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Représentation graphique d'une fonction

Envoyé par Arturo 
Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Bonjour,

Je fais écrire cette définition aux élèves :

Définition
"Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points M tels que f(xM) = yM".

Avec cette définition, est-il utile, selon vous, d'indiquer la propriété suivante.
"Dans un repère, soit (D) la représentation graphique d’une fonction.
On considère un point M de coordonnées (xM ; yM)
- Si M appartient à (D), alors f(xM) = yM
- Si f(xM) = yM, alors M appartient à (D)".
ou est-ce que la définition se suffit-elle à elle-même ?

Je vous remercie.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Énoncée comme cela, la définition suffit. On parle de "l'ensemble des points tels que blablabla", donc cet ensemble les contient tous et ne contient qu'eux.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Merci pour ta réponse Poirot.
Maintenant, en termes de pédagogie, est-il utile / intéressant / important de tout de même faire écrire la propriété aux élèves ?
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Tout de même, dans la définition, on peut doit écrire "$M(x_M,y_M)$" sinon ça va crier !

Préciser peut-être que $x_M$ est dans le domaine de définition de $f$, pour ajouter de la rigueur.
Même au collège, après tout même si rien n'a été défini en ce qui concerne les fonctions.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Oui, Dom, j'ai omis de l'écrire ici mais cela figure bien dans ma définition.

Comment expliquer cela aux élèves " Préciser peut-être que xM est dans le domaine de définition de f " ?
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Et bien sans donner de définition à "fonction" ni à "domaine de définition" j'imagine, on peut utiliser ces termes dans le cours. N'en as-tu pas parlé ?
La fonction $f$ définie pour les nombres ... par ...
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
avatar
On définit la fonction $f$ pour tout $x \in [0,2]$ par $f(x)=x^2$ et on définit la fonction $g$ pour tout $x \in [3,7]$ par $g(x)=x^2$
On a $f\neq g$ puique ces deux fonctions n'ont pas le même domaine de définition...les courbes de ces deux fonctions sont clairement distinctes....d'où la nécessité de préciser l'ensemble de définition de la fonction dont on veut définir la courbe.
Je suis d'ailleurs étonné que les programmes de collège et de lycée accordent aussi peu d'importance à la notion d'ensemble de définition.....(mais est-ce vraiment si étonnant que cela ?)

Définition satisfaisante au niveau 3ème:
Dans un repère du plan, la courbe d'une fonction $f$ est l'ensemble des points $M(x,f(x))$ lorsque $x$ décrit l'ensemble de définition de $f$.


What’s the most you ever lost on a coin toss ?




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Ramon Mercader.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
avatar
Je donne exactement la défintion de Ramon en seconde pour le graphe d'une fonction.

Par contre, Arturo, je trouve que les xM et yM alourdissent. Tu as sans doute une raison de faire ainsi ?
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
La raison est de nommer le point, je n'en vois pas d'autres.
Le dessin qui illustre la définition est plus parlant, peut-être ?
Bon, on peut nommer même en laissant $x$ et $y$...et avoir un beau dessin quand même...

Je suis tout à fait d'accord avec ce que propose @Ramon Mercader.

Répétons-le : ce n'est pas grave de ne pas définir "fonction" (et donc "domaine" non plus).
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Le problème est que les élèves de 3ème ne savent pas ce qu'est un ensemble de définition d'une fonction...
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
avatar
Encore une preuve éclatante que les programmes ont été rédigés par des sagouins....Comment peut-on parler de fonctions en escamotant l'ensemble de définition ????
Je crois qu'il faut en parler tout de même....


What’s the most you ever lost on a coin toss ?
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Oui mais ce n'est pas grave pour la définition formelle.

L'exemple de @Ramon Mercader est pertinent pour des 3e, non ?

Propose des énoncés avec : "la fonction définie pour les nombres positifs" ou "... les nombres entiers" ou etc.
Ou bien "tel que pour tout x>2, f(x) = ...", ça peut aider.

Le seul "hic" serait la notion d'intervalle : et bien je pense que ça devrait être fait en 3e.
Lors des résolutions d'inéquation par exemple, cela peut être un point de départ.
On propose le dessin et on passe à la notation "[a;b]".

Sinon, ça ne prend quand même que quelques lignes à définir "[a;b]" avec des notions basiques.
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
@Ramon Mercader
Je crois que c'est l'objet "fonction" qui pose problème.
Il y a eu des discussions là-dessus.
Mais en effet, je pense aussi qu'il faut parler de domaine et même d'ensemble d'arrivée (parfois "induit par la formule", il est vrai).
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Voici comment peut-être définie une fonction :
"Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x associe un unique nombre y".
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Oui et non.
On va se faire enguEuler car "procédé" et "associer" sont à définir.
Bon, cela dit, je ne trouve pas que cette "définition" soit un grave problème.

Je penche quand même pour ne pas écrire de "définition".
Utiliser le terme "associer" ne me pose pas de problème dans ce cadre.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Salut Dom,

J'espère que tu dis pas ça pour moi ! (non je crois que tu penses à quelqu'un d'autre, en fait... grinning smiley)

C'est vrai que la dernière fois, je t'avais un peu engueulé sur le coup d'"associer".

Je voulais juste dire que c'est un peu bizarre de dire que c'est une "définition".

Si tu mets "explication du mot" à la place de "définition", suivi de quelques exemples, je n'ai aucun problème, et je trouve ça très bien !

Mais "définition", c'est abusif.
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Oui, oui, je suis d'accord.

Non je ne visais personnellement personne. Disons un groupe de personnes.
Et à vrai dire dans ce cadre là, il s'agit vraiment d'une sincère bienveillance*.

