20 décembre 2018
Bonsoir,
c'est la troisième fois dans ma carrière (genre une douzaine d'années) qu'un élève demande une preuve d'une affirmation mathématique.
Affirmation, lever vous.
L'affirmation s'élève et s'écrie à elle même : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\left(\mathrm{e}^x\right)'=\mathrm{e}^x$.
Preuve, levez l'index et tournez sur vous même et dites "Piaf".
(Merci au concepteur de la progression qui avait envisagé ce cas d'école.)
Ci-dessous le sketch de la preuve ou la preuve du sketch, c'est selon.
Soit $x$ un nombre réel :
$\ln(e^x) = x$
et puis on dérive
et puis hop.
Bon c'est vrai que je dérive par rapport à $x$, une variable ayant une occurrence liée dans l'affirmation initiale, mais bon hein, belle journée non ?
S
c'est la troisième fois dans ma carrière (genre une douzaine d'années) qu'un élève demande une preuve d'une affirmation mathématique.
Affirmation, lever vous.
L'affirmation s'élève et s'écrie à elle même : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\left(\mathrm{e}^x\right)'=\mathrm{e}^x$.
Preuve, levez l'index et tournez sur vous même et dites "Piaf".
(Merci au concepteur de la progression qui avait envisagé ce cas d'école.)
Ci-dessous le sketch de la preuve ou la preuve du sketch, c'est selon.
Soit $x$ un nombre réel :
$\ln(e^x) = x$
et puis on dérive
et puis hop.
Bon c'est vrai que je dérive par rapport à $x$, une variable ayant une occurrence liée dans l'affirmation initiale, mais bon hein, belle journée non ?
S
Cette discussion a été fermée.
Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
$x \mapsto \ln(x)$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ qui s'annule en $1$. Pas de question ?
Pour $u$ strictement positive et dérivable sur $I$ la fonction dérivée de $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$. Pas de question ?
Qu'un si soit Il dans cette progression.
S
Depuis quand il est important de respecter les recommandations nauséeuses d'un programme ?
Tu n’as pas répondu à la question : quelle est ta définition de la fonction exponentielle ? C’est qu’il me faut vérifier que, pour tout $x$ réel, $e^x$ existe, est un réel, strictement positif et que la fonction exponentielle est dérivable... pour suivre le raisonnement que tu proposes.
non ?
S
On nous demande de démontrer l'unicité et d'admettre l'existence (heureusement).
Les anciens programmes faisaient l'inverse, ln comme une primitive puis exp.
S
Qui est venu en premier ? L'$\exp$ ou le $\ln$ ?
Je comprendrai que ce post soit transféré dans blagues mathématiques.
S
@Gilles : comment à partir de $f’=f, f(0)=1$ montrer que la fonction existe sur tout $\R$ et la stricte positivité ? Tu peux me laisser trouver sous forme d’exercice ou me donner la solution...
@YvesM: exercice 11
Feuille d'exercices
Cordialement.
Y.
S
On peut même remarquer que, pour $a,b\in\R$ la fonction $x\mapsto f(a+x)\cdot f(b-x)$ est de dérivée nulle.
En prenant ensuite $x=0$, puis $x=b$ (ou $x=-a$), on obtient alors une formule intéressante.
@ybreney : merci (tu).
S
Et la deuxième?
Neper 1614.
Pour l'exponentielle, c'est plus diffus : Newton 1676, Leibnitz 1678, et en 1690 Leibnitz la considère comme une fonction à valeurs réelles qui "n'est plus obscure" (Wikipédia)
Merci pour les précisions Félix,
S
pas cap' de me dire quelle sera La prochaine fois ?
Donnez-nous, rendez-vous, mais ne vous vendez jamais.
S
Kom koi g d préjugés kan même.
S
S
S
pour te dire
je t'ai
mais
je t'aime
S
S
Eh bien, je pense que la prochaine fois, un lycéen en phase terminale te demandera de prouver que l'on n'obtient pas de contradiction quand on ajoute $i$ aux réels pour obtenir les complexes.
(bonsoir Alain Tervalle du Domaine de Confiance)
S
"La poule s'envole, mais l'oeuf dûre."
Donc je suis, tu as suivi?
je n'aurais jamais dû te suivre
S
Tu es fuite ou tu vas fuir ?
S