Question d'un collégien

L'aire est effectivement la mesure de Lebesgue. Tu peux partir de la définition de cette mesure (l'unique mesure sur les boréliens invariante par translation et telle que la mesure du carré unité est 1) à laquelle tu peux ajouter des propriétés (comme l'invariance par rotation) et l'édulcorer pour arriver à quelque chose de présentable à un collégien curieux.

On décrète qu'un carré unité est d'aire 1. On en déduit qu'un carré de longueur 1/2 est d'aire 1/4 (car il en faut 4 pour recouvrir le carré unité) etc. On approche alors l'aire d'une figure plus générale en prenant une grille finie et en sommant les aires des carreaux qui sont à l'intérieur (on obtient une minoration) ou en sommant les aires des carreaux qui touchent la figure (on obtient une majoration). Plus le maillage est fin, plus la majoration et la minoration sont proches (au moins si on divise chaque carreau en quatre à chaque étape d'approximation). L'aire est la limite quand le maillage devient de plus en plus fin. À adapter suivant l'élève, mais partir de carreau correspond à ce qu'il font depuis tout petit.

Bonjour,
En fait cette "mesure" est une comparaison. On compare la surface donnée avec une surface "étalon". La réponse est un "nombre de fois". Si les surfaces utilisées n'étaient pas de même aire, on ne pourrait pas comparer.

Je ne suis pas sûr que cela réponde à ta question, qui est un peu vague...

Cordialement

Pour aller dans le même sens que nicolas partois : Tu dessines ta figure du plan sur une feuille de papier 240g/m^2 (c'est du canson), tu la découpes et tu la pèse. L'aire est alors le poids (en grammes) de la pièce découpée divisé par 240.

Si le collégien te demande ce qui se passe quand on découpe et pèse un ensemble de Vitali fais attention, ce jeune homme n'est probablement pas ce qu'il prétend être.

C'est bien, ce que dit Ponctuel (premier message plus haut) : ça reste rigoureux tout en étant accessible aux collégiens.

Bonjour,
je vous trouve bien culottés de qualifier de "physicienne" ma proposition, celle sur l'aire du cercle a été trouvée dans un texte de JP Demailly sur la géométrie du collège, un physicien sûrement.
Je passe sur la circularité philosophique à laquelle conduit celle sur le papier cartonné (comment connait-on sa densité ? C'est écrit dessus ?)

De toute façon sans construction propre des nombres réels (plus avant le bac aujourd'hui), il est vain de vouloir traiter des incommensurables, sauf "à l'estomac", car on n'a pas défini ce dont on parle.

Plus doucement, sur la pédagogie de la notion d'aire, je vous propose ce texte :
l'aire et la mesure

Cordialement

@mathurin

L'expression « à la physicienne » n'a pour moi rien de péjoratif. Je veux juste dire que c'est sans doute ce que ferait un physicien :-) et que c'est par ailleurs une argumentation dont se contenteraient sans doute beaucoup de physiciens. Et rien n'interdit à un mathématicien de faire des raisonnements à la physicienne pour gagner en vision ou en intuition. Rien n'interdit non plus de présenter ces argumentations à des élèves/étudiants dans un cours de mathématiques, tant qu'on ne ment pas sur le statut de ces argumentations.

Je suis désolé d'avoir paru négatif. Quelque chose te choque encore dans mes propos, maintenant que j'ai un peu expliqué mon point de vue ?

Je n'avais pas vu celle de Mathurin, qui me paraît OK aussi.

Bref, on a comme presque toujours différents moyens d'amener une notion difficile vers un public pas encore près, et c'est à chacun, avec sa sensibilité, de choisir celle qu'il préfère (Bon, voilà, la phrase creuse de la journée, c'est fait !...).

Merci de ton indulgence, Dom...

Ce que j'aime bien dans l'approche de Ponctuel (mais cela n'enlève aucun mérite à celle de Mathurin, bien évidemment), c'est d'essayer de faire sentir cette notion (délicate) de limite, fondamentale en analyse, à un élève intéressé (et, de ce point de vue, le témoignage de Gebrane est positif) mais manquant encore de connaissance pour l'aborder comme il le faut, et ce sans vulgariser outre mesure.

Cela montre, à mon sens, la difficulté des professeurs de collège (et peut-être aussi de lycée), coincés entre la nécessité d'enseigner des concepts délicats et la rigueur mathématique que ces concepts exigent (mais qui, souvent, ne peut pas être enseignée à ce niveau-là).

Je n'ai bien sur rien contre cette méthode, tant qu'elle ne conduit pas à des points obscurs du style "il y a là un problème que tu ne peux pas comprendre". L'argument d'autorité quand il est transparent oui, non quand il s'entoure de mystère..
Les mathématiques sont une science de lumière, pas d'obscurité, cela me parait essentiel.

Bonsoir Gébrane.

