Question d'un collégien
Bonjour,
En faisant des révisions avec un collégien, j'ai eu droit à la question suivante. Monsieur c'est quoi l'aire d'une surface du plan. Pour moi, en toute généralité, l'aire d'une partie mesurable de $\R^2$ est exactement sa mesure de Lebesgue sur $\R^2$, j'ai évité sa question en disant c'est simple par l'exemple l'aire d'un rectangle est ..., celui d'un disque est .... Mais le collégien a insisté, Monsieur c'est quoi l'aire d'une surface du plan ? J'ai fini par dire à ton niveau je n'ai pas une définition rigoureuse.
S.v.p Comment vous définissez dans vos cours l'aire d'une surface du plan au collège et au lycée ?
En faisant des révisions avec un collégien, j'ai eu droit à la question suivante. Monsieur c'est quoi l'aire d'une surface du plan. Pour moi, en toute généralité, l'aire d'une partie mesurable de $\R^2$ est exactement sa mesure de Lebesgue sur $\R^2$, j'ai évité sa question en disant c'est simple par l'exemple l'aire d'un rectangle est ..., celui d'un disque est .... Mais le collégien a insisté, Monsieur c'est quoi l'aire d'une surface du plan ? J'ai fini par dire à ton niveau je n'ai pas une définition rigoureuse.
S.v.p Comment vous définissez dans vos cours l'aire d'une surface du plan au collège et au lycée ?
Le 😄 Farceur
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Euh :-S
C'est le nombre de carrés de côté unitaire qui recouvre la surface. C'est pour cela que l'aire se détermine selon une précision donnée. L'aire en soit, indépendamment de la précision, c'est le nombre vers lequel tendent ces recouvrements.
Cordialement
On décrète qu'un carré unité est d'aire 1. On en déduit qu'un carré de longueur 1/2 est d'aire 1/4 (car il en faut 4 pour recouvrir le carré unité) etc. On approche alors l'aire d'une figure plus générale en prenant une grille finie et en sommant les aires des carreaux qui sont à l'intérieur (on obtient une minoration) ou en sommant les aires des carreaux qui touchent la figure (on obtient une majoration). Plus le maillage est fin, plus la majoration et la minoration sont proches (au moins si on divise chaque carreau en quatre à chaque étape d'approximation). L'aire est la limite quand le maillage devient de plus en plus fin. À adapter suivant l'élève, mais partir de carreau correspond à ce qu'il font depuis tout petit.
Et on répond quoi au collégien qui demande pourquoi le maillage est fait de carreau de même aire ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
En fait cette "mesure" est une comparaison. On compare la surface donnée avec une surface "étalon". La réponse est un "nombre de fois". Si les surfaces utilisées n'étaient pas de même aire, on ne pourrait pas comparer.
Je ne suis pas sûr que cela réponde à ta question, qui est un peu vague...
Cordialement
Ça fait partie de la définition de la mesure de Lebesgue. Je n'ai fait qu'esquisser une version édulcorée. Si on déplace une figure, si on la tourne etc. on ne change pas son aire.
Si j'explique à un lycien que l'aire d'une surface est un maillage avec carrés de côté unitaire et qui fournit une approximation. je serai gêné si on me pose la question: Pourquoi alors on affirme avec certitude que l'aire d'un disque est donnée par une formule exacte ( je ne suis pas certain d'expliquer bien qu'il y a un calcul limite dans ce cas)
On approxime avec des polygones réguliers et on montre que cela s'encadre en se rapprochant; la valeur exacte est la limite de la procédure.
Désolé, mais c'est vraiment comme cela que ça marche.
Si on accepte la valeur 2pi r pour la circonférence, on peut calculer par approximation la surface d'un rectangle de longueur pi r et de hauteur r, construit à partir de secteurs angulaires du cercle de base de plus en plus petits.
Cordialement
Si le collégien te demande ce qui se passe quand on découpe et pèse un ensemble de Vitali fais attention, ce jeune homme n'est probablement pas ce qu'il prétend être.
