Dessins explicatifs en algèbre linéaire
Je pense que la grande majorité d'entre nous qui a passé au moins une année d'études de mathématiques post-bac a été confronté à ce truc au moins une fois :
On a un cours d'algèbre linéaire, on a bien compris les schémas du prof quand il explique un truc avec un exemple dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$, et là d'un coup il nous fait un dessin en 3D avec un plan vectoriel qui représente $\mathbb{R}^6$ (ou pire, l'espace des polynômes de degré inférieur à 62), une droite vectorielle orthogonale au plan qui représente $\mathbb{R}^3$ (ou l'espace des polynômes de degré 63 ou plus), lui ça lui parait limpide (et on finit par comprendre le dessin plus tard) mais au moment ou on voit ce truc pour la première fois, on n'y comprend rien.
Quand on est au début du cours sur l'algèbre linéaire, comment peut-on expliquer que, de représenter un truc de dimension autre que 2 par un plan, et un truc de dimension autre que 1 par une droite, pour décomposer un truc de dimension plus grande que 3 (ou même infinie), le tout sur un dessin en 3D, c'est pas du vaudou ? Surtout que la notion de dimension (et celles de codimension, supplémentaire, projection...) met un certain temps à arriver dans un tel cours, alors que les exemples d'espaces vectoriels qui ne sont pas représentables "fidèlement" sur un tableau arrivent beaucoup plus tôt ($\mathbb{C}^{12}$, fonctions, polynômes...)
Je pense qu'il faut donner l'intuition (géométriquement) qu'un sous-espace vectoriel, c'est un sous-ensemble de l'espace vectoriel "parent" dont on ne peut pas sortir, mais je n'ai pas encore trouvé d'explication dont je suis convaincu qu'un étudiant débutant en sera convaincu.
Vos idées ?
On a un cours d'algèbre linéaire, on a bien compris les schémas du prof quand il explique un truc avec un exemple dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$, et là d'un coup il nous fait un dessin en 3D avec un plan vectoriel qui représente $\mathbb{R}^6$ (ou pire, l'espace des polynômes de degré inférieur à 62), une droite vectorielle orthogonale au plan qui représente $\mathbb{R}^3$ (ou l'espace des polynômes de degré 63 ou plus), lui ça lui parait limpide (et on finit par comprendre le dessin plus tard) mais au moment ou on voit ce truc pour la première fois, on n'y comprend rien.
Quand on est au début du cours sur l'algèbre linéaire, comment peut-on expliquer que, de représenter un truc de dimension autre que 2 par un plan, et un truc de dimension autre que 1 par une droite, pour décomposer un truc de dimension plus grande que 3 (ou même infinie), le tout sur un dessin en 3D, c'est pas du vaudou ? Surtout que la notion de dimension (et celles de codimension, supplémentaire, projection...) met un certain temps à arriver dans un tel cours, alors que les exemples d'espaces vectoriels qui ne sont pas représentables "fidèlement" sur un tableau arrivent beaucoup plus tôt ($\mathbb{C}^{12}$, fonctions, polynômes...)
Je pense qu'il faut donner l'intuition (géométriquement) qu'un sous-espace vectoriel, c'est un sous-ensemble de l'espace vectoriel "parent" dont on ne peut pas sortir, mais je n'ai pas encore trouvé d'explication dont je suis convaincu qu'un étudiant débutant en sera convaincu.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Cela représente trois ensembles, peut-être très très abstraits mais ça fait sens dans les esprits.
Est-ce une représentation fidèle ? Je n'en sais rien.
-- Schnoebelen, Philippe
Les lycéens voient tellement de fois des plans représentés par des parallélogrammes et des droites par des segments (traits) que ces mêmes représentations ont du mal à être interprétées comme autre chose.
Je ne sais pas si on a une autre solution que "le temps ou l'expérience" pour que ça n'embrouille plus...
Ou, localement, passer le message à des profs de 1ère et Tale...?
(Solution idiote certainement ou vaine ou "c'est déjà fait")