Les formules sont-elles des théorèmes ?

graham a écrit:

C=2piR est toujours vraie (dans le plan euclidien, etc....) et cela quel que soit le cercle mais cela se démontre-t-il ?

Comment le savoir sans le démontrer ?

Tu veux le démontrer a partir de quoi ?

Bonjour,

Argument d’homogénéité : la donnée du rayon caractérise parfaitement la longueur d’un cercle ; cette longueur ne dépend que de ce rayon ; par homogénéité des longueurs on a nécessairement $C=r\times k$ avec $k$ un réel strictement positif.
Argument d’homothétie : pour un cercle donné on peut le regarder de près ou de loin et son rayon apparent varie ; le rapport $k$ reste inchangé pour ce cercle ; donc la constante $k$ ne dépend pas du rayon apparent ; donc elle ne dépend pas du rayon.
Par définition, on note $2\pi$ le rapport constant pour tout cercle entre la longueur du cercle (sa circonférence) et son rayon.

@graham

ok merci pour vos réponses, je me doutais un peu que c'étaient des théorèmes mais comment on peut démontrer cela ? Si on prend l'exemple de la circonférence du cercle ? Comment procède-t-on ? Par l'absurde ?

@moduloP je ne sais pas trop. En regardant sur d'autres sources je constate qu'il a plusieurs manières en partant d'un polygone inscrit dans un cercle ou de la définition du radian etc...Bref rien d'absolument trivial et pas à la porté d'un collégien quoi.

C'est, disons, niveau moyen pas très difficile... à conditions que les élèves ont vu avant: vecteurs/translations et rotation des figures, les figures semblables, polygones (y compris réguliers et convexes).
Pour démontrer la formule du périmètre d'un cercle on passe par plusieurs étapes (je ne développe pas):

1) Théorème: polygone convexe régulier est à la fois inscriptible dans un cercle et on peut inscrire le cercle à l'intérieur du polygone (pas très français, je m'excuse).

2) Théorème: polygones convexes réguliers à $n$ sommets sont semblables. En plus si leurs côtés sont égaux, les polygones sont égaux. Résultat du théorème: le rapport entre les côtés est égale au rapport entre les rayons des cercles circonscrits ou inscrits, de même pour le périmètre.

3) Théorème: le rapport entre la circonférence et le diamètre du cercle est le même pour n'importe quel cercle. On suppose ici qu'on peut approximer la circonférence du cercle par le périmètre d'un polygone régulier convexe à $n$ sommets avec $n$ suffisamment grand. Or on a vu dans 2) que le rapport entre les périmètres de deux polygones réguliers convexes est égale au rapport entre les rayons des cercles circonscrits et donc $\frac{l_{1}}{2R_{1}} = \frac{l_{2}}{2R_{2}}$ avec $l_{i}$ la circonférence du cercle $i$ et $R_{i}$ le rayon du cercle $i$. Ce rapport est le fameux nombre $\pi$

4) Puisque $\frac{l_{1}}{2R_{1}} = \frac{l_{2}}{2R_{2}}=\pi$ la circonférence $l$ du cercle est égale donc à: $l=2 \pi R$

Ce que je comprends c'est que le rapport entre circonférence et diamètre est un résultat connu depuis l'Antiquité de façon empirique mais que sa démonstration est "plus récente" et qu'elle fait appel à des concepts plus modernes (limites, radians).

Non, on l'a prouvé. C'est le nombre $\pi$ qui a été évalué de façon empirique.

A la question d'un collégien qui dirait "est-ce que c'est toujours vrai" j'aurai beaucoup de mal à lui prouver que oui sans introduire des concepts hors programme.

Toutes les preuves et raisonnements sont bannis du programme. Donc la solution 1 de @Dom est idéale si tu ne veux pas faire hors programme. Sinon on peut toujours démontrer, mais il faudra faire plusieurs séances pour arriver à la formule du périmètre d'un cercle.

Ni évident ni trivial, cependant l'approche par les lignes brisées est très intuitive et c'est celle qui est retenue mathématiquement (Jordan).

Grosso modo, modulo les éventuelles petites erreurs, omissions etc. on procède comme suit :

(1) Définir : Polygone convexe, son périmètre, son intérieur.
(2) Si intérieur $P_1\subset$ intérieur $P_2$ Alors périmètre $P_1\leq$ périmètre $P_2$. (Pas donné !)
(3) $\mathcal{C} =$ Ensemble des polygones convexes contenant le cercle, $\mathcal{I} =$ Ensemble des polygones convexes contenus dans le cercle.
(4) Si $P_1 \in \mathcal{C}$ et $P_2 \in \mathcal{I}$ Alors périmètre $P_1\geq$ périmètre $P_2$
(5) La fonction "périmètre" est bornée inférieurement sur $\mathcal{C}$ et supérieurement sur $\mathcal{I}$. Soient $C\geq I$ les bornes.
(6) On majore $(C-I)$ via les polygones réguliers et on en déduit $(C-I)=0$.
(7) On définit $C=I=\Pi r$.

C'est un peu plus facile ((2) tombe) pour les aires : $C'=I'=\pi r^2$ mais montrer que $\Pi=2\pi$ demande encore du travail,