Sinon la vision à la physicienne exposée par Mathurin (découper en infinitésimaux en coordonnées polaires) permet de déduire (à la physicienne) l'aire du cercle en admettant la circonférence du cercle (ton collégien t'a-t-il posé des questions sur la définition de $\pi$ et et sur la définition de la longueur :-) ?). Mais c'est sans doute très rude au collège. Peut-être qu'il peut se laisser convaincre par un découpage en anneau infinitésimaux en admettant l'aire d'un tel anneau ? Il faudra être clair avec lui sur le fait que ce n'est pas une preuve complète mais que pour voir une telle preuve il faudra qu'il patiente un peu et qu'il continue les maths ! En tout cas l'aire est une très belle notion mathématiques.
C'est une question de pédagogie, soit on dit que la définition dépasse ton niveau ou on explique approximativement les choses.
Je vais adopter la vision de mojojo: l'aire d'une plaque est exactement sa masse mesuré sur une balance ( atomique) avec l'étalonnage que l'aire d'une plaque carrée de coté 1cm est 1 cm²
J'ai notamment mis en avant l'option : on donne une définition précise (pour une classe de figure : polygones, disques, ...) à partir d'une limite (que l'on peut définir aussi précisément que le réclame le collégien) mais en admettant la preuve des théorèmes qui sont derrière (le fait qu'une telle limite existe, le fait que l'aire ainsi définie soit invariante par rotation etc.).
S'il y a une petite lueur de math dans ce collégien (ce n'est peut-être pas le cas) ce serait dommage de ne lui donner qu'une définition non mathématique. De plus, le terrain a vraiment été préparé dans le primaire.
Enfin, on peut donner plusieurs vision (math, à la physicienne, etc.). Pourquoi n'en choisir qu'une ?
N.B je ne lui donne que des cours particuliers de renforcement.
je vous trouve bien culottés de qualifier de "physicienne" ma proposition, celle sur l'aire du cercle a été trouvée dans un texte de JP Demailly sur la géométrie du collège, un physicien sûrement.
Je passe sur la circularité philosophique à laquelle conduit celle sur le papier cartonné (comment connait-on sa densité ? C'est écrit dessus ?)
De toute façon sans construction propre des nombres réels (plus avant le bac aujourd'hui), il est vain de vouloir traiter des incommensurables, sauf "à l'estomac", car on n'a pas défini ce dont on parle.
Plus doucement, sur la pédagogie de la notion d'aire, je vous propose ce texte :
l'aire et la mesure
Cordialement
https://www.amazon.fr/Mathématiques-décole-Nombres-mesures-géométrie/dp/284225158X
C'est plutôt destiné aux professeurs, ou aux PRO.
Mais cela peut inspirer des constructions pour les élèves du secondaire.
L'expression « à la physicienne » n'a pour moi rien de péjoratif. Je veux juste dire que c'est sans doute ce que ferait un physicien :-) et que c'est par ailleurs une argumentation dont se contenteraient sans doute beaucoup de physiciens. Et rien n'interdit à un mathématicien de faire des raisonnements à la physicienne pour gagner en vision ou en intuition. Rien n'interdit non plus de présenter ces argumentations à des élèves/étudiants dans un cours de mathématiques, tant qu'on ne ment pas sur le statut de ces argumentations.
Je suis désolé d'avoir paru négatif. Quelque chose te choque encore dans mes propos, maintenant que j'ai un peu expliqué mon point de vue ?
J'avais bien compris, mais je persiste à croire en la qualité de ma proposition.
Si je dois choisir entre deux explications proposées à un collégien :
- celle convaincante pour lui, mais qui laisse dans l'ombre des éléments qu'il n'aperçoit pas
- celle plus rigoureuse, mais qui se termine par un "là il y a un point dur que tu ne comprends pas"
je préfère mille fois la première, qui promeut la méthode scientifique à la seconde qui prône un réflexe de nature religieuse.
J'ai vécu de telles explications "rigoureuses" (sur la mesure des angles par exemple), elles inspirent la crainte et n'aident en rien.
Cordialement
Bref, on a comme presque toujours différents moyens d'amener une notion difficile vers un public pas encore près, et c'est à chacun, avec sa sensibilité, de choisir celle qu'il préfère (Bon, voilà, la phrase creuse de la journée, c'est fait !...).
C'est une évidence ("je fais comme je le sens le mieux"), peu comprise par certains qui ont la science infuse.
