Suites adjacentes

jacquot · April 2018

Bonjour,

Inspiré par la discussion Trois suites et l'approche laborieuse d'un élève de Terminale j'ai voulu reprendre le thème et composer un exercice analogue.

On considère deux suites conjointes $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par
$u_0=4$, $v_0=1$, $\forall n\in\mathbb N \ u_{n+1}=\dfrac {3u_n+v_n}4$ et $v_{n+1}=\dfrac {u_n+4v_n}5$.

Là, il conviendrait de faire bricoler un peu l'élève pour qu'il comprenne qu'on calcule des moyennes et que le destin de ces deux suites est lié.

On montrera ensuite que l'une est croissante, l'autre décroissante et qu'elles admettent une limite commune, mais je n'ai pas été capable de deviner quelle est cette limite sans avoir recours au tableur EXCEL. Ce n'est qu'après coup, que j'ai trouvé une méthode de calcul de cette limite.

La suite $(w_n)=(u_n-v_n)$ pourra être utile à cet effet.

Je pense qu'il y a moyen d'en faire un exercice pour des Terminales.
Quelles en seraient les questions ?

gb · April 2018

jacquot a écrit:

Ce n'est qu'après coup, que j'ai trouvé une méthode de calcul de cette limite.

La suite $(4u_n+5v_n)_n$ est constante.

jacquot · April 2018

::o C'est vrai et ça m'en bouche un coin !

Mon calcul est beaucoup plus laborieux:
* $(w_n)$ est une suite géométrique,
* expression de $u_{k+1}$ en fonction de $u_k$ et $w_k$,
* expression du terme général $u_n$ à l'aide d'une série géométrique, * limite.

Merci gb.
Si quelqu'un est motivé par la mise au point d'un énoncé pour des Terminales...

ev · April 2018

@ Jacquot,

1. On note pour tout entier naturel $ n $, $~ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $.
Trouver une matrice $ A $ telle que pour tout entier naturel $ n $, \[ U_{n+1} = AU_n.
\] e.v.

jacquot · April 2018

@ev
$A=\begin{pmatrix}
\frac 3 4 & \frac 1 4 \\
\frac 1 5 & \frac 4 5
\end{pmatrix}$

gb · April 2018

Comme le fait remarquer ev, il s'agit d'un problème d'algèbre linéaire ; qui plus est la matrice $A$ est stochastique.

On peut bâtir tout un problème (voire plusieurs…) autour de ces suites.

Il peut y avoir des questions préliminaires pour que les élèves s'approprient les manipulations de moyennes, surtout depuis que le calcul barycentrique a disparu.

On peut prouver que les deux suites satisfont :
\[\forall n\in\N,\qquad \begin{cases} u_{n+2}-\frac{31}{20}u_{n+1}+\frac{11}{20}u_n = 0 \\ v_{n+2}-\frac{31}{20}v_{n+1}+\frac{11}{20}v_n = 0 \end{cases}\]
soit par vérification directe, soit en évaluant $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$ (bonjour les calculs pour itérer la relation de récurrence…), ce qui permet d'exprimer $v_n$ aussi bien en fonction de $u_n$ et $u_{n+2}$ que de $u_n$ et $u_{n+1}$, et de conclure.

On résout l'équation: $x^2-\frac{31}{20}x+\frac{11}{20} = 0$ et on fait remarquer vérifier que, à la factorisation :
\[x^2-\frac{31}{20}x+\frac{11}{20} = (x-1)\left(x-\frac{11}{20}\right)\]
correspond la transformation de la relation de récurrence sur deux termes sous deux formes :
\begin{align}
u_{n+2}-\frac{31}{20}u_{n+1}+\frac{11}{20}u_n &= (u_{n+2}-u_{n+1})-\frac{11}{20}(u_{n+1}-u_n) \\
&= \left(u_{n+2}-\frac{11}{20}u_{n+1}\right)-\left(u_{n+1}-\frac{11}{20}u_n\right)
\end{align}
ce qui rend les suites $((u_{n+1}-u_n)_n$ et $\left(u_{n+1}-\frac{11}{20}u_n\right)_n$ sympathiques, et permet de retrouver la valeur de $u_n$.

Math Coss · April 2018

J'explicite le problème d'algèbre linéaire pour relier la première remarque de gb et la matrice $A$ d'ev.

Les valeurs propres de $A$ sont les racines de $X^2-\mathrm{tr}(A)\,X+\det(A)=X^2-\frac{31}{20}X+\frac{11}{20}$, où la trace $\mathrm{tr}(A)$ est la somme des coefficients diagonaux. On trouve que les valeurs propres sont $1$ (« matrice stochastique ») et $11/20$ ($\mathrm{tr}(A)-1$). Des vecteurs propres correspondants de $A^T$ sont $\binom{5}4$ et $\binom{1}{-1}$, ce qui s'écrit par les produits matriciels suivants $:\$ [\begin{pmatrix}5&4\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}5&4\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad
\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}A=\frac{11}{20}\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix},\]et a pour conséquences que la suite $(5u_n+4v_n)_{n}$ est constante et que la suite $(u_n-v_n)_n$ est géométrique de raison $\frac{11}{20}$.

D'autre part, des vecteurs propres de $A$ sont $P_1=\binom{1}1$ et $P_2=\binom{5}{-4}$, ce qui incite à poser $P=\left(\begin{smallmatrix}1&5\\1&-4\end{smallmatrix}\right)$. Les relations $AP_1=P_1$ et $AP_2=\frac{11}{20}P_2$ signifient que $AP=PD$, ou encore $A=PDP^{-1}$. Cela incite à poser $W_n=P^{-1}U_n$ puisque la relation $U_{n+1}=AU_n$ devient $W_{n+1}=DW_{n}$. Cela signifie que les coordonnées de $(W_n)_n$ sont des suites géométriques de raisons respectives $1$ et $11/20$ et donne une autre façon de calculer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.

Cela marchera pour toute matrice $2\times2$ (ou même $n\times n$) si elle a deux (ou $n$) valeurs propres différentes (réelles ou complexes). Avec une seule valeur propre (en général, strictement moins de $n$ distinctes), c'est moins agréable.

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