Une question sur les probabilités au collège

C'est la différence entre « après une expérience » et « après 100 expériences ». En fin de collège, tu leur apprendras qu'après 100 expériences qui donnent "face", tu as moins de 5 % de chances de te tromper en affirmant que la pièce est truquée.

Je crois qu'il faut être très clair.
Ce n'est pas un théorème mais un axiome.

Pour moi on doit l'annoncer dans la consigne.

« On suppose qu'à chaque nouveau lancer/tirage les issues sont équiprobables. ».

La question devient débile ? Oui, quoique...

Tu as raison, ce genre de choses commencent en seconde avec les intervalle de fluctuation (p. 8 ; ce n'est pas exigible en seconde). Cependant, même sans le théorème de la classe de seconde, on sent bien qu'il y a une différence entre une expérience et cent expériences. C'est pourquoi je ne comprends pas ton objection : pour réfuter l'absence de mémoire de l'expérience après un lancer, tu invoques une situation où il y a 100 lancers.

De fait, si on a sous la main une pièce qu'on n'a jamais vue et qui vient de donner 100 fois « face », on est en droit de se demander si elle n'est pas biaisée. Le 101^e lancer ne permettra pas de décider catégoriquement mais si je dois parier... Si on sait qu'on a une pièce « honnête » et un lanceur qui n'est pas particulièrement habile (il ne sait pas prévoir) ni malhabile (il ne fait pas que laisser tomber la pièce depuis une même position), on se dit simplement qu'on vient de vivre un événement rare. Mon pari ne sera peut-être pas le même (en tout cas, la probabilité que j'estime de le gagner n'est pas du tout la même). Les deux situations sont différentes – et la propriété des intervalles de fluctuation explique en quoi elles le sont.

Il y a une différence entre un bon modèle et un mauvais modèle : un bon (mauvais) modèle, c'est un modèle que l'on peut confirmer (réfuter) par l'expérience en la répétant un assez grand nombre de fois pour que les théorèmes de régularisation s'appliquent (loi des grands nombres et écart à la moyenne prédit par la propriété des intervalles de fluctuation). Et si on ne peut pas répéter l'expérience, eh bien...

Après, ce que je dis sur les probabilités est à prendre avec la plus grande prudence (ou à rejeter).

taimanov a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1659394,1659394#msg-1659394
[Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]

Bonjour,
Il y a deux situations (et deux questions) différentes ici.

1°) On lance une pièce dont on sait qu'elle est "équilibrée", elle tombe 100 fois sur face et on se pose la question "quelle est la probabilité que la pièce tombe sur pile au prochain lancer?"

2°) On lance 100 fois une pièce dont on ne sait rien (ou plutôt dont on souhaite vérifier qu'elle est équilibrée): si la pièce tombe 100 fois sur pile, est-elle équilibrée? on est dans le cadre d'un test d'hypothèse (et dans cet exemple, vraisemblablement l'hypothèse de la pièce équilibrée va être rejetée).
Noter qu'ici le risque de première espèce (la probabilité que sous l'hypothèse d'équilibre la proportion empirique dépasse une certaine valeur définie à l'avance, amenant à rejeter ladite hypothèse) ne s'interprète pas comme la "probabilité que la pièce soit truquée".

Ce ne sont pas les mêmes problématiques.

Dans la description de @Foys, c'est de la première dont il s'agit en général dans les exercices, comme notamment le sujet cité (DNB PONDICHERY 2018).

Il me semble que la question peut être traduite par l'expérience théorique suivante :

" On lance plusieurs (plusieurs est un euphémisme, certes) fois la pièce 101 fois, et on s'intéresse aux jets qui ont donné 100 P d'abord. Doit-on prévoir davantage de (PP...P)P ou davantage de (PP...P)F ? "

Je ne sais pas si ça aide ou si ça embrouille.

De toute manière, si cette satanée pièce est équilibrée, on peut admettre qu'elle le reste après chaque lancer : c'est ca qui n'est pas dit mais qu'il est raisonnable de supposer, non ?


Pour répondre sur la réponse "académique" (t'es sûr d'ailleurs ?) : ce n'est pas une bonne formulation. C'est du Audiard, dans ce contexte (collège), et même si j'adore ce dialoguiste, il n'a rien à faire ici.

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question. Je lance un dé équilibré à 6 faces une première fois, puis une deuxième fois. Quelle modélisation "avec mémoire" peux-tu me proposer ?

Globalement les élèves sont invités à manipuler certains objets (ou notions) mathématiques bien avant d'en connaître une construction formelle (comme les nombres, par exemple). Dans le cas précis des probabilités au collège on commence par des choses simples, et d'ailleurs même au lycée on reste sur des expériences aléatoires basiques, soit sans mémoire (lancer de dé ou de pièce, tirage avec remise) ou avec mémoire (tirage sans remise). Mais comme partout en maths il y a des implicites, des résultats admis, etc.

