Histogramme to loi à densité
Bonjour,
Dans une activité, niveau terminale, on s'intéresse à la durée de fonctionnement (exprimée en semestres) d'un matériel électronique.
Cette durée est modélisée par une variable aléatoire T. Pour simuler des réalisations de T on demande dans l'activité d'utiliser un tableur et d'entrer la commande -ln(random())/0.07.
On réalise 5000 simulations et on trace un histogramme normalisé.
Cette commande permet de simuler une loi exponentielle de paramètre 0.07.
Ma question est pourquoi ? Pourquoi la commande "-ln(random())/0.07" permet de simuler une réalisation d'une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre 0.07 ?
Merci.
Dans une activité, niveau terminale, on s'intéresse à la durée de fonctionnement (exprimée en semestres) d'un matériel électronique.
Cette durée est modélisée par une variable aléatoire T. Pour simuler des réalisations de T on demande dans l'activité d'utiliser un tableur et d'entrer la commande -ln(random())/0.07.
On réalise 5000 simulations et on trace un histogramme normalisé.
Cette commande permet de simuler une loi exponentielle de paramètre 0.07.
Ma question est pourquoi ? Pourquoi la commande "-ln(random())/0.07" permet de simuler une réalisation d'une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre 0.07 ?
Merci.
Réponses
-
Bonsoir,
C'est un théorème, dans la partie 2 de ce document : https://www.math.u-bordeaux.fr/~mchabano/Agreg/Cours_Simu.pdf
Un calcul intégrale pour le preuve certainement. -
La fonction random() mime une variable aléatoire $X$ qui suit une loi uniforme sur $[0,1]$. Si on note $\let\k=\lambda Y=-\frac{\ln X}{\k}$ où $\k=0.07$ et si on se donné $a$ dans $\R$, quelle est la probabilité que $Y> a$ ? C'est équivalent à $X<\mathrm{e}^{-\k a}$, ce qui par définition de la loi de $X$ arrive avec la probabilité $\mathrm{e}^{-\k a}$.
-
OK merci pour vos réponses. J'ai compris.
Par contre comment justifier auprès des élèves que l'on simule un durée de fonctionnement avec cette commande ?
Ils ne connaissent pas la fonction exponentielle et la justification de "cette commande simule une réalisation d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle " n'est donc pas possible. Justement cette activité est une introduction à la notion de densité de probabilité. On voit que l'histogramme, quand l'on prend un nombre suffisant de classes, peut s'ajuster à l'aide d'une exponentielle d'exposant négatif, et on remarque qu'alors les probabilités s'interprètent comme des intégrales de cette fonction. -
Pas de fonction exponentielle ? Voulais-tu dire "loi exponentielle" ?
"Cette commande simule " est un théorème je pense, un résultat admis d'après ce que je comprends.
J'aurais écrit : on admet que cette commande simule (ce que l'on appelle) une loi exponentielle. -
Oui je voulais parler de la loi exponentielle. La loi exponentielle est au programme de terminale. Mais cette activité précède le cours sur les lois de probabilité à densité. Donc il est absurde de parler de loi exponentielle alors qu'au stade où les élèves font l'activité, ils ne savent même pas ce qu'est une loi à densité.
-
Ok.
En effet, dans ce cas inutile de parler de "loi exponentielle" bien que ce ne soit qu'un nom cependant.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 63 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 313 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres