Produit scalaire et propriétés algébriques

La bilinéarité du produit scalaire vient de deux choses : l'expression du produit scalaire en coordonnées est bilinéaire (i.e. l'application $B:\R^2\times\R^2\to\R$, $\bigl((x,y),(x',y')\bigr)\mapsto xx'+yy'$ est bilinéaire) et l'expression des coordonnées d'un vecteur dans une base $(i,j)$ est linéaire (l'application $C$ qui à un vecteur $v$ associe le couple $(x,y)$ tel que $v=xi+yj$ est linéaire).

Pour avoir la bilinéarité « sans base », il suffit de la vérifier dans une base particulière (celle que l'on décrète orthonormée) : en effet, le produit scalaire $v\cdot v'$ de deux vecteurs de coordonnées respectives $(x,y)$ et $(x',y')$ dans une base particulière est par définition \[v\cdot v'=xx'+yy'=B\bigl(C(v),C(v')\bigr).\]Les propriétés de (bi)linéarité ci-dessus entraînent directement la bilinéarité du produit scalaire $(v,v')\mapsto v\cdot v'$.

L'expression du produit scalaire en termes de normes n'a pas de rôle là-dedans.

C'est vrai qu'un repère dont les vecteurs de base sont de norme $1$ mais pas orthogonaux n'a guère d'intérêt en général (il y a des exceptions ; par exemple, si on étudie un pavage du plan par des triangles équilatéraux, il peut être agréable de se placer dans un tel repère parce que les symétries et les rotations y ont des expressions analytiques à coefficients entiers).