Équation désespérée

marsup · April 2018

Pouvez-vous m'expliquer à quel moment vous sentez qu'une (in)équation ne peut guère être résolue de manière exacte ?

Je propose comme exemple la question 2 de l'exercice 2 d'EmLyon 2016 ECE https://aphec.fr/mathematiques/2016/2016_eml_E_1_suj_mdd_a.pdf

Soit $f : t \mapsto t^2 - t \cdot \ln(t)$ : donner le tableau de variations ?

Nous avons calculé, question précédente :
$f'(t) = 2t - \ln(t) - 1$,
$f''(t) = 2 - \frac{1}{t}$.

Supposons qu'un élève se mette à chercher le signe de $f'(t)$ en commençant par résoudre $f'(t)=0$.

Avez-vous une réponse plus constructive que de dire les phrases suivantes :
"Mais non ! tu vois bien que c'est désespéré, car $t$ apparaît 2 fois dans l'équation $2t - \ln(t) = 1$.

Il faut manifestement faire le tableau de variations de $f'$ et en déduire son signe pour en déduire les variations de $f$."

Chalk · April 2018

Je ne suis pas prof mais j'ai deux réponses. Premièrement, si question précédente on calcule $f''$ ce n'est peut-être par pour rien. Deuxièmement, rien n'empêche d'essayer de résoudre $f'=0$. Mais si l'étudiant n'y arrive pas et n'a aucune idée, c'est peut-être qu'il faut essayer autre chose.

Dom · April 2018

Malheureusement, sauf à connaître une réelle théorie sur ce thème, c'est davantage une question d'expérience je pense que de "logique" («tu vois bien que»). Non ?

marsup · April 2018

Ah oui effectivement, tu n'es pas prof, sinon tu saurais que les élèves n'ont jamais "aucune idée" ! :-D

S'ils cherchent assez fort, il risquent tout simplement d'inventer des règles de calcul, ou bien de se dire qu'ils ont loupé l'astuce.

J'ajoute que j'ai été très tenté de dire "c'est justement pour ça (qu'on a inventé et) qu'on vous bassine avec le théorème de la bijection continue."

Math Coss · April 2018

Les équations que je sais résoudre sont très rares (l'inconnue est $x$) :

équations de degré $1$ du genre $ax+b=0$ ou $ax+b=a'x+b'$ ;
équations de degré $2$ du genre $ax^2+bx+c=0$ (ou...) ;
équations qui s'y ramènent par élévation au carré du genre : $ax+b=\sqrt{cx^2+dx+e}$ ;
équations qui s'y ramènent par un changement de variable qu'on voit de l'autre côté de la rue ;

voici les plus classiques : $X=\mathrm{e}^x$ ou $X=\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$ ou $X=\frac{x-1}{x+1}$ ou $X=\ln(x+1)$ ou $X=\cos(x)$ (parfois caché dans un $X=a\cos(x)+b\sin(x)$ via un $X=r\cos(x-\phi)$ avec $a+b\mathrm{i}=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}$) ou...

Pour aller au-delà, l'imagination me manque déjà. De sorte que quand je n'ai pas une forme de ce genre, je dérive.

C'est un peu comme les calculs de primitives : je n'y crois pas a priori.

marsup · April 2018

Ok.

Donc ton théorème-méthode passe-partout, Math Coss, c'est le suivant :

On commence (après élimination événtuelle des dénominateurs si pertinent) par regrouper ensemble (du même côté du signe $=$) les termes identiques (les $\ln(t)$ avec les $\ln(t)$, les $x^3$ avec les $x^3$)).

Alors :

Si l'inconnue (modulo changement de variable) apparaît deux fois ou plus, je n'y arriverai pas algébriquement, sauf trinôme du second degré.

marsup · April 2018

Ou plutôt comme ceci, juste à côté du théorème des valeurs intermédiaires, ou de la bijection continue/monotone :

"Voici la liste des équations que nous savons résoudre explicitement
- affine + homographique
- du second degré + point fixe d'une fonction homographique
- $\mathrm e^{x} = a$
- $\ln(x) = b$

Pour tout le reste il y a MasterCard."

Dom · April 2018

Je connais mal la sémantique.
Mais "savoir résoudre explicitement", n'est-ce pas "avoir une forme close de chaque solution" ?

marsup · April 2018

Oui, bien sûr Dom.

J'essaie simplement de ne pas trop multiplier le vocabulaire, mais c'est bien ce dont il s'agit.

Pour ton autre remarque, le coup de l'expérience, je suis d'accord avec toi ; simplement ça n'aide pas beaucoup les étudiants de leur dire ça...

Dom · April 2018

Oui, oui, c'est vrai ;-)

Bon, en gros, $t+f(t)=0$ est « commode à résoudre » que dans des cas très particuliers de $f$.

