La fraction et la division

taimanov · August 2018

Bonjour,

Une question un peu bête: pourquoi la représentation en fraction perdure-t-elle?
et en filigrane: ne serait-il pas pédagogique de la supprimer?

Je m'explique: on se bat au collège pour que les élèves comprennent que la fraction est une autre écriture de la division. Très peu ont compris que 10/4 c'est 10:4=2,5 en 6ème, bref qu'une "fraction" est un nombre (NB: je devrais dire "représentation en écriture fractionnaire", mais c'est trop long, encore plus pour un collégien...).

C'est ainsi que j'ai fini par me demander pourquoi au primaire, on enseignait les fractions: la division est une situation de partage et suffit en soi.
D'ailleurs, il n'y a que le "/" sur le pavé numérique du clavier.

J'ai fini par leur dire: je vais me renseigner pour savoir pourquoi il existe deux façons d'écrire un division.
Et voilà mon message!

Qu'en pensez-vous?

Merci.

nicolas.patrois · August 2018

Parce que c’est l’usage ?

Dom · August 2018

C'est quand même très commode comme notation, notamment pour simplifier.
Je pense aussi pour ajouter avec le même dénominateur.

A = 2x5x2x2x3x5/2x5x3x7

Non ?

Sur l'histoire de ce symbole, par contre, je ne sais pas...
Mon explication est naïve j'en conviens tout à fait.

Le problème que tu évoques sur les notations est réelle mais il est davantage lié à la notion mathématique de la division (partage) et ces difficultés sont renforcées par le fait que plus personne n'apprend ses tables de multiplication.

Bon attendons d'autres interventions, peut-être plus pertinentes :-)

gerard0 · August 2018

Bonjour.

Au niveau primaire, je ne sais pas. Ensuite, la notation en fractions a un gros avantage de lisibilité. Voir toutes les difficultés qu'ont de nombreux élèves d'écrire " en ligne" des divisions de sommes algébriques par des sommes algébriques, avec la multiplication des parenthèses.

Cordialement.

taimanov · August 2018

Merci, mais si vous, vous ne savez pas, c'est mal parti pour trouver la réponse.

Bien sûr, je suis d'accord avec vous: entre les deux symboles, on garderait la barre et pas le ":".

Je tente: peut être est-ce l'ordinateur qui a obligé à utiliser ":" car la barre utilise un espace vertical plus grand que du texte?!

Pour relancer, je reformule encore plus clairement ma question:
que dire à des élèves qui demanderaient "Monsieur, pourquoi y a-t-il deux symboles pour la division"?

Ne me dites pas que personne ne va me donner la réponse ici!

Dasson · August 2018

Bonjour,
Vous voulez priver les écoliers de tarte, de chocolat... ?(:P)
Une fraction fractionne, est un opérateur sur des grandeurs.
Des tentatives d'introduction dans ces anciens programmes :

et autres avec des divisions...

nicolas.patrois · August 2018

La réponse est à mon avis historique.

Dom · August 2018

C'est une très bonne question.

Je dirais même que $\div$ est une opération mais que le trait de fraction $\dfrac{\quad}{\,}$ n'est pas une opération.

Sans connaître vraiment la réponse (désolé 8-)) j'y vois davantage l'écriture d'une classe de couples $\overline{(a;b)}$ que d'une division de deux nombres.

Si c'est (une partie de) la réponse, ce n'est pas à formuler comme cela aux élèves...

Je dirais :
C'est une autre manière d'écrire le résultat sans opération.
L'écriture décimale d'un rationnel est parfois impossible alors on utilise (on invente ?) une écriture fractionnaire.

Remarque : D'ailleurs quand un commerçant dit 1/3 (un tiers) cela peut concerner "douze objets cassés sur trente-six" : en gros il passe aux classes.

Rubgo · August 2018

Bonsoir.
Pour moi, la fraction est la division d'origine. Et comme souvent, les contraintes des machines à écrire par exemple font créer un symbole. Certains ont inventé ÷ où le point du haut désigne le nombre qui le précède et le point du bas est celui qui lui succède. Ce ÷ est devenu : j'imagine pour éviter des confusions avec + ou -. D'autres ont inventé le /.
Bref je pense que la fraction est plus légitime que ÷, : ou /, bien que ces symboles soient pratiques.