P.S. : attention, j'utilise le mot bienveillance à bon escient et sans ironie. Je déteste ce mot depuis que l'éducation nationale s'en est emparée pour l'utiliser dans un sens proche de son contraire. Mais une fois n'est pas coutume.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Quelle définition du mot "fonction" proposeriez-vous alors pour des élèves de 3ème ?
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Je n'ai pas de solution.
ev
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
avatar
Un vieux fil, frais exhumé des catacombes du phôrüm.

Un vrai, plein d'épingles à cheveux et Christophe à chaque virage.

e.v.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Tant pis pour la définition :)

Je repose la question que J'avais posée auparavant : "Maintenant, en termes de pédagogie, est-il utile / intéressant / important de tout de même faire écrire la propriété aux élèves ?".

Merci à vous tous.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Je tente... (ne me lapidez pas !)
Voici ce que j'ai dit à mes élèves de 1ère ES et S, et Terminale ES en début d'année pour les aider à se remettre les idées en place sur les fonctions :

Définition 3ème : Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un unique nombre.
On peut donner le procédé sous la forme d’une expression littérale (ou pas… exemple la fonction qui a tous les nombres rationnels associe 1 et 0 à tous les nombres irrationnels !).

Définition 2nde : Soit un ensemble D de nombres de R
On définit une fonction f sur D lorsqu’à chaque réel x de D on associe un unique réel y.
On note f : x -> y où y = f(x)
D est appelé ensemble de définition de la fonction f ; x est la variable.
f(x) est l’image de x par f.
Quand on sait que y = f(x), on dit que x est un antécédent de y par f

Soit un repère du plan, on appelle courbe représentative Cf de la fonction f, l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) où x €D et y = f(x).
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
J'ai l'impression qu'il faut poser une dizaine de questions du type :

"le point $(1,2)$ appartient-il au graphe de la phonction : $x \mapsto 2x + 1$ ?"
"le point $(1,2)$ appartient-il au graphe de : $x \mapsto x^2 + 1$ ?"
"le point $(2,4)$ appartient-il au graphe de : $x \mapsto x^2$ ?"
"le point $(3,7)$ appartient-il au graphe de : $x \mapsto 1+2x$ ?"

... et tout le monde aura compris, après la correction des quelques premières.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Voici une proposition amélioration concernant la définition d'une fonction :
Une fonction f est un procédé "de calcul" (?) qui, à tout nombre x, associe un unique nombre y
Ce nombre x appartient à un "ensemble de nombres" (?) pour lequel ce nombre y existe.

Définition de la représentation graphique d'une fonction:
"Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points M(xM ; yM) tels que :
* xM appartient à l'ensemble de nombre pour lequel f(xM) existe
* f(xM) = yM".


Nous pouvons essayer de l'améliorer ensemble.
Chaque "?" indique que je me pose la question concernant la nécessité d'écrire ce qu'il y a entre guillemets.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
avatar
@Marsup,

Telles que tu les pose, les questions de ton dernier message n'ont aucun sens. Quels sont les ensembles de définition de toutes ces fonctions ?


What’s the most you ever lost on a coin toss ?




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Ramon Mercader.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Dans la série des implicites, le mot fonction est souvent utilisé pour parler de fonctions numériques (par exemple dans "associe un unique nombre") alors que le sens est bien entendu plus large. En classe de 3e j'avais préféré faire une introduction plus générale, en insistant plutôt sur l'association (l'utilisation de ce mot me paraît essentielle) entre un élément de l'ensemble de définition et un élément de l'ensemble d'arrivée. Cela peut se faire facilement avec des exemples issus du réel : par exemple associer à chaque élève de la classe un attribut unique (nom, date de naissance, taille, couleur des yeux...) Il devient très simple d'exhiber une image possédant plusieurs antécédents, ou d'expliquer le concept d'ensemble de définition en se limitant à la classe ou à l'établissement. J'imagine que cela pourrait donner des boutons aux puristes.

Pour ce qui est de la question d'Arturo, c'est une des plus grosses difficultés que j'ai rencontrée cette année en 2nde (et même 1ere ES ou Terminale ES) : faire comprendre aux élèves que si un point appartient à la courbe de $f$ alors ses coordonnées sont de la forme $(x;f(x))$. Du coup j'ai explicité les 2 relations que donnent Arturo dans son premier message, et surtout la seconde. Cela paraît essentiel pour aborder ensuite (ou auparavant ?) les équations de droite où l'on rencontre le même problème (même si ce ne sont pas nécessairement des fonctions). Mes élèves semblent mieux s'en sortir avec des $y=$ qu'avec des $f(x)=$ lorsqu'il s'agit d'une courbe... Je suis preneur de toute approche ou technique permettant de faciliter la compréhension de cette notion.
Dom
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
On peut même utiliser une notation fonctionnelle pour les transformations géométriques.
Et les notations pour les probabilités sont aussi un moyen de parler de fonction.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Bonjour,

C'est beau:
Citation
Marsup
phonction

Cordialement,

Rescassol
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
avatar
Sans donner de définition formelle, l'approche de rougemaire n'est pas idiote pour débuter.

Un exemple que les élèves comprennent très bien en introduction en collège.

La fonction "prix", qui à un article de supermarché associe son prix.

Un article n'a pas deux prix. A un même prix peut correspondre plusieurs articles. Pour un prix donné, il n'existe pas forcément d'article correspondant.
Re: Représentation graphique d'une fonction
il y a deux années
Vos remarques sont toutes très intéressantes.
Que pensez-vous des définitions que J'ai proposées hier et de mes interrogations ?
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