des éléments de $\R/2\pi \Z$ à la base ...)

EDIT: non j'avais mal lu (ce qui devient une mauvaise habitude :-( )...
Il est clair que pour tout réel $x$, il existe $k\in \Z$ tel que $x=k\pi$ si et seulement si il existe $n\in \Z$ tel que $x=2n\pi$ ou bien $x-\pi=2n \pi$.
Ce qui fait que l'énoncé tient la route.

$(\R/\pi\Z,+)$ est au passage le quotient du groupe $(\R/2\pi\Z,+)$ par le sous-groupe engendré par la classe de $\pi$ modulo $2\pi$ donc tout va bien.

« Horreur », il faudrait relativiser. C'est une activité standard en mathématiques de transformer des relations diverses en égalités. Par exemple, avant de pouvoir écrire $7/5=14/10$, il faut avoir décidé d'identifier le couple $(7,5)$, écrit sous la forme $7/5$, avec sa classe d'équivalence. C'est la même chose avec une congruence.

Dans le genre, es-tu aussi choqué par une écriture comme $\widehat{BAC}=90^\circ$ ?

@kioups
Je n'ai absolument pas dit que +2kPi était plus compliqué à utiliser que "congru modulo 2Pi, je dis seulement que la notation congruence est plus pratique à utiliser à partir du moment où on explique cette notion (bref cours de spécialité, bref hors programme du tronc commun) et visiblement la plupart du temps lorsqu'on utilise le signe = dans l'esprit de "congru à" on n'explique pas la définition de ce = (donc confusion) et on se retrouve avec des élèves qui finissent par écrire tout simplement des 0=2Pi...
Demandez donc aux élèves de résoudre des équations du style 2x=Pi/3 (2Pi) sous cette forme et la majorité vous répondront x=Pi/6 (2Pi)....
@héhéhé
Je ne me déclare pas "expert en enseignement " mais je considère que l'obtention d'un Capes ou d'une agreg ne permet pas de s'auto proclamer sur un ton très condescendant "expert en enseignement" ( surtout depuis une vingtaine d'années...).

@zeitnot
On est entièrement d'accord qu'il faut expliquer et c'est justement le problème ici avec cette notation.
Si le manuel utilisait la notation avec trois barres je pense que les élèves se poseraient des questions : c'est quoi ce truc? Et on serait bien obligé d'expliquer la congruence et dans ce cas plus de problème...En utilisant le symbole = on dit les choses sans le dire..
Un élève de spécialité de terminale S ne fera pas l' erreur sur l'équation alors qu'un élève de terminale S de tronc commun la fera (et c'est normal).
Cette notation se trouve dans certains manuels de terminale S (de tronc commun puisqu'on parle ici d'argument de nombres complexes) , voire de première S quand on parle d'angles orientés. Un élève de spécialité s'étonnera seulement de l'utilisation du symbole = en tronc commun mais ce ne sera pas dramatique pour lui car il sait ce que ce = signifie alors que pour les autres...(sauf si on fait un cours sur la congruence avant..).