Dom · August 2018

On trouve ceci sur la toile : http://mathematiques.over-blog.org/article-histoire-des-operations-des-signes-operatoires-qui-apparaissent-59147104.html

Edit : une page plus complète http://trucsmaths.free.fr/hist_symbol.htm

Le trait fait référence à une fraction et le symbole ":" à une division.
J'en reste avec mon idée des classes de couples dans un cas et d'une opération pour l'autre, mais c'est une interprétation, j'en conviens.

PS: ça fait ringard de dire "sur la toile", flûte (:P)

Dasson · August 2018

@Dom
Je ne sais pas si tu as vu mes vidéos...
On y parle de fractions équivalentes, ce qui correspond à ta définition de fraction comme classe d'équivalence de couples d'entiers comme au bon vieux temps des "maths modernes"...
Et la distinction entre fraction et quotient est à faire.
Mais les touches de clavier ont le même effet...
La / s'appliquerait plutôt aux entiers ?

soland · August 2018

Le problème avec l'écriture $a/b$ est qu'elle augmente le nombre de parenthèses :
$2+3/4+5$ n'est pas $(2+3)/(4+5)$ et
$3/4\times 5$ n'est pas $3/(4\times 5)$.
Une erreur fréquente sera celle de @Dom dans son premier post.

taimanov · August 2018

@Dasson et soland: je crois (sinon, pardon!) que vous êtes hors sujet: il y a 4 opérations, pas 5. La division est l'opération du partage, pas la "fraction" qui en obtient au primaire le privilège exclusif et trompeur. Mais ma vraie question n'est pas pédagogique, elle est de savoir pourquoi les deux symboles coexistent de nos jours, comment un mathématicien justifie cela.

En suivant Dom:

Peut on imaginer qu'au départ il y avait la division ":", et qu'ensuite on s'est rendu compte (sic) que:
- certaines divisions avaient du mal à se terminer...
- et qu'écrire des opérations sur ce nombre à l'écriture infini (par exemple "10:3") était mal commode (utilisation de parenthèses, multiplication peu intuitive, etc),

Un astucieux s'est alors dit que s'il écrivait ça en hauteur, cela aurait plus l'apparence d'un nombre et d'ailleurs, coup double, les opérations seraient plus faciles à écrire (pas de parenthèses, dénominateur communs aux même niveaux, multiplication "immédiate").

Mais ne me dites pas que j'ai raison!

PS: cette discussion me fait penser à l'explication de l'utilisation de la base 60 sur l'heure, dont la justification est totalement obsolète de nos jours, c'est à dire que les astronomes de l'antiquité avaient choisi 60 car c'est un multiple de pleins de nombres et cela facilitait leurs calculs, il y a quelques milliers d'années...

gerard0 · August 2018

Heu ... à priori, la notation en fraction est la plus ancienne (fractions égyptiennes, nombres congrus d'Euclide) et la notion générale de division apparaît assez tardivement (comptabilité à la Renaissance ?). Il est quasi impossible de diviser en chiffres romains, et la base 5 et 12 des astronomes babyloniens permet d'avoir de nombreux partages exacts. Les grecs, ennemis de l'infini actuel, sont très à l'aise avec 1/3 (*), mais ne comprennent pas notre 0,333...
Il faudrait consulter une histoire des nombres.

Cordialement.

(*) leur base mathématique est géométrique, partager un segment en 3 est facile. la vraie difficulté pour eux est l'existence de segments non congrus (incommensurables)

petit-o · August 2018

Bonjour,

Dans la mesure où $4\div 3$ et $\dfrac{4}{3}$ représentent le même nombre $x$, c'est plutôt dans l'impact psychologique de la représentation du nombre $x$ qu'on motive le choix de l'un ou l'autre, en fonction des buts à atteindre.

