Histogramme to loi à densité

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,
Dans une activité, niveau terminale, on s'intéresse à la durée de fonctionnement (exprimée en semestres) d'un matériel électronique.
Cette durée est modélisée par une variable aléatoire T. Pour simuler des réalisations de T on demande dans l'activité d'utiliser un tableur et d'entrer la commande -ln(random())/0.07.
On réalise 5000 simulations et on trace un histogramme normalisé.
Cette commande permet de simuler une loi exponentielle de paramètre 0.07.
Ma question est pourquoi ? Pourquoi la commande "-ln(random())/0.07" permet de simuler une réalisation d'une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre 0.07 ?
Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    C'est un théorème, dans la partie 2 de ce document : https://www.math.u-bordeaux.fr/~mchabano/Agreg/Cours_Simu.pdf

    Un calcul intégrale pour le preuve certainement.
  • Math Coss
    Math Coss
    La fonction random() mime une variable aléatoire $X$ qui suit une loi uniforme sur $[0,1]$. Si on note $\let\k=\lambda Y=-\frac{\ln X}{\k}$ où $\k=0.07$ et si on se donné $a$ dans $\R$, quelle est la probabilité que $Y> a$ ? C'est équivalent à $X<\mathrm{e}^{-\k a}$, ce qui par définition de la loi de $X$ arrive avec la probabilité $\mathrm{e}^{-\k a}$.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    OK merci pour vos réponses. J'ai compris.
    Par contre comment justifier auprès des élèves que l'on simule un durée de fonctionnement avec cette commande ?
    Ils ne connaissent pas la fonction exponentielle et la justification de "cette commande simule une réalisation d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle " n'est donc pas possible. Justement cette activité est une introduction à la notion de densité de probabilité. On voit que l'histogramme, quand l'on prend un nombre suffisant de classes, peut s'ajuster à l'aide d'une exponentielle d'exposant négatif, et on remarque qu'alors les probabilités s'interprètent comme des intégrales de cette fonction.
  • Dom
    Dom
    Pas de fonction exponentielle ? Voulais-tu dire "loi exponentielle" ?

    "Cette commande simule " est un théorème je pense, un résultat admis d'après ce que je comprends.
    J'aurais écrit : on admet que cette commande simule (ce que l'on appelle) une loi exponentielle.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Oui je voulais parler de la loi exponentielle. La loi exponentielle est au programme de terminale. Mais cette activité précède le cours sur les lois de probabilité à densité. Donc il est absurde de parler de loi exponentielle alors qu'au stade où les élèves font l'activité, ils ne savent même pas ce qu'est une loi à densité.
  • Dom
    Dom
    Ok.
    En effet, dans ce cas inutile de parler de "loi exponentielle" bien que ce ne soit qu'un nom cependant.
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