Loi normale et moyenne
Bonjour,
On considère X qui suit une loi normale de moyenne $\mu$ inconnue et d'écart-type $\sigma=55$. On sait par ailleurs que $P(X\leq 675)=0.92$. On cherche la valeur de $\mu$.
La méthode que l'on apprend aux élèves : on introduit $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ la v.a. centrée réduite associée à $X$. $Z$ suit donc la loi normale centrée réduite.
Puis comme $X\leq 675\Longleftrightarrow Z\leq \dfrac{675-\mu}{55}$ alors $P(Z\leq \dfrac{675-\mu}{55})=0.92$.
Avec la calculatrice on trouve l'antécédent de $0.92$ par la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Cet antécédent vaut environ $1,405$. Puis on retrouve la valeur de $\mu$ qui vaut environ $597,7$.
Un élève m'a fait la chose suivante :
$InvNormCD(0.92,55,675)$ autrement dit il cherche l'antécédent de $0.92$ par la fonction de répartition de la loi normale de moyenne $675$ et d'écart-type $55$.
Puis il retranche à l'antécédent $675$.
Puis il fait $675$ moins le résultat précédent.
Autrement dit il fait : $675-(InvNormCD(0.92,55,675)-675) $ et il trouve le bon résultat.
Je reste perplexe car je ne comprends pas la logique de ce calcul.
Est-ce que vous comprenez pourquoi ce calcul donne le bon résultat ?
Merci.
On considère X qui suit une loi normale de moyenne $\mu$ inconnue et d'écart-type $\sigma=55$. On sait par ailleurs que $P(X\leq 675)=0.92$. On cherche la valeur de $\mu$.
La méthode que l'on apprend aux élèves : on introduit $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ la v.a. centrée réduite associée à $X$. $Z$ suit donc la loi normale centrée réduite.
Puis comme $X\leq 675\Longleftrightarrow Z\leq \dfrac{675-\mu}{55}$ alors $P(Z\leq \dfrac{675-\mu}{55})=0.92$.
Avec la calculatrice on trouve l'antécédent de $0.92$ par la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Cet antécédent vaut environ $1,405$. Puis on retrouve la valeur de $\mu$ qui vaut environ $597,7$.
Un élève m'a fait la chose suivante :
$InvNormCD(0.92,55,675)$ autrement dit il cherche l'antécédent de $0.92$ par la fonction de répartition de la loi normale de moyenne $675$ et d'écart-type $55$.
Puis il retranche à l'antécédent $675$.
Puis il fait $675$ moins le résultat précédent.
Autrement dit il fait : $675-(InvNormCD(0.92,55,675)-675) $ et il trouve le bon résultat.
Je reste perplexe car je ne comprends pas la logique de ce calcul.
Est-ce que vous comprenez pourquoi ce calcul donne le bon résultat ?
Merci.
Réponses
-
Bonsoir,
soit $a$ l’antécédent de 0,92 par la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On a $\mu=675-55a$.
Et $InvNormCD(0.92 , 55 , 675)-675$ calcule directement $55a$. -
Pourquoi $InvNormCD(0.92,55,675)-675$ calcule directement $55a$ ?
-
Je ne connais pas la calculette utilisée pour ce calcul, mais il me semble presque évident que
InvNormCD(0.92,55,675)
calcule l'antécédent de 0,92 pour la fonction de répartition de la loi normale d'espérance 675 et d'écart-type 55.
Soit $675+55a$.
On peut remarquer que675-InvNormCD(0.92,55,0)
était plus court à taper. -
On note $Y$ une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne $675$ et d'écart-type 55.
Soit $b$ l'antécédent de $0.92$ par la fonction de répartition de $Y$.
Alors $P(Y-675\leq b-675)=0.92$ avec $Y-675$ qui suit une loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 55.
$P(X-\mu\leq 675-\mu)=0.92$ avec $X-\mu$ qui suit une loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 55.
Les fonctions de répartitions de $Y-675$ et $X-\mu$ sont égales donc $b-675=675-\mu$. Donc $\mu=675-(b-675)$.
On retrouve bien le calcul de l'élève.
