Limite h->0 et remplacer h par 0 ?

Eh bien là on ne peut pas remplacer h par 0.

"Je suis offusqué de voir certains élèves me dire que la limite quand h tend vers 0 revient à remplacer h par 0 ..."

Offuqué : blessé, choqué, froissé dans son amour propre ....

Y a pas de quoi s'offusquer, ce sont des élèves. Il faut au contraire sauter sur l'occasion, le rôle du prof est de leur expliquer pourquoi on peut ou on ne peut pas faire ça.

Si tu t'offusques pour si peu, tes élèves n'oseront plus jamais rien dire, faire.

Je suis quand même très étonné de ce que je lis sur le forum pédagogie.

Vous imaginez un prof de guitare, je suis offusqué mon élève a osé faire un arpège sans articuler les notes.

Vous imaginez le prof de tennis, je suis horrifié, il ne décompose pas bien son mouvement quand il est au service.

Mouaif, le propre de l'élève est d'apprendre. Se tromper, mal faire, fait parti de l'apprentissage. A nous les profs d'apporter les corrections.

J'engueule mes élèves, je m'offusque, je m'indigne au moindre retard, à la moindre attitude déplacée, si les devoirs ne sont pas faits, si le cours n'est pas appris.... En revanche, il faut toujours profiter de leurs erreurs pour avancer. Surtout que la bourde évoquée ci-dessus est tellement classique pour un première S qui rappelons le, découvre la notion de limite pour la première fois.

Je ne sais pas pour vous, mais moi, dès que je cherche une limite, je remplace par la valeur mentalement.
Si ça coince (cas indéterminé), alors je me retrousse les manches.
Non ?

L'erreur c'est d'écrire ce que l'on fait mentalement, oui c'est vrai. Surtout quand ça coince, la majorité des cas.

Mais oui, mais oui, il n'y a pas lieu de polémiquer des heures sur cette histoire de "je remplace", evidemment.

Evidemment qu'on commence par remplacer h par 0 pour calculer une limite d'une expression algebrique, ce n'est que si la forme est indeterminee qu'on utilise une autre methode (developpement limite, regle de l'Hopital, ...)

Comme Parisse, comme GBZM, et comme Fermat avant eux, je remplace h par 0, je ne vois pas ce qu'il y a de choquant. Au contraire je trouve beaucoup plus choquant les pseudo-définitions de limite que l'on trouve dans les manuels qui accompagnent les pseudo-définitions de dérivées et auxquelles les élèves ne comprennent rien (sûrement parce qu'il n'y a rien à comprendre). D'ailleurs, il me semble avoir lu que Villlani et Torossian préconisaient cette approche dans leur rapport.

M.

Tout le monde remplace d'abord mentalement $h$ par $0$ dans les calculs de limites "faciles".
L'important est de comprendre ce qu'on fait et ce qu'on peut écrire. La réalité c'est que la notion de continuité n'est plus enseignée dans le secondaire et que les élèves croient que toutes les fonctions sont continues (sur leur domaine de définition).

Il serait temps de réintroduire en secondaire les fonctions par cas, type $f(x) = 1$ sur $[0,+\infty[$ et $f(x)=0$ sur $]-\infty, 0).$

La notion de continuité est enseignée dans le secondaire en terminale S. Il n'est pas rare de voir des excercices, avec des fonctions affines par morceaux en seconde, qui ne sont pas continues.
Et on donne bien entendu des exemples comme celui de Cyrano, ne serait-ce que pour le chapitre sur limites, pour comprendre limite à gauche et à droite. Et la meilleure façon de faire comprendre la notion de continuité, est de donner quelques exemples de fonctions non continues.

Ce que j'adore dans l'argumentation des oiseaux de mauvaise augure (ceux qui n'arrêtent pas de dire que tout est foutu, ils se reconnaitront), c'est qu'au lieu de se réjouir du fait que quelqu'un qui aime et est visiblement fort en maths soit motivé pour devenir prof de maths et qui remontera le niveau moyen des profs, font tout pour le décourager...

Continuez à décourager tout le monde les gars ça va faire avancer le truc...

Que vaut la limite en $0$ de $\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ quand $(x,y) \to 0$?

