Inverse du théorème de Pythagore
Bonjour à tous,
J'ai trouvé cette image sur Internet suivi du nom "Inverse du théorème de Pythagore" : sauriez-vous pourquoi l'appelle-t-on ainsi alors que h représente une hauteur et non une hypoténuse ?
Je vous remercie pour cette information.
J'ai trouvé cette image sur Internet suivi du nom "Inverse du théorème de Pythagore" : sauriez-vous pourquoi l'appelle-t-on ainsi alors que h représente une hauteur et non une hypoténuse ?
Je vous remercie pour cette information.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
NB : La réciproque est vraie : dans un triangle $ABC$, notons $h$ la hauteur issue de $A$, $a=AB$ et $b=AC$, si $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$, alors $ABC$ est rectangle en $A$.
PS : version SM hardcore du théorème de Pythagore sous la plume du père de Guido Castelnuovo.
Donc puisque 1/a² + 1/b² = 1/h² <=> (1/a)² + (1/b)² = (1/h)² <=> A² + B² = H² avec A = 1/a, B = 1/b et H = 1 /h, cela est en lien avec le théorème de Pythagore.
Par contre, cela n'est pas gênant que H ne soit pas longueur d'un hypoténuse ?
Merci de nous rappeler cette relation et sa démonstration. On peut la ranger dans les "relations métriques dans le triangle rectangle" que nous avons évoquées récemment avec quelque nostalgie.
Tant mieux si on les trouve encore sur Internet, c'est qu'elles ne sont pas tout à fait oubliées ! Après, les dénominations des théorèmes peuvent être sujets de discussions sans fin. Théorème d'Al-Kashi, théorème de Pythagore, triangle de Pascal ou de Tartaglia pour nos amis transalpins etc.
Souvent elles sont un peu allusives ou provocatrices (théorème du gendarme, théorème du chapeau chinois), c'est juste pour qu'on retienne mieux le théorème en question ou son idée sous-jacente.
Je crois qu'une fois de plus, tu cherches la petite bête. Il n'y a pas là de quoi s'émouvoir.
Sincèrement. jacquot
[ Edit : L'explication d'ev ci-dessous montre que j'ai perdu une occasion de me taire.:-S ]
j'inverse par rapport au sommet \( O \) de l'angle droit avec une puissance égale à 1.
L'image du sommet \( A \) est \( A' \), l''image du sommet \( B \) est \( B' \), l'image du pied de la hauteur \( H \) est \( H' \).
L'image de l'hypoténuse est un cercle passant par \( O \), \( A' \), \( B' \) et \( H' \).
Il est orthogonal à \( (OH) \), donc \( [OH'] \) est un diamètre.
D'après le théorème sans nom, \( OA'H' \) est rectangle en \( A' \), \( OB'H' \) est rectangle en \( B' \). Comme \( OA'B' \) est rectangle en \( O \), \( A'OB'H' \) est un rectangle. On peux donc pythagoriser le triangle \( B'A'H' \) et en déduire
\[ \dfrac1{h^2} = \dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2}. \]
e.v.
N.B. Ton "théorème sans nom" s'appelle "Satz des Thales" chez nos collègues allemands.
Il s'appelle Thales's theorem chez les anglois.
Segundo teorema de Tales chez les espagnols et
Segon teorema de Tales chez les les catalans
TARESU NO TEIRI chez les japonais (TARESU étant la transcription en romaji de Thalès, lui-même transcription de...) (Je me fait jeter quand je copie-colle les caractères japonais)
Je ne suis pas allé plus loin dans la liste des langues fournie par wikipédia (il pleut, mais pas à ce point) mais il me semble que nous sommes les seuls à ne pas donner de nom à ce pauvre théorème. D'où ma dénomination de "théorème sans nom".
Sinon je proposerais bien: "Théorème de Clint Eastwood."
e.v.
[ Avouez que ça aurait de la gueule, non ? ]
Ce qui me chagrine, c'est que l'égalité a²+b² =c² est caractéristique ces triangles rectangles avec c la longueur d'un hypoténuse alors qu'ici, dans A²+ B² = H² (avec les mêmes notations que précédemment), H n'est pas la longueur d'un hypoténuse.
$\frac 1 5+ \frac 1 7= \frac {12}{35}$
12 et 35 sont le début d'un triplet pythagoricien.
$12^2+35^2=37^2$
A généraliser avec $a$ entier naturel non nul....
$\frac {1} {a}+\frac {1} {a+2}$
Je n'arrive pas à faire mes fractions, j'ai l'impression d'avoir bien tapé pourtant....:-S [ Ne pas confondre accolades et crochets. jacquot ;-)]
Merci jacquot.... (ma vue me joue des tours !)
J'ai l'impression que tu as lu cette discussion en diagonale :-D.
Cela étant je voulais surtout dire qu'il s'agissait d'un corollaire du théorème de Thalès (et rebondir sur la façon dont ce résultat est apparemment appelé théorème de Thalès à l'étranger).
Si ABC est rectangle en A et si la hauteur du triangle issue de A coupe BC en H, les triangles AHB, AHC et ABC sont images les uns des autres par des similitudes. On en déduit tout un tas d'égalités (entre rapports de longueurs de segments) via Thalès, on peut même en déduire le théorème de Pythagore usuel.
Je n'ai nulle part trouvé mention d'une appellation « inverse du théorème de Pythagore » pour désigner la propriété : $\frac 1{AB^2} +\frac 1{AC^2}=\frac 1{AP^2}$.
Ce terme d'« inverse » pour un théorème est généralement employé pour « réciproque».
Avant les dites « math-modernes » on traitait les cas de similitude des triangles en classe de Troisième. Dans le triangle rectangle susdit, on montrait la similitude des triangles $ABC$, $PBA$, $PAC$ et on en tirait la collection des relations métriques dans ce triangle, dont la plus remarquable est le théorème de Pythagore, et qui comprenait aussi cet « inverse » dont nous parlons aujourd'hui.
C'est sans doute la plus simple des multiples démonstrations du théorème de Pythagore.
Bonne journée.
Fr. Ch.
une vidéo passionnante de Burkard Poster, alias Mathologer, sur plusieurs démonstrations de Pythagore, ainsi que des généralisations :
Amicalement,
Pratique pour calculer la hauteur issue de l'angle droit.