Pourquoi ne pas lui proposer de répondre lui-même à sa question ? Après tout, c'est lui qui sort du plan.
Il y a (au moins) 2 façons de répondre : Soit par le développement de la surface réglée qu'est le cylindre (on développe le cylindre pour retrouver le plan); soit en définissant ce qu'est une surface dans l'espace.

Cordialement.

mathurin a écrit:

Je passe sur la circularité philosophique à laquelle conduit celle sur le papier cartonné (comment connait-on sa densité ? C'est écrit dessus ?)

Ce n'est pas si circulaire que ça. La valeur de la densité ici on s'en fiche, et ça se voit bien dans le calcul : le poid d'une feuille d'aire $A$ est $A\cdot 240$ grammes et comme on redivise par $240$ derrière pour obtenir l'aire... Il s'agit simplement de comparer le poids de notre morceau de feuille à un poids de référence (celui d'une feuille de un mètre carré ici). On est donc très exactement en train de dire combien de carrés de référence "composent" notre figure.

Moi je pense que la notion d'aire vient directement de considérations physiques, et qu'il est important de faire ressentir ça à l'élève, c'est vraiment la première chose à faire pour moi. Ensuite de cette définition (où d'une autre, ce ne sont que des définitions après tout...) on part un peu comme on veut. La définition avec le papier cartonné n'est serte pas très mathématique mais elle permet de retrouver rapidement les propriétés de base de la mesure : aire d'un pavé, additivité, invariance par découpage, monotonie... et puis ça permet de travailler directement avec. On sera sans doute plus dans le côté définition axiomatique de l'aire sans construction préalable que si on avait utilisé une limite de petits pavés mais est-ce vraiment une mauvaise chose ?

Après évidemment (mais je pense que ça dépend beaucoup de l'élève) rien n’empêche de donner une idée de la construction mathématique, de dire que c'est compliqué de définir rigoureusement l'aire de façon mathématique etc. Mais je pense que pour un certain nombre d'élèves cela risque entraîner plus d'incompréhension qu'autre chose, surtout s'ils ont déjà une compréhension intuitive de l'aire. Pourquoi faire si compliqué alors que "c'est évident" ? Je le répète encore une fois, cela dépend je pense beaucoup du profil de l'élève mais je ne vois pas l’intérêt de donner une idée de la définition rigoureuse de mesure de Lebesgue à un collégien qui a des difficultés en math et qui prend des cours de rattrapage parce que ses parents sont stressés pour son brevet.

Gébrane,

tu es payé pour répondre à ses questions ? Ou pour l'aider à se former en maths ?

Ponctuel,
je me suis certainement fait très mal comprendre.

Je ne critique pas la nature de ta solution, puisqu'elle est effectivement la même.

De toute façon, on ne peux pas lui donner une définition rigoureuse, car il n'a pas de connaissance de ce qu'est un nombre réel, il faut donc lui faire admettre, implicitement ou explicitement des résultats.

Ma critique va au devant d'un certain état d'esprit, plus ou moins présent dans ton approche :

Il faudra être clair avec lui sur le fait que ce n'est pas une preuve complète mais que pour voir une telle preuve il faudra qu'il patiente un peu et qu'il continue les maths !

Là tu n'aides pas l'élève, tu lui dis en substance : "c'est compliqué (pourquoi ? mystère), tu comprendras plus tard!"

Je crois que soit on ne présente pas la difficulté si l'élève ne la voit pas (solution "à la physicienne"); soit on lui dit très clairement où est le problème et ce qu'on lui demande d'admettre (par suite de construction axiomatique insuffisante). Mais on ne projette pas du brouillard dans son esprit !

Bon, mais ne prend pas ma remarque pédagogique trop à coeur, c'est simplement le fruit de mon expérience personnelle.

Concernant le prisme, il faut distinguer
- la surface idéale qui est sans épaisseur, qui ne change pas de métrique lorsqu'elle est appliquée sur le cylindre
- la surface réelle qui possède une épaisseur et qui est donc déformée (élastiquement) lorsqu'elle est appliquée sur le cylindre (avec un différence entre les deux faces)
Dans les deux cas, il ne s'agit bien sur pas d'une inversion qui appliquerait la totalité d'une droite (et non un segment) à un cercle (selon des modalités différentes).

Cordialement

@Mathurin

« Je crois que soit on ne présente pas la difficulté si l'élève ne la voit pas (solution "à la physicienne"); soit on lui dit très clairement où est le problème et ce qu'on lui demande d'admettre (par suite de construction axiomatique insuffisante). Mais on ne projette pas du brouillard dans son esprit ! »

Je suis bien d'accord. Je me suis apparemment mal exprimé.

@Serge_S : oui, le choix est vite fait pour moi, je préfère les petits carreaux :-). Ça me semble bien moins mystérieux que la non dépendance en fonction de la triangulation.