A propos du message de RM sur la derivee de sqrt(x), il est bon de rappeler que 1/0 n'est pas une forme indeterminee, c'est l'infini (complexe ou non signe).
Pour la limite (plus delicate car multivariee) de x*y^2/(x^2+y^4) citee par Foys, on notera que le remplacement de x et y par 0 donne une forme indeterminee

[small]Cela me fait penser à la dérivée formelle d'un polynôme, sans la notion de limite.[/small]

Ahh, OK, merci GBZM !

Il y a aussi la fonction $f:\R^2\to \R$ telle que $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\left (\dfrac{xy^2}{x^2+y^4} \right )^2 \sin \left( \dfrac{1}{x^2+y^2} \right ) $ si $(x,y) \neq 0$.
Cette fois:
-$f(0,x)$ tend vers $0$ (lui est égal) quand $x\to 0$.
-$t\mapsto f(t^2,t)=\frac{1}{4} \sin \left( \frac{1}{t^4+t^2} \right)$ ne tend pas vers $0$ en $0$. $f$ n'est donc pas continue en $(0,0)$.
-Si $\varphi: [0,1]\to \R^2$ est une fonction continue quelconque $0$, telle que $\varphi (0)=(0,0)$ et s'il existe $\ell\in \R$ tel que $f \circ \varphi(t) \underset{t \to 0} \longrightarrow \ell$ alors $\ell = 0$ (c'est parce que cette fonction change de signe sur tout intervalle voisin de $0$. Ainsi on ne pourra pas montrer la non-continuité à l'aide de courbes ad-hoc).
-fait additionnel amusant, la restriction de $f$ à toute droite affine est dérivable;et si la droite passe par zéro, la dérivée en $0$ est nulle autrement dit toutes les dérivées directionnelles de $f$ en zéro sont nulles.
On pourrait en inférer un lien entre les dérivées directionnelles de $f$ et les $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$. Il n'en est rien (songer à $g(x,y):=f(x,y)+\dfrac{x}{|x|} \sqrt{|xy|}$ si $x\neq 0$ et $0$ sinon-fonction qui du reste partage les pathologies de $f$ listées plus haut; ou encore à $h(x,y)=f(x,y)+ \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right ) \sqrt{|xy|}$). Bref les inférences ne font pas les raisonnements mathématiques valides.

Je ne sais pas jusqu'où on peut prolonger l'exercice de style consistant à faire apparaître utilement "posons $h=0$" dans l'examen de la limite d'une expression (et on n'est pas encore passé aux intégrales sales mais rassurez-vous je vais m'arrêter bientôt), cependant je ne crois pas au côté pédagogique du remplacement d'une définition formelle précise (et qui donc va vraiment couvrir tous les cas) par une collection pléthorique de recettes rédactionnelles qui ne marchent que dans des cas spécifiques et sont valides pour des raisons subtiles (combien de gens-sans parler d'étudiants- sont capables de prendre les initiatives de GaBuZoMeu et de faire en sorte que ça marche).
L'antiformalisme pousse les gens trop loin.

GaBuZoMeu a écrit:

@Foys : je rigole un peu quand je vois tous les efforts que tu déploies pour montrer qu'on ne peut pas tout faire en "faisant $h=0$" (après plusieurs tentatives malheureuses, en passant à plusieurs variables et en te rabattant finalement sur le monstre $\sin(1/x^2)$). Bien sûr qu'on ne peut pas tout faire !

C'est-à-dire que le délire aurait pu se prolonger indéfiniment puisque pour tous espace topologique $X,Y$, pour toute fonction $f:X \to Y$ et pour tout $x\in X$, si $Y$ est compact (comme les cadres usuels $[-\infty,+\infty]$, $\mathbf P^n(\R)$, le compactifié d'Alexandrov de $\R^n$, etc), $f$ est continue en $x$ si et seulement si $\{ f(x) \}$ est l'ensemble des $y\in Y$ tels qu'il existe un espace topologique $Z$, un point $a\in Z$ et une fonction $\varphi: Z\to X$ continue en $a$, telle que $\varphi(a)=x$ et telle que $f\circ \varphi (t) \underset{t \to a} \longrightarrow y$ (c'est juste une variante de "dans un compact, un filtre a toujours au moins une valeur d'adhérence, et une seule si et seulement si il converge"). Donc là on s'écrie triomphalement "posons $t=a$"!!. Moi j'ai laissé tomber; réjouis toi comme tu veux (ce n'est pas mon problème).

marsup a écrit:

Pour la dérivation, évidemment que ce n'est pas idiot de prendre $h=0$ dans le taux d'accroissement.