Par exemple, dans l'écriture $\dfrac{4}{3}$, on comprend qu'on a coupé tous les gâteaux en $3$ parts égales, et qu'on décide d'en manger $4$ ... Faire le dessin à l'appui ! Ici $\dfrac{4}{3}$ représente la quantité de gâteau mangé, avec une idée du partage fait. C'est assez essentiel si l'on veut comprendre les formules qui donnent la somme de deux fractions (réduction au même dénominateur, etc.), et plus généralement dès qu'on fait un peu d'algèbre (ou lorsque l'on manipule des fonctions homographiques, etc.) ..... gros problème au lycée (du moins le mien) !

Dom · August 2018

Il me semble quand même que $\dfrac{4}{3}$ est défini par $4\times \dfrac{1}{3}$ quand les fractions égyptiennes ne sont que des inverses d'entiers.

gerard0 · August 2018

Effectivement, les égyptiens n'utilisaient que les $\frac 1 n$ et la fraction $\frac 2 3$, mais c'est Archimède qui donne $\frac{220}{71}<\pi<\frac{22}7$, il y a plus de 2250 ans.

Rubgo · August 2018

@taimanov, je ne sais pas d'où tu sors que la notation fractionnaire est obsolète. J'ai peur que tu dises ça à tes élèves. Un peu comme ta confusion entre probabilités et statistiques.

samok · August 2018

Bonsoir Taimanov,

ce que je sais :

en premier, vient le partage

après la division

Je ne suis donc pas d'accord avec vous.

S

Dom · August 2018

En tous les cas, taimanov a bien posé son problème dans ce message en reformulant même sa question en gras.

Il est vrai que dans son premier message, il parle d'un symbole "à supprimer" ou plus courtoisement d'une notation à privilégier.

Je reste sur ma position : une écriture contient une des quatre opérations tandis que l'autre est une écriture sans opération permettant de palier au manquement de l'écriture décimale et en plus, elle est commode. Je ne parle pas de chronologie (de contexte historique), je me place à notre époque.

J'ajoute que : $12$ signifie $1\times 10^1+2\times 10^0$ ou plus simplement $10+2$, en ce sens que l'écriture $12$ (que j'aimerais lire "un deux") ne contient pas d'opération même si c'est une règle/convention/notation qui se définit avec les opérations $+$ et $\times$. C'est l'écriture décimale liée au tableau de numération etc.
De même : $\frac{7}{4}$ signifie $7\div 4$

Puis il existe d'autres écritures décimales : $00012,000$ par exemple. On préfère la plus "simple".
Comme les écritures fractionnaires : $\frac{35000}{20000}$. On préfère la plus simple.

Un débat sous-jacent et maintes fois revenus est de savoir ce que le mot "fraction" désigne.
Ma réponse est qu'il désigne (au moins) deux choses : le nombre lui-même mais aussi la manière de l'écrire.
En effet, l'expression "simplifier la fraction suivante" ou encore "donner $A$ en fraction irréductible" n'aurait aucun sens si "fraction" ne devait désignait que le nombre.
Et justement, cet exercice du secondaire est exactement un exercice où l'on écrit un même nombre de plusieurs manières différentes.

Enfin, la question est de savoir si le discours sur « l'écriture sans opération » conviendra aux élèves. C'est une autre histoire.

taimanov · August 2018

C'est intéressant, j'apprends des choses et merci en particulier à ceux qui font un effort pour répondre précisément à la question.

J'ai l'impression que "petit-o" formule bien la chose: la justification de l'existence de deux symboles pour l'opération de partage est psychologique, pas mathématique: je veux bien dire ça aux élèves.
Après, aux mathématiciens de faire le ménage, parce que moi, j'ai l'impression qu'il y a quand même un symbole de trop...

Dire que cette justification est mathématique, un peu comme Dom le propose en distinguant dans la fraction "la manière de l'écrire", c'est mettre un argument de forme, donc psychologique selon moi (j'analyse juste ce qu'il dit). Cela me fait tout d'un coup penser à l'introduction d'un livre sur les variétés différentielles ou l'auteur, mais je ne me souviens plus lequel, dit qu'écrire les courbes sous différents formes n'est pas "tout à fait" équivalent (alors que c'est équivalent d'un point de vue mathématique) car l'interprétation physique qui est derrière est différente pour chaque écriture (j'espère que je me souviens bien), c'est à dire chaque écriture correspond à un angle de vue différent et l'auteur insiste pour dire qu'on doit le prendre en compte...