Comment cet élève a-t-il sorti ce calcul de sa tête ? Il n'a rien écrit, rien expliqué, il a juste dit "j'ai fait ça parce que c'est logique". -
Bonjour,
En reprenant vos notations, l'élève se dit peut-être : la cloche de $Y$ est la même que celle de $X$ mais centrée en 675 au lieu de $\mu$ ; le déphasage est $675-\mu$ ou encore $b-675$ ; j'obtiens donc $\mu$ en retranchant $b-675$ à $675$, c'est logique. -
Dis comme ça, c'est effectivement très clair et parfaitement logique. C'est forcément cela que s'est dit l'élève qui n'a rien écrit. C'est visuel. Merci beaucoup à tous de m'avoir éclairé sur ce point.
Cette question m'a personnellement fait avancer. Dans les corrections de BAC où dans les manuels, la méthode est de se ramener à une loi normale centrée réduite, mais il y a bien sûr d'autres méthodes possibles comme celle proposée par cet élève. Mais finalement, quand $\mu$ est inconnu, il suffit de retrancher $\mu$ et de travailler avec $X-\mu$ v.a. centrée d'écart-type inchangé et connu. Et quand $\sigma$ est inconnu, il suffit de diviser par $\sigma$ et de travailler avec $X/\sigma$ v.a. réduite de moyenne $\mu$ inchangée et connue. Inutile de centrer ET réduire dans chaque cas. Peut-être que la méthode qui consiste à se ramener systématiquement à une normale centrée réduite vient du fait qu'à une époque on n'avait pas de calculatrice mais seulement une table de valeurs de la normale centrée réduite. -
Petite remarque : on peut aussi utiliser sur TI83 la fonction f définie par f(x)=NormalFrep(-10^99,675,X,55). L'avantage est qu'en la modifiant légèrement, elle permet de trouver une borne inférieure, une borne supérieure ou encore l'écart-type...
-
En un sens, il me semble beaucoup plus simple de se ramener à la loi normale centrée réduite que d'apprendre par cœur le manuel d'une calculette.
Et je dirais volontiers à bulledesavon que, s'il l'avait fait dans le calcul de son élève, il n'aurait pas eu besoin de poser la question. -
Il n'est pas nécessaire d'apprendre le manuel par coeur pour trouver un antécédent d'un nombre par une fonction (ce qui est très utile dans bien des situations....) à l'aide de la calculatrice...
Et je veux bien que tu m'indiques comment trouver $a$ tel que $P(X\leq a)=p$ ($p$ étant donné) dans certains sujets de bac SANS utiliser la calculatrice. -
Fastoche! En utilisant la table de la loi normale et en résolvant les opérations à la main sur le brouillon. :-P Ce qui est fait à l'université.chris93 a écrit:Et je veux bien que tu m'indiques comment trouver a tel que $P(X \leq a)=p$ ($p$ étant donné) dans certains sujets de bac SANS utiliser la calculatrice. -
Je suis d'accord avec toi... c'est ce que les élèves font parfois à la fac... mais en général pas au lycée.
Evidemment, je ne suis pas contre utiliser l'instruction FracNorm (ou InvNorm) mais passer par une loi normale centrée réduite me semble d'un autre âge.. puisqu'on peut utiliser FracNorm avec n'importe quelle loi normale.
De plus, la méthode utilisant une fonction me semble plus générale et donc plus utile.
Personnellement, je présente les trois méthodes à mes élèves de TS (tables, FracNorm, fonction) et suivant la situation, ils utilisent celle de leur choix (souvent la fonction...) -
Bonjour
Ce n'est pas "peut-être", c'est sûr et certain. Les premières calculettes datent de vers 1970 (*), celles avec la loi Normale du vingt-et-unième siècle, l'usage de la loi Normale du milieu du dix-neuvième siècle. Pendant plus d'un siècle, on a "fait avec la table".Bulledesavon a écrit:Peut-être que la méthode qui consiste à se ramener systématiquement à une normale centrée réduite vient du fait qu'à une époque on n'avait pas de calculatrice mais seulement une table de valeurs de la normale centrée réduite.
Cordialement.
(*) la première calculette que j'ai vue, en 1972, une HP (notation polonaise inversée, pas de mémoires directes mais une pile de 10 nombres) coûtait le salaire mensuel d'un prof en milieu de carrière. -
vorobichek écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1654278,1655620#msg-1655620
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
J'ai du mal a comprendre comment on peut se vanter d'interdire les calculatrices au profit des tables alors que les outils numériques permettent de faire ce genre de calcul plus précisément, plus efficacement, avec en prime dans certains cas des illustrations graphiques pertinentes pour comprendre. À ce compte-la, pourquoi ne pas revenir aux tables de logarithmes et à la règle à calcul ?