Ce que j'aime bien dans l'approche de Ponctuel (mais cela n'enlève aucun mérite à celle de Mathurin, bien évidemment), c'est d'essayer de faire sentir cette notion (délicate) de limite, fondamentale en analyse, à un élève intéressé (et, de ce point de vue, le témoignage de Gebrane est positif) mais manquant encore de connaissance pour l'aborder comme il le faut, et ce sans vulgariser outre mesure.
Cela montre, à mon sens, la difficulté des professeurs de collège (et peut-être aussi de lycée), coincés entre la nécessité d'enseigner des concepts délicats et la rigueur mathématique que ces concepts exigent (mais qui, souvent, ne peut pas être enseignée à ce niveau-là).
Je ne vois en fait pas d'oppositions entre nos approches. Je crois que l'on a dit la même chose sur les petits carreaux. J'ai souligné que l'on pouvait donner une définition mathématique sans rien cacher (en dehors des preuves) si le collégien était intéressé. Et je pense bien sûr qu'il faut être pragmatique et s'adapter à son interlocuteur (veut-il plus de précision ? plus d'intuition ? etc.)
Je n'ai au départ rien dit de spécifique sur l'aire du disque. Tu as proposé quelque chose. Je pense que je tenterais la même explication si un collégien me posait la question. Je note simplement que là il serait plus difficile de présenter cela de manière mathématique, mais ce n'est pas pour cela que je ne le ferais pas.
Je rate encore quelque chose ?
Les mathématiques sont une science de lumière, pas d'obscurité, cela me parait essentiel.
Aidez moi ( on passe d'une mesure dans le plan à une mesure surfacique dans $\R^3$ )
Pourquoi ne pas lui proposer de répondre lui-même à sa question ? Après tout, c'est lui qui sort du plan.
Il y a (au moins) 2 façons de répondre : Soit par le développement de la surface réglée qu'est le cylindre (on développe le cylindre pour retrouver le plan); soit en définissant ce qu'est une surface dans l'espace.
Cordialement.
Pourquoi ne pas lui proposer de répondre lui-même à sa question ?
Parce que je suis payé pour ça
Tu es payé aussi pour le faire réfléchir donc tu peux lui répondre par une autre question.
-- Schnoebelen, Philippe
Moi je pense que la notion d'aire vient directement de considérations physiques, et qu'il est important de faire ressentir ça à l'élève, c'est vraiment la première chose à faire pour moi. Ensuite de cette définition (où d'une autre, ce ne sont que des définitions après tout...) on part un peu comme on veut. La définition avec le papier cartonné n'est serte pas très mathématique mais elle permet de retrouver rapidement les propriétés de base de la mesure : aire d'un pavé, additivité, invariance par découpage, monotonie... et puis ça permet de travailler directement avec. On sera sans doute plus dans le côté définition axiomatique de l'aire sans construction préalable que si on avait utilisé une limite de petits pavés mais est-ce vraiment une mauvaise chose ?
Après évidemment (mais je pense que ça dépend beaucoup de l'élève) rien n’empêche de donner une idée de la construction mathématique, de dire que c'est compliqué de définir rigoureusement l'aire de façon mathématique etc. Mais je pense que pour un certain nombre d'élèves cela risque entraîner plus d'incompréhension qu'autre chose, surtout s'ils ont déjà une compréhension intuitive de l'aire. Pourquoi faire si compliqué alors que "c'est évident" ? Je le répète encore une fois, cela dépend je pense beaucoup du profil de l'élève mais je ne vois pas l’intérêt de donner une idée de la définition rigoureuse de mesure de Lebesgue à un collégien qui a des difficultés en math et qui prend des cours de rattrapage parce que ses parents sont stressés pour son brevet.
Un petit hors-sujet (il s'agit de volume) , mais cette nouvelle approche m'y a fait penser :
D'ailleurs, je n'y ai pas bien réfléchi, la/une transformation qui renvoie le rectangle sur la surface latérale du cylindre conserve-t-elle les aires, en générale ? Je ne sais même pas la caractériser raisonnablement (quels axiomes imposer ?) pour qu'elle soit unique (enfin, peut-être pas...je ne sais pas).
Quelqu'un a des infos là-dessus ?
Ça transforme un segment en un cercle, selon le plan dans lequel on regarde. Une histoire d'inversion ?
tu es payé pour répondre à ses questions ? Ou pour l'aider à se former en maths ?