Mais en effet, la lecture du sujet permet de contourner les problèmes.
C'est d'ailleurs encore une histoire d'expérience que de savoir lire un sujet.

Chalk · April 2018

Quelque part c'est aussi le charme des mathématiques de ne pas avoir toujours de recette toute faite. Je sais, c'est pas ce que veulent entendre les étudiants, et je suis aussi passé par là ...

Il n'empêche, une règle importante, essayer de comprendre où nous emmène le sujet. Quand on demande de calculer $f''$ sans aucune raison apparente, il faut avoir le réflexe de voir si ça peut servir question suivante.

Par ailleurs, il me semble qu'en terminale j'avais déjà vu les tableaux de variation sur $f''$ pour en déduire celui de $f'$ puis de $f$. On peut considérer que ça doit faire partie des astuces à connaître au titre du cours.

ev · April 2018

skyffer3 a écrit:

Par ailleurs, il me semble qu'en terminale j'avais déjà vu les tableaux de variation sur $ f'' $ pour en déduire celui de $ f' $ puis de $ f $. On peut considérer que ça doit faire partie des astuces à connaître au titre du cours.

Une autre façon de le dire (euh, disons la mienne)
Même s'il faut la dériver quatre fois, une fonction finit toujours par parler.

e.v.

Dom · April 2018

Sauf cette satanée exponentielle X:-(

marsup · April 2018

Ah bon, ev ?!

Tu veux bien me dire, en dérivant autant de fois que tu veux, combien de solutions a l'équation :

$x^5 - 13 x^3 - x = \cos(x)$ ?

Puisque tu y es, j'aimerais connaître, en fonction de $P \in \R[X]$, le nombre de solutions réelles de $P(x) = \cos(x)$.

Tiens, et pour simplifier un peu, j'aimerais bien avoir un critère pas trop compliqué pour trouver le nombre de solutions réelles de l'équation $P(x) = 0$.

(on remplace $\cos(x)$ par 0, donc)

gerard0 · April 2018

Marsup,

tu prrends trop au sérieux les vannes d'Ev. Et sa méthode ne marche déjà pas avec $e^x=0$. :-)

Cordialement.

PG · April 2018

Bonjour,

Cette équation (f'(t)=2t-ln(t)-1=0) ressort du programme de terminale S?
Dans le contexte de l'étude du logarithme népérien en TS, un élève "moyen" sait qu'une équation de la tangente T en A(1;0) à la représentation (C) du logarithme népérien est y=t-1 et que pour tout t>0 T est au dessus de (C) donc t-1 est supérieur ou égal à ln(t). Donc f'(t)=t+(t-1-ln(t))>0.
Ceci dit, je n'ai rien contre la dérivée seconde...
Je ne vois pas quoi dire d'autre à un élève. Equation transcendante?

PG

Balix · April 2018

un élève "moyen" sait qu'une équation de la tangente T en A(1;0) à la représentation (C) du logarithme népérien est y=t-1 et que pour tout t>0 T est au dessus de (C) donc t-1 est supérieur ou égal à ln(t).

Comment te dire ça sans paraître défaitiste...

Vendredi dernier; sur un groupe de 10 élèves en AP , ils se sont cassés les dents sur -x² inférieur ou égal à -2x + 1. 2 ou 3 ont quand même réussi à me faire un joli discriminant égal à 0, mais après c'était trop dur d'en déduire le signe. Et moi de leur dire qu'on attend en TS d'un élève moyen de reconnaitre la factorisation de x² - 2x + 1; promis la semaine prochaine, je leur présente la méthode de la parabole inversée en dessous de toutes ses tangentes (pas de notion de convexité en S).
Pitètre ça va les éclairer...

marsup · April 2018

Puisque vous en avez sous la main, et qu'on parle de ce trinôme :

Est-ce qu'un élève moyen de Terminale S sait répondre aux deux questions suivantes :

1. Calculer la dérivée de la fonction $f:x\mapsto \ln(1+x^2)$.
2. Montrer que pour $x \in \R$, on a : $f'(x) \le 1$. (voire la version avec une valeur absolue $|f'(x)|\le 1$ ?)

Balix · April 2018

La première normalement oui.

La deuxième, ça dépend de la tête de ta dérivée, si c'est $\frac{2x}{1+x²}\le1 $, ben en mettant au même dénominateur , on retombe sur l'exemple que j'ai donné juste avant.
Donc ils sont sensés savoir faire oui.

roumegaire · April 2018

Si c'est un exercice d'ECE il est destiné à d'anciens TES qui 1) sont dans le supérieur et 2) ont vu la convexité en terminale. La méthode de la tangente en 1 me paraît tout à fait logique dans ce contexte. Des TS devront utiliser les outils à leur disposition, et donc procéder différemment.

Équation désespérée

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 26