On est en 2018, pas en 1950... -
Il faut se détendre Parisse B-)- Vorobichek ne parle absolument pas d'interdire les calculatrices. Il signale (avec un smiley !) qu'on peut faire autrement que d'utiliser la calculatrice à l'université.
-
Chris93, qu'appelles-tu la méthode fonction ? Aller dans le menu Table, rentrer Y1=NormCD(-1E99,675,X,55) ? Comment fais-tu pour sélectionner une plage de valeurs de X (menu SET) ?
-
Sur TI, je vais dans def table et, suivant le tableau de valeurs obtenus, on change la valeur initiale ou le pas pour aller plus vite ou obtenir une précision plus importante.
C'est une méthode utile dans plusieurs situations en 1ère S ou en TS. Par exemple,
- déterminer un intervalle de fluctuation en 1ère S avec la loi binomiale ;
- donner une valeur approchée d'une solution de l'équation $f(x)=k$ ;
- trouver l'espérance, l'écart-type ou une borne avec une loi normale ;
- obtenir le tableau de valeurs de f' sans calculer f' (ou pour vérifier le calcul de f')
- trouver $a$ tel que $\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)dx=valeurdonnée$.
Le principe étant le même, on cherche un antécédent de $y$ par une fonction "bien" choisie. -
Salut.
J'utilise avec plaisir Xcas qui m'indique dans quel ordre je dois mettre les paramètres. ( Merci à parisse ).
Pour utiliser une calculette il faut :
-- trouver la fonction ad hoc au fin fond d'un menu ;
-- se souvenir dans quel ordre il faut mettre les paramètres.
Il me semble plus simple de se souvenir que si $X\sim\mathcal{N}(\mu\, ; \sigma)$ alors $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0\,; 1)$
Et une calculette donnant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite ainsi que sa fonction inverse me semblerais suffisante.
Et on aurait une fonction à une variable, qui ne nécessite aucun effort de mémoire inutile. -
Au lieu de parler sans savoir, tu devrais te renseigner, les calculatrices d'aujourd'hui indiquent les paramètres à saisir avec un bel écran où tout est indiqué. Aucun besoin de tout apprendre par coeur, il suffit simplement de savoir où se trouve l'instruction utile (et elle n'est pas cachée au fin fond de multiples menus et sous-menus...).
J'utilise également Xcas et au début, j'ai été obligé de lire un peu de documentation...comme je le ferai pour une nouvelle calculatrice ou un nouveau logiciel.
Et pour revenir à la question que je t'ai posée initialement, si $X\hookrightarrow \mathcal{N}(\mu;\sigma)$ alors pour trouver $a$ tel que $P(X\leq a)=p$, il suffit d'utiliser FracNorm et de compléter les champs Aire, $\mu$ et $\sigma$. Je ne vois pas en quoi se ramener à la loi normale centrée réduite et faire la même chose serait plus simple. Au contraire...
Il n'y a pas pire sourd que celui qui ne veut pas entendre. -
En tout cas "il suffit simplement de savoir où se trouve l'instruction utile", je ne vois toujours pas le rapport avec les mathématiques...
-
Entièrement d'accord 8-)
-
Salut chris93.
Peux-tu donner la séquence de touches pour obtenir la fonction de répartition d'une loi normale, ou la fonction inverse, pour toutes les calculettes ?
Ce savoir te semble-t-il plus utile que de savoir que l'on peut ramener toutes les loi normales à la loi centrée réduite ? -
Les calculatrices se sont adaptees a leur marche cible, il y a donc un assistant sous forme d'une boite de dialogue pour indiquer la valeur des parametres pour ce type de commandes. Le risque d'erreur pour l'eleve est plus faible, mais la competence acquise est souvent faible, se limitant a une suite de sequence de touches en general assez differente d'une calculatrice a une autre ou si on passe a un logiciel.
Saisir une commande avec des arguments en ligne de commande me semble plus formateur, d'une part ca permet de s'adapter a des situations ou on n'a pas d'assistant, d'autre part si on change de calculatrice/logiciel il faut juste changer le nom de la commande s'il n'est pas normalise. Ca permet aussi de comparer facilement la loi normale avec parametres et la loi normale centree reduite. Enfin c'est conforme au nouveau programme d'algorithmique. -
@Verdurin : non, je ne peux pas te donner la séquence pour TOUTES les calculatrices puisque je n'utilise que la TI83 et un peu la Casio Graph35 (modèles qui doivent représenter 99% des calculatrices utilisées par les élèves de lycée). Quand un élève a une calculatrice différente (HP, Numworks...), je l'invite à chercher la procédure dans le mode d'emploi ou sur internet.