Je crois me rappeler de la définition suivante :

On dit que $f:I\to \R$ est dérivable en $a$ s'il existe une fonction $p$ (pente) continue en a$a$ telle que pour $x \in I$, on ait $f(x)=f(a)+p(x)(x-a)$. Dans ce cas, on note $f'(a)=p(a)$.

Ce qui n'est pas idiot, c'est de soit utiliser cette définition si c'est bien celle du cours, soit de montrer (s'il y a une autre définition ce qui est quasiment toujours le cas en pratique), qu'une fonction dérivable vérifie cette propriété avant de s'en servir.

Sauf que là ce qui est quand même prôné dans ce fil c'est l'attitude [size=large]<<J'utilise les notations et calculs pipeaux (i.e. injustifiés) que je veux, et si le prof/l'interlocuteur échoue à me contredire, j'ai raison >>[/size].

Du pur renversement de la charge de la preuve.
C'est la négation même des mathématiques!!
Incroyable que des gens d'un niveau technique élevé, des chercheurs confirmés aillent dans ce sens.

GaBuZoMeu a écrit:

Faut-il pour autant s'offusquer qu'un élève exprime l'idée que calculer la dérivée de $f$ en $x$, c'est faire $h=0$ dans le taux d'accroissement $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ? Est-ce si déraisonnable ?

Il faut en finir avec cet élève magique qui pense comme les docteurs en science de l'éducation fantasment.A une minorité de surdoués près Il n'existe pas- sauf dans les lycées de la montagne Sainte-Geneviève et dans deux ou trois ultraniches hyperprivilégiées (les élèves d'un club de math d'un lycée international cossu arrivent peut-être à sentir les développements limités à l'ordre 1 mais ça n'est pas représentatif). Il y a plus de chances de se retrouver avec $f'(x)=1$ pour tout $x$ (après avoir simplifié le quotient par $f$) qu'autre chose.


L'enseignement des maths au collège/lycée en France, en dehors de ces situations d'exception, c'est du dressage littéralement.
C'est exactement comme les éléphants qui peignent en Thaïlande (et qui ne comprennent rien à ce qu'ils font bien sûr, ils sont juste maltraités par leur mahout, mais il y a des gens qui s'extasient "oh il sait peindre"). L'élève reproduit des listes de symboles réglementaires dans l'ordre et répond à des stimuli, c'est tout ce qui se passe. Les calculs de limites se font sur des fonctions triées sur le volet (et là h=0 ça marche sans problème oui; en même temps mes "mésaventures" du présent fil montrent que lesdites fonctions ne sont pas trop dures à fournir). Il y a un exo de barycentre (toujours le même avec "montrez que les 3 points sont alignés" et seuls les poids changent. ) Il y a des dérivées (toujours le même exo qui est donné aux détails cosmétiques près) la même intégrale (aux paramètres près; il doit y avoir une quinzaine d'exos à paramètres max )etc.
Les gens vous disent "mes élèves y arrivent" ou "mes élèves comprennent" (ces phrases sont en fait synonymes) mais pourquoi ledits élèves ont 3/20 de moyenne après en prépa ou en fac?
On va me dire que je suis dans le fan club d'un autre forumeur mais sur ce sujet il a raison (mais le dit souvent de façon trop caricaturale et agressive alors les gens se lassent).

Évidemment d'accord avec Foys au cas où mes autres interventions ironiques n'étaient pas claires ...

Merci et bravo à Alain pour ce scindage de discussion qui a du prendre un temps considérable (il y a pas mal de prose à lire et certains posts sont à cheval sur les deux sujets).

Cyrano a écrit:

à condition d'avoir prouvé au préalable que les polynômes sont continus en tout point.

C'est le nœud du débat. Personne ne dit que cette méthode ne marche pas. Mais on est plusieurs à dire que ce qui compte c'est pas qu'elle marche mais de pouvoir justifier pourquoi. Parce que remplacer $h$ par $0$ sans comprendre, au lycée, ça pourra aboutir à des divisions par zéro un jour ou l'autre (quitte à pas comprendre ce qu'on fait ...).

