Calcul littéral

Arturo · May 2018

Bonjour à tous,

Je remarque que beaucoup d'élèves se trompent entre les "+" et les "-" lorsqu'il s'agit de développer, par exemple,
(x - 3)(- x + 2).
De même, je suis pour apprendre le moins de formule.
Au risque de me faire des ennemis, voici ce l'alternative (qui ne fera pas de miracle, qu'on se le dise mais qui pourrait atténuer les dégâts) que je propose.

Plutôt que d'écrire directement : (x - 3)(- x + 2) = x * (- x) + x * 2 - 3 * (- x) - 3 * 2 = - x² + 2x + 3x - 6 = - x²+ 5x - 6
j'écrirais : (x - 3)(- x + 2) = (x + (- 3))(-x + 2) = x * (- x) + x * 2 + (- 3) * (- x) + (- 3) * 2 (avec que des "+") = - x² + 2x + 3x + (- 6) = - x² + 5x - 6.

De même, plutôt que (x - 3)² = x² - 2 * x * 3 + 3² = x² - 6x + 9 (où les élèves écrivrent x² - 6x - 9 ou encore x² + 6x - 9), j'écrirais : (x - 3)² = (x + (- 3))² = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² + (- 6x) + 9 = x² - 6x + 9.
Je ne prétends pas avoir la solution miracle mais, pour cette I.R., avouons que la logique du "-" au deuxième terme sur les trois donne la sensation de tomber comme un cheveux sur la soupe.
Je sais démontrer cette propriété (bien sûr) mais peut-être pour les élèves cela ne permettrait de retenir que 2 I.R. : (a + b)² = a + 2ab + b² et (a - b)(a + b) = a² - b² et de faire moins d'erreurs.

PS : pour l'I.R., il ne me semble pas nécessaire, pour le coup, d'écrire : (a - b)(a + b) = (a + (- b))(a + b) = a² - b².

J'aimerais vos avis.

En vous remerciant par avance (et en espérant ne pas me faire dégommer...)

Dasson · May 2018

Bonjour,
Je propose une playlist sur ces questions

Le lecteur dispose(:P)

Badiste75 · May 2018

Parce que tu crois sérieusement qu’avec cette façon de faire ça va aller mieux ? Si c’est le cas, tente, mets nous au courant. Je suis prêt à parier pour ma part que la surcharge de parenthèses va empirer la situation et je ne m’y risquerais pas !

gerard0 · May 2018

Bonjour Arturo.

Il me semble que l'essentiel est que tes élèves sachent que dans les produits de sommes, les soustractions sont des additions d'opposés. x-3 = x+(-3). Est-il nécessaire qu'ils détaillent ? Je ne crois pas. Mais dans les premières corrections d'exercices de ce genre, tu peux passer par l'écriture détaillée, et y revenir chaque fois qu'un élève se trompe.

NB : j'ai connu un collégien perdu parce que, dans x-3, il attribuait le - à x : x-3 = x^-+3, vieux souvenir de la présentation des négatifs.

Cordialement.

Dom · May 2018

Comme @gerard0, je pense qu'il ne faut pas faire tous les détails (pour une fois !).
On doit, selon moi, calculer les produits de tête (ou à la calculatrice d'ailleurs).

Et, comme lui, je dis qu'il faut revenir au détail, à l'oral, au tableau, pour faire comprendre.

Là, c'est presque mortifère. L'idée n'est pas mauvaise, mais tu nous diras si tu crois que cela a été payant...

Parfois on dit aussi "on calcule les produits des nombres avec leurs signes", ou plutôt "sans oublier leurs signes".
C'est mathématiquement discutable puisque quand on dit "le nombre" il a déjà son signe.

Dans ton exemple, le premier facteur contient $x-3$. Fais répéter qu'il s'agit de "-3" et non de "3" que l'on doit distribuer...

soland · May 2018

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Badiste75 · May 2018

On est bien d’accord que ceci est une aide, destinée aux gammes dans l’apprentissage mais qu’en fin d’année, on attend la méthode classique? Les élèves n’arrêtent pas les maths en 4ème et impossible de faire ça au lycée... Quant aux recommandations des IPR ou chargés de mission (jeux de cartes pour jouer aux identités remarquables, ça aussi hors de question). Le calcul littéral ça s’écrit, ça ne se joue pas.