Pour ta deuxième question, les deux procédures sont utiles, mais parfois l'une est plus utile dans telle ou telle situation. D'ailleurs, mon premier message était juste une remarque pour proposer une procédure différente. J'en ai parlé avec certains collègues il y a deux ou trois ans et ils ne savaient pas qu'on pouvait utiliser une instruction dans la saisie d'une fonction. Je n'ai jamais dit que centrer et réduire était inutile, qu'utiliser la fonction de répartition était inutile... etc... à condition que ce soit la procédure la plus "rationnelle" dans le contexte , et dans son premier message, bulledesavon parle d'un élève qui... donc je me suis placé dans le contexte "Terminale". Or, quand on regarde les exercices de bac en TS, il y a parfois des choses qui me dérangent. Par exemple, partir d'une loi normale, la centrer, la réduire, puis utiliser FracNorm pour trouver machintruc alors qu'on peut faire sans centrer et réduire...je trouve ça bof !
Par exemple, la TI83 te donne $a$ telle que $P(X\leq a)=p$ ou $P(X\geq a)=p$ ou encore $P(\mu-a\leq X\leq \mu+a)=p$.
Maintenant, ça ne me dérange pas plus que ça. On peut me dire qu'utiliser la calculatrice n'est pas faire des mathématiques, qu'il est préférable d'avoir des commandes avec des arguments, qu'il est indispensable de savoir utiliser la fonction de répartition...OK B-)- -
Salut chris93,
Puisque tu ne veux pas centrer, réduire, j'imagine que tu voulais dire que la calculatrice donne $\mu-a$ et $\mu+a$ tels que $P(\mu-a\leq X\leq \mu+a)=p$.
On trouve souvent dans des sujets de bac S des questions où l'écart-type $\sigma$ d'une loi normale est inconnu. Comment fait-on dans ce cas-là ? -
Merci gai requin, je vais corriger.
Supposons que $X$ suive une loi normale d'espérance $\mu$ connu et d'écart-type $\sigma$ non donné. En général, dans les sujets de bac, on connait une probabilité $p$ du type $P(a\leq X\leq b)=p$ ( mais on peut avoir des probabilités de forme différente ce qui ne changera pas la méthode).
On utilise alors la fonction qui à x associe la probabilité $P(a\leq X\leq b)$ où $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $x$. Sur TI83, on tape $f(X)=NormalFREP(a;b;\mu;X)$. Ensuite, pour trouver une valeur approchée de $\mu$, on cherche l'antécédent de $p$ à l'aide du tableau de valeurs (avec une précision adaptée en changeant progressivement le pas). C'est déjà une procédure que les élèves connaissent, elle a par exemple été utilisée lors du chapitre "Continuité" et le théorème des valeurs intermédiaires pour trouver une valeur approchée d'une solution de l'équation $f(x)=k$.
Cette méthode est aussi utile quand on cherche une borne inférieure ou supérieure ou l'espérance. -
C'est quand même lourdingue parce que ça se fait en deux coups de cuillère à pot en centrant réduisant pour n'avoir plus qu'à taper une seule ligne de commande à la calculatrice.
Et surtout, la dichotomie tombe à l'eau si $\mu$ et $\sigma$ sont tous les deux inconnus... -
Et si on ne connait ni l'espérance, ni l'écart-type, et qu'on a la donnée de deux probabilités. Peut-on se passer de centrer réduire ?
Les exemples du D.A, quand un des paramètres (voire les deux) est inconnu, présentent le passage systématique par la centrée-réduite. Ca fait longemps que je n'ai pas corrigé le bac, une copie exposant ta méthode obtient-elle les points ?Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
Gai requin et moi même avons posté en même temps.Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
-
Pour un élève de TS , je ne suis pas convaincu.
En ce qui concerne la situation où $\mu$ et $\sigma$ ne sont pas connus, la méthode "Fonction" ne fonctionne pas. Cela rejoint ce que j'ai déjà écrit : les deux méthodes sont utiles mais l'une des deux est parfois plus utile dans telle ou telle situation.
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