"Deux points" pour définir une fonction ?

De une, "inventer un nouveau symbole" est un bien grand mot pour ces deux points que l'on utilise pas mal par ailleurs.

De deux, tu vas te faire taper sur les doigts en affirmant que, selon toi, "$x\mapsto x+1$" est une fonction. Il faut spécifier les ensembles de départ et d'arrivée pour définir une fonction (en l'état, on ne peut pas être sûr que tu parles de la fonction "successeur" définie sur $\mathbb N$ plutôt que la négation booléenne de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par exemple).

De trois, je pense que d'un point de vue visuel (hashtag plaie au nasme), il n'est pas évident de savoir lequel des symboles "$=$" et "$\mapsto$" est prioritaire sur l'autre. Quand on voit les usages pour écrire les suites exactes, on serait d'ailleurs tenté de considérer "$=$" prioritaire sur "$\mapsto$".
$H \rightarrow G \rightarrow K \cong G/H$ se lit $H \rightarrow G \rightarrow (K \cong G/H)$

Personnellement, je ne trouve pas que $f = x\in\R\mapsto x+1 \in \R$ soit une écriture très lisible. En tout cas, bien moins que le classique :

$\begin{array} .f: & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & x+1 \end{array}$