Dom · August 2018

Ok.
Je lis ton dernier paragraphe de la même manière que quand on veut tracer une courbe paramétrée, on a le choix de la manière de l'implémenter dans un programme. Et selon la paramétrisation choisie, on attend plus ou moins longtemps, ou bien on obtient même une courbe "moche" on reliant les points de la courbe par des segments, etc.

gerard0 · August 2018

Bonjour Taimanov.

"aux mathématiciens de faire le ménage" ?? les symboles mathématiques ne sont pas utilisés par les seuls mathématiciens. C'est d'ailleurs ce que dit ton dernier paragraphe.
Et si on demande aux seuls mathématiciens, ils diront "oubliez division et soustraction, il n'y a due deux "opérations", que deux lois de composition interne dans le corps des réels.
Il y a des tas de choses qui "ne servent à rien" au sens où elles font double emploi. Va-t-on demander aux grammairiens de supprimer les synonymes ?
Au contraire, discuter avec les élèves intéressés de l'existence d'une double notation, de la difficulté d'écrire $\frac {x+2}{x+1}$ en ligne et du sens du trait de fraction est un utile complément au cours habituel. Croire qu'il n'y a "qu'un seul mot, qu'une seule notation, qu'une seule bonne façon de penser" est le piège de l'enseignant. Les profs de français ont beaucoup gagné à travailler avec leurs élèves sur les "niveaux de langue" (*), ce qui évite d'exclure ceux qui parlent seulement en langage familier à la maison.

Cordialement.

(*) je suis d'une génération qui devait, à l'école, parler "comme les livres".

gerard0 · August 2018

Dom,

tu sembles critiquer la dernière phrase de Taimanov, que je trouve, pour ma part, tout à fait utile. La prétention de certains à rejeter ce qui n'est pas écrit avec leurs notations est seulement une volonté hégémonique, pas une bonne chose pour les maths ou leur enseignement.
Les physiciens l'ont bien compris, qui utilisent un hamiltonien, ou un principe de moindre action suivant les cas, et à petit niveau, raisonnent en termes de forces, ou très différemment en termes d'énergie.

Cordialement.

Dom · August 2018

Ho !
Mais non Gérard, je complétais d'une autre manière ce que disait Taimanov : même si mathématiquement on obtient les mêmes courbes, numériquement et empiriquement les points de vue (paramétrisation et implémentation avec un "pas") donnent des choses différentes.
Non ?

gerard0 · August 2018

Ah, OK !

mais il s'agit de résultats différents, alors qu'il était question de points de vue différents sur un même résultat. Cependant, je comprends ce que tu as voulu dire.

Cordialement.

fm_31 · August 2018

Bonjour ,

pour résumer , je dirais que :
$\frac{1}{3}$ est la représentation d'un nombre que je ne peux pas représenter autrement (fraction irréductible) .
alors que 1/3 (ou 1:3) est une opération (division) dont le résultat est le nombre $\frac{1}{3}$

Cordialement

petit-o · September 2018

Attention : l'un des enjeux pour nos élèves est de comprendre qu'il s'agit du même nombre, peu importe la façon dont on le conçoit ou on l'écrit.

fm_31 · September 2018

Si on distingue la notion de nombre (avec ses différentes représentations) et la notion d'opération faisant intervenir des nombres et un opérateur pour obtenir un nombre , les ambiguïtés deviennent moindres .
On les retrouve avec l'extraction de racine où $\sqrt{3}$ (ou 3^1/2) par exemple est à la fois la représentation d'un nombre qu'on ne sait pas représenter autrement que sous l'une de ces deux formes et l'opération d'extraction de racine .

Foys · September 2018

Les écritures "trente quatre", "34", "XXXIV" désignent toutes la même chose et aucune n'est inusitée (même celle en chiffres romains peut être utilisée quoique moins que les deux autres. Pour un chèque, il est pertinent d'utiliser la deuxième, moins susceptible d'être falsifiée).