En gros, on cherche un théorème qui dit : « Si on est dans des bons cas, alors on peut trouver une fonction $g$ continue et définie au point considéré qui coïncide avec $f$ en-dehors. »

@parisse
Je suis certain que tout le monde remplace mentalement h par 0 en première intention.

@AD
Merci pour ce travail fastidieux :-)

On n'a pas de définition mathématiques de la limite au lycée. On reste au niveau de l'intuition. Mais il faut arrêter de toujours penser que les élève sont complétement cons. C'est le rôle du prof de faire sentir que ce n'est pas aussi simple que ça, de donner des exemples où cela ne fonctionne pas. Les élèves comprenent beaucoup mieux qu'on ne le pense. C'est loin d'être dramatique, qu'un élève ait comme idée de remplacer $h$ par 0 en première intention.

Bref, je pense que tous ces discours négatifs, on ne fait plus rien au lycée marchent involontairement main dans la main, avec ceux qui affaiblissent et détruisent notre matière depuis des années, ce qui défont nos programmes etc. Comme on ne fait pas bien les limites au lycée, comme on ne fait plus de maths, comme on ne donne pas la vraie définition, et bien on va les supprimer au prochain programme. Ca sera formidable...

D'ailleurs la définition intuitive est, en fait, celle des voisinage : tracer des cercles concentriques, de plus en plus petit...un bon zoom GeoGebra et hop !

@zeitnot : Qui prend les élèves pour des cons ? Voici ce que j'en pense : dresser les élèves ou être favorable à leur dressage, c'est la même chose que les prendre pour des cons. Pour moi, c'est un aveu, c'est un peu comme si on leur disait en face : "vous êtes tellement cons que même si on essaie de vous expliquer tout, vous n'y arriverez pas ; alors on va vous dresser pour donner l'impression que vous y arrivez". Si j'étais à la place d'un ou d'une élève, cela me dégoûterait.

zeitnot a écrit:

Faire mumuse au lycée avec les limites, pour ensuite définir les choses proprement ne me semble pas scandaleux

Je n'ai rien contre faire mumuse ; mais bon, même moi ça ne me fait pas rigoler, de jouer avec des limites ! Je veux bien qu'on dise qu'il faut que tout le monde ait un minimum de culture mathématique, que les mathématiques sont un moyen de sélection, et je suis d'accord ; mais je ne vois pas pourquoi on inflige à des gens de faire mumuse avec des limites ! Si jamais une personne doit vraiment utiliser les limites pour quelque chose d'important, où des vies sont en jeu, disons, comment peut-on se satisfaire d'avoir risqué de leur faire croire que les limites, c'était faire mumuse ? Qui s'en retrouve grandi, de tout ça ?

En tout cas, zeitnot, quand tu faisais le parallèle avec un cours de tennis, ben comment réagirais-tu si ton élève tapait dans la balle hors du terrain, se mettait à courir tout autour du terrain, pour se lancer sur la ligne du fond du court opposé et s'écriait "Home run !" ? Moi, je serais horrifié, et je lui dirais : "Non mais t'as rien compris ! Déjà, ici, on est au tennis, pas au baseball !". Ca n'a rien à voir avec le fait de ne pas décomposer son service (je ne sais pas ce que ça veut dire mais ça a l'air d'être une mauvaise habitude qu'on peut prendre, mais - et c'est là que c'est important - qui est tout à fait autorisée par la règle du jeu).

Il y a une petite différence entre la définition de limites qui est élémentaire et la définition de $\R$ qui est compliquée et inconnue parfois de certains matheux professionnels.

La réalité c'est qu'on peut faire l'intégralité de l'analyse dans $\R$ sans connaître sa définition mais en connaissant sa "propriété". (Densité des rationnels.)
D'ailleurs grosso modo, en secondaire on m'avait défini $\R$ comme étant $\overline{\Q}.$ (Evidemment c'était formulé de manière moins formelle mais l'idée y était.)

Quant à Newton, doit-on rappeler qu'à cette époque, personne n'a accès à l'enseignement des mathématiques à part certains privilégiés ? A partir du moment où l'on décide d'enseigner une matière à tout le monde, on ne peut plus rester dans le flou artistique. Newton et Euler peuvent se contenter de leur intuition, monsieur et madame tout le monde non.