Droite orthogonale à un plan

Bonjour,

La définition de "P orthogonal à une droite" utilise le produit scalaire, donc je vois mal comment pourrait-on faire...

Ces deux propriétés sont données

La définition de "P orthogonal à une droite" utilise le produit scalaire

(B) est généralement bien connu,
mais pas (A) : quelles sont les hypothèses, qu'est-ce qui est admis ?

Apparemment, personne n'a l'air de lire ce qui est écrit. La définition est une DÉFINITION. Cette définition n'utilise pas le produit scalaire, et une définition n'a pas d'hypothèses.
La seule question est : comment démontrer la propriété à partir de la définition ?

Je n'ai aucune idée de comment c'est présenté dans le cours que suit bulledesavon, En tout cas, pour l'orthogonalité de deux droites dans l'espace on peut se ramener à une situation plane (en considérant la parallèle à une des droites passant par un point de la deuxième).

à coup de Pythagore, Al Kashi, réciproque de Pythagore

Hum, ça ou le produit scalaire, c'est kif-kif, non ?

Je ne suis pas d’accord avec l’énoncé de départ. On donne plutôt comme définition qu’une droite est orthogonale à un plan ssi elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan. Puis comme propriété, que si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite sécante du plan. Dans la pratique, c’est la démarche utilisée dans cet ordre dans les exercices. La propriété peut se démontrer sans PS mais c’est lourd. Le mieux est de l’admettre dans un premier temps et de la démontrer plus tard. (Admise au premier trimestre pour ma part, démontrée au deuxième).

La perpendicularité de deux droites est définie par Euclide lui-même, dans l'Élément premier.

PJ : LES QUINZE LIVRES DES ELEMENTS GEOMETRIQUES D'EVCLIDE, Traduicts en françois par D. Henrion, professeur ès Mathematiques, imprimez et corrigez du vivant de l'Autheur. 1632.

GaBuZoMeu écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1632148,1632220#msg-1632220
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

---

Bonsoir
ce que je voulais dire c'est la chose suivante : il me semble que si on suppose que l'on a Al-Kashi (ou Pythagore) dans tout plan de l'espace, c'est équivalent à dire que l'on a un produit scalaire.
Est-ce complètement à côté de la plaque ?

GaBuZoMeu écrivait:

---

> Pourrais-tu formuler plus précisément ta
> question ?

Je vais essayer, désolé de ne pas être assez clair.

> Est-ce "Si on a une structure euclidienne sur
> chaque plan affine d'un espace affine de dimension
> 3 et si ... conditions supplémentaires ??? ...,
> alors ces structures euclidiennes sont induites
> par une structure euclidienne sur l'espace entier"
> ?

Comment compares-tu la longueur BC dans le plan ABC avec celle de BC dans le plan BCD sans utiliser le fait que la distance dans l'espace est donnée par la norme d'un vecteur ?

> Ou alors, quoi ?
> Ça me semble diverger de la question de départ
> du fil.

Il me semblait que justement dans ce cas là, si la distance provient d'une norme, elle provient d'un produit scalaire.

Je suis d'accord Gérard, mon interrogation vient plus de la pertinence de parler de distance.
En effet, @bulledesavon voulait une preuve dans le chapitre "géométrie non repérée" et je pensais trop bancal de parler de distance dans ce contexte.
Et quitte à mettre un repère et une distance, autant faire la preuve avec le produit scalaire.

Totocov,

je ne comprends pas pourquoi tu parles de repère à propos de la distance. Tu sembles confondre la notion de distance avec celle de norme de vecteur. Les chauffeurs routiers connaissent les distances, ils ignorent (ou ont oublié) les vecteurs.
Rappel : la distance entre A et B est la longueur du segment [A,B].

Cordialement.

Pour les nostalgiques de la géométrie de l'ancien monde (300 AC), et sans Pythagore, ni Al Kashi, en notant A' dans la figure de GBZM le symétrique de A par rapport à B, on voit que :

AC = AC', AD = AD'
$\triangle$ ACD = $\triangle$ A'CD (trois côtés resp. égaux)
$\sphericalangle $ ACE = $\sphericalangle $ A'CE
$\triangle$ ACE = $\triangle$ A'CE (angle compris entre deux côtés, resp. égaux)
AE = A'E
BE $\bot $ AB

Très bien, GG, l'idée de la symétrie. Ce qu'on utilise est clair : orthogonalité à la mode d'Euclide ("quand une ligne droite fait en tombant sur une ligne droite deux angles égaux ..."), cas d'égalité des triangles. Et pas un poil de produit scalaire. Même pas de Pythagore, la terreur de Christophe C..