Il est normal qu'il existe dans la langue courante comme écrite, plusieurs manières différentes de désigner une même chose. Personne ne s'émeut des multiples manières de représenter un nombre ci-dessus, pourquoi les fractions poseraient problème? D'autant que c'est la seule manière de représenter de manière exacte (sans perte d'information) un nombre tel que 2/13 dans notre système décimal.

soland · September 2018

L'autre problème inhérent aux écritures est qu'elles
représentent aussi bien une opération à exécuter
que le résultat de cette opération.

Par exemple 3/4 est le résultat de la division de 3 par 4
ou alors une consigne : $3/4=0.25$.
(7+5)/3 est une écriture de 4 ou la donnée du calcul
$(7+5)/3=4$.

On cherche en général l'écriture standard ou l'écriture la plus simple,
Le choix n'est pas toujours évident :
$$
\sqrt{22.5^3} = \sqrt{11390.625} = 1.5^3 = 3.375 = 3^3 2^{-3} = 27/8 = ...
$$

taimanov · September 2018

Je viens de me rendre compte que le symbole de la division de l'école primaire, avec ":" et une barre au milieu, symbolise... une fraction! avec un point pour le numérateur et un point pour le dénominateur. C'est une découverte typologique sensationnelle pour moi, qui ouvre des perspectives.

Du coup, en suivant ce que dit gérard0, je propose une conjecture:
- au début étaient les fractions, donc une écriture verticale de la division, avec un dénominateur sans dimension physique: on partage physiquement, en 2, en 4...
- ensuite, l'analyse mathématique progressant, on conceptualise la division, et on a voulu écrire toutes les divisions, i.e. s'affranchir de toute analyse dimensionnelle si on peut dire. Bref on oublie la physique du partage, et on veut faire en ligne la division, comme les autres opérations, car elles s'écrivent en ligne...
- donc finalement, l'homme utilise deux écritures: une verticale historique et une horizontale pragmatique. Il n'a pas jugé bon de choisir entre les deux, car ça l'arrange d'avoir ces deux-là.

Depuis, on essaye de justifier qu'une fraction $\frac{4}{2}$ et une division 4:2 sont deux choses différentes, mais intrinsèquement, c'est faux, non?
Un peu comme dit Foys, on préfère la notation verticale parfois, parfois l'horizontale... et c'est tout, non?

PS: on pourrait poursuivre le raisonnement: comment expliquer, presque épistémologiquement, philosophiquement, qu'on a deux symboles pour la division et un seul pour les trois autres opérations? C'est un peu bizarre non?

samok · September 2018

Bonjour taimanov,

trois quarts de ...
ce c'est pas le nombre 3:4

si ?

S

taimanov · September 2018

Pour moi si:
trois quarts d'une pizza est mathématisé par 3:4x1=0,75.

De toute façon "trois quarts de" ne pourra jamais être un nombre, c'est une opération, non?

Dom · September 2018

"trois quarts" est un nombre et "trois quarts de"...hum...oui ça peut être vu comme une fonction.

Une opération ? Oui d'ailleurs les opérations du collège sont des fonctions de deux variables.

Remarque : tu as dit "[...] une fraction $\frac{4}{2}$ et une division $4\div 2$ [...]".
C'est un abus de langage, $4\div 2$ n'est pas une division, c'est $\div$ qui est le symbole de la division et quant à la division en elle-même, je dirais que c'est l'application $(x;y) \mapsto x\div y$.
Revenons sur $4\div 2$ : cela désigne le nombre obtenu en divisant $4$ par $2$ (en appliquant la division de $4$ par $2$).

Bien entendu, entre "pro" on se permet de ne pas couper les cheveux en quatre.

Rubgo · September 2018

@taimanov, j'avais parlé de ta super découverte il y a 5 jours. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1701918,1701986#msg-1701986
Manifestement tu ne dois pas pouvoir lire mes messages. C'est un peu vexant d'être ignoré.

taimanov · September 2018

Effectivement, désolé!

La fraction et la division

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