Produit scalaire en première S

Bonsoir.

La formule analytique dépend de la base, donc dès que tu changes de base, c'est un peu compliqué.

L'identité de polarisation est cool tant qu'on reste dans le plan. C'est comme ça que je ferais.

e.v.

Je voterais pour la définition analytique!
D'autant que prouver que le produit scalaire est invariant par changement de base orthonormée est facile. (On pose $\vec {i'}=\alpha \vec i + \beta \vec j$ et $\vec {j'}=\gamma \vec i + \delta \vec j$ avec $\alpha^2+\beta^2=1$, $\gamma^2+\delta^2=1$ et $\alpha \gamma+\beta \delta=0$ etc.)
A mon avis de loin la solution la plus simple.

ça c'était avant...

Le vrai problème n'est pas la définition mais la capacité à jongler avec les différentes notions dans le bon contexte.

Bonjour,

sieur gérard0, de ce que j'ai pu constater dans mes errances TZRiennes est que
- l'approche que tu donnes est faite encore par des profs proches de la retraite. Moi je l'aime bien parce qu'elle est en lien avec la physique.
- la mode est à la forme dont le nom est zouli : la polarisation. L'histoire avec les normes. Moi je l'aime bien, parce que définis avec des longueurs, et j'aime bien les maths qui me parlent.
- des évolutionnaires privilégient la formule analytique dans un repère orthonormé. Bien, c'est simple mais pas parlant du tout : quel rapport avec les angles droits ?

Moi la dernière fois que je l'ai enseigné, j'ai suivi la mode.

S

Quand je faisais le cours en 1er S, je commençais également par la forme analytique. C'est la plus simple et elle permet de:

• directement montrer les propriétés de "commutativité", "distributivité" (entre guillemets car ce n'est pas une loi interne) et donc de justifier le terme "produit".
• faire faire immédiatement des calculs simples aux élèves pour rentrer dans le chapitre.

Et j'ai envie de dire "c'est quasiment la seule formule qu'il faut retenir du chapitre" ! Quand utilise-t-on en pratique l'identité de polarisation ?

Le problème du repère n'en est pas vraiment un je trouve. On définit le p.s. dans un repère orthonormé (donc a priori le ps dépend du repère), puis on montre l'identité de polarisation : le ps s'exprime uniquement avec les normes et donc est indépendant du repère. (Mais franchement voyez vous des élèves actuels s'exclamer en voyant la définition analytique : "Mais Meuhssieur, ça dépend du repère votre machin là !" ?)


Pour un point de vue plus physique, c'est bien d'insister un peu sur la formule avec le cosinus (bien que Oh malheur, le travail d'une force ne soit plus au programme en physique...).

Bonjour Tipplecat.

Il est facile de savoir si deux vecteurs colinéaires sont de même sens : Si u et v sont colinéaires, il existe un réel k tel que v=ku. Ils sont de même sens si k est positifs, de sens contraires si k est négatif.

Cordialement.

gerard0 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1629098,1629726#msg-1629726
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

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Graphiquement la valeur de k n'est pas toujours accessible.
Et souvent (lors de projection orthogonale) pour la trouver on utilise le produit scalaire ? On tourne en rond.
J'ai le même problème avec les secondes d'ailleurs. Avec cette définition d'un vecteur par une direction, un sens et une longueur et lorsqu'on cherche à prouver que deux vecteurs sont égaux.

1)On peut commencer par poser: $\vec{u}.\vec{v}= \frac {1} {2} \ ( \ || \vec{u} \|^2 + \ || \vec{v} \|^2 - \ || \vec{u}- \vec{v} \|^2) $ .
Cette expression possède plusieurs avantages.

a)En posant $\vec{u}= \vec{AB}$ et $\vec{v}= \vec{AC}$, on arrive alors à $\vec{AB}.\vec{AC}= \frac {1} {2} \ ( \ {AB}^2 + \ {AC}^2 - \ {BC}^2) $
Ce qui permet de mettre en relation le produit scalaire de deux vecteurs de même origine avec les côtés d'un triangle.

b)Il est alors facile pour un élève de comprendre le lien entre produit scalaire nul et vecteurs orthogonaux à l'aide du théorème de Pythagore.

c)On peut aussi utiliser cette formule sans problème pour retrouver l'expression analytique de $\vec{u}.\vec{v}$, ce qui permet de justifier la
présence du $ \frac {1} {2} $ dans la définition posée au départ.

2)Ensuite, on peut aborder les propriétés algébriques du produit scalaire qui peuvent se démontrer avec l'expression analytique puis aborder la
notion de carré scalaire ainsi que les identités remarquables.

3)On peut alors calculer le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires (produit des normes ou opposé du produit des normes) puis aborder la
notion de projeté orthogonal d'un point sur une droite et le calcul du produit scalaire à l'aide de projetés orthogonaux.

4)On peut alors démontrer la formule faisant intervenir le cosinus et la remarque faite en 1a permet d'arriver au théorème d'Al Kashi.