Intervalle de fluctuation
Bonjour,
Voici un énoncé d'exercice :
"On dispose, pour traiter une maladie, d'un médicament efficace dans 70% des cas.
1. Déterminer un intervalle de fluctuation de la variable aléatoire donnant la fréquence de guérison sur un échantillon aléatoire de 100 malades.
2. Une molécule différente qui traite cette même maladie est testée sur 100 malades et on observe 60 guérisons. Peut-on dire que cette molécule différente est aussi efficace que le médicament d'origine au seuil 0,95 ?"
1. On vérifie que $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$. C'est le cas donc on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 $\left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ ce qui donne $[0,61;0,79]$.
2. Je traduis "aussi efficace" par "on fait l'hypothèse $p_0=0,7$ où $p_0$ est le pourcentage de cas de guérison avec cette molécule différente".
L'intervalle de fluctuation associée à $p_0$ est donc $I=[0,61;0,79]$.
La fréquence observée sur un échantillon de taille 100 est $f=0,6$ qui n'appartient pas à $I$. On rejette donc l'hypothèse $p_0=0,7$ avec un risque de se tromper environ égal à 5%. On peut donc dire, au seuil 0,95 que cette molécule n'est pas aussi efficace que le médicament d'origine.
Ce qui me questionne : Initialement, en lisant la question 2 j'ai eu envie de poser $"p_0\geq 0,7"$ puisque pour moi la traduction "logique" de "est aussi efficace" n'est pas "$=0,7$" mais "$\geq 0,7$". Car pour moi si un médicament est plus efficace qu'un autre il est a fortiori aussi efficace (qui peut le plus, peut le moins).
Bref.
Donc je me retrouve avec une hypothèse qui n'est pas traitée en TS. Mais bon je me suis dit que certainement quand p croît, la borne inférieure de l'intervalle de fluctuation croît et donc que si 0,6 n'est pas dans l'intervalle associé à 0,7, il ne l'est pas non plus dans l'intervalle associé à p avec $p\geq 0,7$. J'ai tracé la courbe de la fonction qui à $p$ associe $p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$ et je vois que cette fonction est strictement croissante. J'ai essayé de me lancer dans la preuve que cette fonction est strictement croissante mais je suis rentrée dans des calculs compliqués et je me suis dit que je faisais fausse route.
Trouvez-vous également plus logique de poser $p_0\geq 0,7$ que $p_0=0,7$ ? Et à ce moment là, comment justifiez vous que tester $p_0=7$ suffit à tester $p_0\geq 7$ ?
Merci.
Voici un énoncé d'exercice :
"On dispose, pour traiter une maladie, d'un médicament efficace dans 70% des cas.
1. Déterminer un intervalle de fluctuation de la variable aléatoire donnant la fréquence de guérison sur un échantillon aléatoire de 100 malades.
2. Une molécule différente qui traite cette même maladie est testée sur 100 malades et on observe 60 guérisons. Peut-on dire que cette molécule différente est aussi efficace que le médicament d'origine au seuil 0,95 ?"
1. On vérifie que $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$. C'est le cas donc on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 $\left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ ce qui donne $[0,61;0,79]$.
2. Je traduis "aussi efficace" par "on fait l'hypothèse $p_0=0,7$ où $p_0$ est le pourcentage de cas de guérison avec cette molécule différente".
L'intervalle de fluctuation associée à $p_0$ est donc $I=[0,61;0,79]$.
La fréquence observée sur un échantillon de taille 100 est $f=0,6$ qui n'appartient pas à $I$. On rejette donc l'hypothèse $p_0=0,7$ avec un risque de se tromper environ égal à 5%. On peut donc dire, au seuil 0,95 que cette molécule n'est pas aussi efficace que le médicament d'origine.
Ce qui me questionne : Initialement, en lisant la question 2 j'ai eu envie de poser $"p_0\geq 0,7"$ puisque pour moi la traduction "logique" de "est aussi efficace" n'est pas "$=0,7$" mais "$\geq 0,7$". Car pour moi si un médicament est plus efficace qu'un autre il est a fortiori aussi efficace (qui peut le plus, peut le moins).
Bref.
Donc je me retrouve avec une hypothèse qui n'est pas traitée en TS. Mais bon je me suis dit que certainement quand p croît, la borne inférieure de l'intervalle de fluctuation croît et donc que si 0,6 n'est pas dans l'intervalle associé à 0,7, il ne l'est pas non plus dans l'intervalle associé à p avec $p\geq 0,7$. J'ai tracé la courbe de la fonction qui à $p$ associe $p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$ et je vois que cette fonction est strictement croissante. J'ai essayé de me lancer dans la preuve que cette fonction est strictement croissante mais je suis rentrée dans des calculs compliqués et je me suis dit que je faisais fausse route.
Trouvez-vous également plus logique de poser $p_0\geq 0,7$ que $p_0=0,7$ ? Et à ce moment là, comment justifiez vous que tester $p_0=7$ suffit à tester $p_0\geq 7$ ?
Merci.
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Réponses
En fait, on n'a pas deux décisions "différentes" au sens de "contradictoires", mais
* avec la méthode de Bulledesavon (intervalle de fluctuation), on peut, au risque 5%, mettre en doute que l'efficacité soit 70%;
* avec la méthode de Roumégaire, on n'a pas de raison forte de douter de cette hypothèse.
Sachant que le risque 5% veut dire qu'on se trompe en moyenne une fois sur 20, la distance entre les deux affirmations n'est pas si grande !
Enfin, pour traduire "est aussi efficace", on utilise généralement un intervalle unilatéral de confiance basé sur l'hypothèse H0 : "l'efficacité est de 70 %". Comme je ne me place plus au niveau classe de terminale, j'utilise la loi binomiale (et un tableur) et j'obtiens l'intervalle [62,100] (bien plus sévère que l'intervalle bilatéral), qui amène à mettre en doute l'affirmation "est aussi efficace".
Cordialement.