C'est bizarre, Taimanov, que tu passes tant de temps sur la modélisation probabiliste. Passes-tu autant de temps sur un exercice d'algèbre à support concret à justifier l'usage momentané d'un modèle physique ?
Le modèle d'équiprobabilité pour les pièces courantes fonctionne parfaitement, c'est connu. De même que le reste des applications courantes des maths à la réalité.

Cordialement.

> Ce qu'on va dire au collège, c'est que l'expérience n'a 'pas de mémoire'

Bah il y a pas que au collège, à tous les niveaux ce sera vrai. Et surtout dans la vraie vie! Et comme l'a dit Gérard, tes élèves le savent très bien.

Une probabiliste entre à l'Académie des sciences et elle commence par jeter des pièces de monnaies, comme taimanov.

Je ne comprends toujours pas : si tu lances une pièce "qui va bien" (équilibrée, etc.) alors clairement la probabilité d'obtenir pile au 101e lancer est de 0,5. Sinon tu fais de l'échantillonnage ou de l'estimation (on n'en parle pas au collège et finalement peu au lycée).

J'ai l'impression que ce qui te gêne c'est de dire aux élèves qu'on lance n'importe quelle pièce et qu'elle se comporte comme cela (suivant ce modèle). Mais ce n'est en général pas ce qu'on leur dit : on leur précise bien les propriétés de la pièce qui font qu'elle se comporte comme on a modélisé. Cela me paraît être une étape importante de l'introduction des probabilités au collège : bien expliquer les conditions (en général de mise en place de l'équiprobabilité). Le dé est équilibré, les cartes sont indiscernables, etc.

Au bout d'un moment on fait des exercices en manipulant ces objets "qui vont bien" sans répéter nécessairement toutes les conditions, ou en insistant sur les conditions qu'ils ne vérifient pas (par ex tirage avec remise comme contre-exemple de la loi binomiale).

Il est vrai que si l'on lance une pièce 100 fois et que l'on obtient pile, alors on a plus de chance de la lancer d'une certaine façon qui fait que la probabilité d'obtenir pile est beaucoup plus forte que d'obtenir face, plutôt que d'être tombé sur la configuration parmi les $2^{100}$. Donc si l'énoncé dit simplement "on lance une pièce", il y a matière à interprétation.

Bon, allez, on change :

On choisit cent pièces, toutes équilibrées, et une autre, la cent-unième.
On les numérote, et on les lance, une par une.

Vois-tu où je veux en venir ?

Je crois qu'il faut dire aux élèves que c'est la même expérience.

Remarque : parfois, dans les jeux de société où il fallait deux dés, que faisait-on quand on en avait perdu un seul ?

@SchumiSutil et @roumegaire :
taimanov a parfaitement raison de souligner l'importance de cette "hypothèse" faite sur les lancers successifs d'une même pièce (ou de quoi que ce soit), à savoir l'indépendance des différents lancers entre eux.
C'est bel et bien une hypothèse que l'on fait puisque, sans cette hypothèse, rien ne nous permettrait de savoir si les lancers successifs s'influencent entre eux.

Le fait que l'on puisse "faire le test" ne joue en rien dans l'affaire. On a choisi justement cette hypothèse parce qu'elle semble coller à l'expérience.
Cependant, il me semble important de noter que ce n'est pas "faire des mathématiques" que de dire "l'expérience est sans mémoire" : cette étape fait partie de la modélisation de l'expérience comme il a été dit de nombreuses fois.

Et d'ailleurs, cela n'a rien à voir avec le fait que la pièce (ou le dé) soit équilibrée ou non... (roumegaire et gerard0 ont insisté plusieurs fois sur ce fait).
Si on a un dé équilibré à 6 faces numérotées 1,1,1,2,2,3 la probabilité à chaque lancer d'obtenir 2 vaudra 1/3... à condition de supposer l'indépendance des lancers.
Pour répondre à l'interrogation de SchumiUtil : on pourrait imaginer un système électronique interne au dé qui fasse qu'il retombe systématiquement sur une face différente des précédentes tant qu'il n'a pas atteint les 6 faces puis qu'il se réinitialise.
(A vrai dire, j'ai même en tête un exercice où l'on se retrouve avec une somme de variables de Bernoulli qui sont toutes de paramètre 2/3... mais dont la somme n'est pas du tout binomiale !)

Cependant, c'est une notion certainement bien compliquée pour des collégiens et il est sans doute plus facile de la passer sous le tapis en disant clairement dans l'énoncé : "on supposera que pour chaque lancer, le dé a autant de chances de tomber sur chacune de ses faces".
La plupart du temps, c'est uniquement la force de l'habitude et la flemme de tout préciser qui font écrire simplement "on lance un dé équilibré plusieurs fois".

De toute façon, quel que soit l'âge des élèves à qui l'on dit la phrase : "vous apprendrez plus tard que...", ils entendront : "vous n'avez pas besoin de savoir que ..."

Au temps pour moi 8-)

Un petit dernier pour la route: tu jettes un milliard de fois la pièce. Il y a une forte probabilité qu'il s'y trouve une suite de 100 piles. Quelle est la probabilité que le lancer suivant donne pile?