Espérance d'une variable continue
Bonjour,
Comment expliquez-vous à des élèves de terminale que $\int x\; f(x) \;dx$ est l'équivalent continu de $\Sigma\; x_i \;P(X=x_i)$ ?
Merci.
Comment expliquez-vous à des élèves de terminale que $\int x\; f(x) \;dx$ est l'équivalent continu de $\Sigma\; x_i \;P(X=x_i)$ ?
Merci.
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Réponses
Bon vous voyez que mon explication n'est pas du tout au point.
Je pense qu'en utilisant les sommes de Darboux, on peut prendre n'importe quelle valeur $y \in [x; x + \Delta x]$ avant de passer à la limite lors du calcul de l'intégrale : $\int x \,f(x)\mathrm{d}x$
Parce que : $$
\lim_{\Delta x \to 0} \sum (x + \Delta x) \cdot f(x)\,\Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \underbrace{\sum x \cdot f(x)\,\Delta x}_{\to \int x f(x)\mathrm{d}x} + \underbrace{\sum \Delta x \cdot f(x)\,\Delta x }_{\to 0}.
$$ Non ?
Je pense qu'Aléa propose de faire des rectangles dont l'aire est x_i * P( X = x_i), et ainsi comparer cela avec une intégrale (qui se veut calculer des aires)
Par exemple, l'énergie potentielle d'une masse s'écrit $mgh$, où $h$ est la hauteur moyenne (hauteur du centre de gravité)
Si la masse en question est un tas de billes de plomb, il s'agit d'une moyenne discrète : moyenne des hauteurs pondérées par les poids des billes $\sum h_i \cdot \frac{m_i}{m}$.
Si la masse est liquide, en revanche, la moyenne s'écrit plutôt $\int h f(h) dh$, avec $f(h) dh = $ proportion de la masse de liquide entre les hauteurs $h$ et $h+dh$.