« Je n'ai bien sur rien contre cette méthode »
Quelle méthode ? Nous avons la même approche il me semble.
« il y a là un problème que tu ne peux pas comprendre »
De quoi parles-tu ?
« L'argument d'autorité »
Quel argument d'autorité ? Je suis désolé mais je ne comprends pas ce dont tu parles. J'ai cru comprendre que tu préférais cacher les difficultés plutôt que de les signaler mais à part cela tu es bien trop général pour que je comprenne.
"La surface latérale du cylindre correspond à un rectangle (enroulé autour du cylindre) dont la hauteur est h et la largeur est égale à la circonférence du cercle de rayon r."
Ceci démontre ( sans démonstration ) que si on plie une feuille rectangle pour former un cylindre, les aires du rectangle dans le plan et celui du rectangle enroulé coïncident
J'ai un soucis comment démontrer le résultat suivant: je trace un rectangle incliné (voir schéma) sur un papier rectangle et je plie la feuille pour former un cylindre, comment démontrer que les aires du rectangle dans le plan et celui du rectangle enroulé dans le cylindre coïncident
Et si tu veux justifier le résultat mathématique, il te fait définir correctement la notion d'aire d'une surface dans $\mathbb R^3$, ce qui est loin d'être élémentaire (voir un cours sur le sujet).
Cordialement.
je me suis certainement fait très mal comprendre.
Je ne critique pas la nature de ta solution, puisqu'elle est effectivement la même.
De toute façon, on ne peux pas lui donner une définition rigoureuse, car il n'a pas de connaissance de ce qu'est un nombre réel, il faut donc lui faire admettre, implicitement ou explicitement des résultats.
Ma critique va au devant d'un certain état d'esprit, plus ou moins présent dans ton approche :
Là tu n'aides pas l'élève, tu lui dis en substance : "c'est compliqué (pourquoi ? mystère), tu comprendras plus tard!"
Je crois que soit on ne présente pas la difficulté si l'élève ne la voit pas (solution "à la physicienne"); soit on lui dit très clairement où est le problème et ce qu'on lui demande d'admettre (par suite de construction axiomatique insuffisante). Mais on ne projette pas du brouillard dans son esprit !
Bon, mais ne prend pas ma remarque pédagogique trop à coeur, c'est simplement le fruit de mon expérience personnelle.
Concernant le prisme, il faut distinguer
- la surface idéale qui est sans épaisseur, qui ne change pas de métrique lorsqu'elle est appliquée sur le cylindre
- la surface réelle qui possède une épaisseur et qui est donc déformée (élastiquement) lorsqu'elle est appliquée sur le cylindre (avec un différence entre les deux faces)
Dans les deux cas, il ne s'agit bien sur pas d'une inversion qui appliquerait la totalité d'une droite (et non un segment) à un cercle (selon des modalités différentes).
Cordialement
Le plus simple d'un point di vue intuitif (même si on ne peut pas le démontrer a son niveau) c'est de lui dire que dans le cadre de la géométrie (affine) euclidienne il existe une unique fonction du plan dans R, qui est définie par étapes successives. Au niveau le plus bas on utilise les triangles et on définit l'aire d'un triangle, au niveau suivant on prend des figures convexes du plan. On triangule et on définit l'aire de cette figure comme la somme des aires des triangles. Evidament on démontre ensuite qu'on tel nombre ne dépend pas de la triangulation. Et ainsi di suite.
Cette approche constructive est préconisé dans l'ouvrage "Geometry A Metric Approach with Models" de Millman et Parker chez Springer.
La demonstration complète est évidement hors de porte du collégien, mais entre un discours sur la mesure de Lebesgue et cette approche plus géométrique le choix est vite fait.
« Je crois que soit on ne présente pas la difficulté si l'élève ne la voit pas (solution "à la physicienne"); soit on lui dit très clairement où est le problème et ce qu'on lui demande d'admettre (par suite de construction axiomatique insuffisante). Mais on ne projette pas du brouillard dans son esprit ! »
Je suis bien d'accord. Je me suis apparemment mal exprimé.
@Serge_S : oui, le choix est vite fait pour moi, je préfère les petits carreaux :-). Ça me semble bien moins mystérieux que la non dépendance en fonction de la triangulation.
La formule est exacte mais dans la formule , il y a pi qui lui n'est pas connu exactement .
Cordialement