Dom · May 2018

En effet @soland, c'est même une représentation de la preuve de la distributivité par les calculs d'aires de rectangles.

djedje_bzh · May 2018

Pourquoi impossible de faire cela au lycee : sur le brouillon ça marche tres bien. Et ensuite ils recopient cela proprement. Le calcul cela s'ecrit oui mais si cela aide certains à comprendre.
C'est quoi la méthode classique ? Je prends l'exemple de la multiplication (de deux nombres avec plusieurs nombres) : elle n'a pas unique. Il y a rarement qu'un seul chemin pour résoudre un exercice.

Et même si un élève fait cela en devoir : si la réponse finale est juste, où est le problème ? Je l'aime bien ce petit tableau moi.
Les calculs de tête viennent selon moi avec la pratique (à condition de pratiquer certes...).

Apres je rejoins l'avis de Badiste 75 sur l'aspect ludique :il faudrait maintenant que tout soit ludique (cf le prochain test de positionnement de seconde) et je trouve cela insupportable. Quand tu grimpes en montagne, la belle vue ne s'obtient qu'au prix d'un certain effort...mais on veut aplanir toutes ces montagnes maintenant et avoir de mornes plaines...

Badiste75 · May 2018

Impossible dans le sens où à un moment donné les élèves doivent acquérir une dextérité dans le calcul. Ex : en 4ème, lors de l’apprentissage des techniques de résolutions d’équations oui pour indiquer à chaque fois l’opération. En troisième, on commence à écrire que résoudre 2x-7=8 revient à résoudre 2x = 15 (et plus 2x - 7 + 7 = 8 + 7). En Seconde, je le rappelle une fois à la limite la première fois qu’on le rencontre, ensuite terminé! Pour la distributivité idem, en début d’année de Seconde (pas 4ème j’insiste!) (2x + 7)(x -1) = 2x * x + .... et pas directement 2x carré + ... Là encore une fois, pas deux! A la limite, je le dis (ou fais dire) oralement et basta. Il faut qu’ils apprennent petit à petit à calculer mentalement, sans quoi en S notamment c’est terminé pour eux, ça va trop vite. Donc le tableau oui, excellente idée en 4ème dans l’apprentissage de la notion, idée désastreuse en Seconde, je maintiens.

Ramon Mercader · May 2018

@Arturo

Tes suggestions ressemblent à une usine à gaz. Elles ne feront pas progresser ceux qui sont hermétiques au calcul algébrique et elles handicaperont les bons élèves car on n'apprend pas à marcher avec des béquilles.

Badiste75 · May 2018

Complètement d’accord avec Ramon

Dom · May 2018

On peut aussi ne travailler qu'avec des lettres dans un exercice (je ne dis pas de le faire tout le temps).

1) (x-y)(a+b)
2) (2x+7y)(8x-3t)

Etc.

Enfin, l'exercice imbitable suivant a parfois ses qualités.
On doit prendre ma calculatrice.

(2,34x+8,5y)(-6,22x-9,3y)

Il ne sert à rien, évidemment, comme les autres...
Il oblige à considérer les signes, et curieusement les questions arrivent : "Heu...on doit taper sur + ou - ?".
Ces questions n'arrivent pas avec des nombres entiers, ou plutôt, arrivent moins fréquemment, et surtout pas des mêmes élèves.

parisse · June 2018

Le tableau me semble une bonne idee, car il permet de faire le parallele entre multiplication de polynomes et d'entiers et de justifier l'algorithme de multiplication des entiers vu a l'ecole primaire (avec une difficulte en plus pour les entiers, a savoir les retenues).

Dom · June 2018

Y a un exercice sur le site pyromaths je crois qui propose de développer une expression dans des tableaux à double entrée.
Cela permet à l'élève de vérifier s'il trouve la même chose. C'est assez bien pensé et très très sobre.

http://www.pyromaths.org 76760

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