Définition et/ou notation ?
Bonjour à toutes et à tous
J'ai introduit la notion de puissances à mes élèves de 4ème il y a un mois et une question m'est venue soudainement : lorsque l'on écrit $2^n=2\times 2~\times \cdots \times ~2$, est-ce une définition et/ou une notation ?
Après réflexions, je considère que ce n'est qu'une simple notation mais est-ce la définition d'une nouvelle opération ?
Qu'en pensez-vous ?
J'ai introduit la notion de puissances à mes élèves de 4ème il y a un mois et une question m'est venue soudainement : lorsque l'on écrit $2^n=2\times 2~\times \cdots \times ~2$, est-ce une définition et/ou une notation ?
Après réflexions, je considère que ce n'est qu'une simple notation mais est-ce la définition d'une nouvelle opération ?
Qu'en pensez-vous ?
Réponses
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Bonjour.
Comment se définit une opération ?
Cordialement. -
Bonjour
Je dirai qu'une opération est une certaine fonction qui prend deux objets et qui en sort un troisième
On peut définir une opération à partir d'une autre comme la multiplication avec l'addition par exemple. En revanche pour l'addition, je ne sais pas la définir puisque je ne sais pas définir $n+1$ ... -
Le mot des mathématiciens pour "opération" est loi de composition. Définie comme tu le dis comme application d'un ensemble produit cartésien dans un ensemble. Si c'est de $E\times E$ dans $E$ on parle de loi de composition interne. Tu en connais quelques unes : addition (de nombres, de vecteurs, de matrices, de fonctions, ..), soustraction (des entiers relatifs, ou des rationnels, ou des réels, ..), multiplication, division (des rationnels ou réels non nuls), exponentiation (puissances d'entiers, de réels positifs, ...), produit vectoriel dans l'espace, produit matriciel de matrices carrées, ...
La façon de définir les opération n'est donc pas en cause. pour une définition de l'addition voir
* soit les axiomes de Peano et la construction de $\mathbb N$ (*)
* soit la théorie des ensembles et les ordinaux finis
* soit la théorie des ensembles et la construction de Von Neumann.
ou bien les trois à la fois.
Cordialement.
(*) se faisait en terminale autrefois. -
J'aurais tendance à dire les deux en même temps.
On peut définir une opération et décider de la noter $*$ par exemple.
On peut définir la puissance entière d'un nombre et on le note avec un exposant.
Voilà comment je vois les choses, je pense que pour ta question, il y a une définition et une notation qui est associée. J'attends l'avis des experts.Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
Tout à fait d'accord (j'avais réagi au " ce n'est qu'une simple notation " du message initial).
Cordialement. -
Pour ma part, je fais ainsi :
* je définis la $n-ème$ puissance de $a$ comme étant le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ ($n$ entier supérieur ou égal à $2$, $a$ nombre relatif) ;
* je dis qu'on note ce produit $a^n$.
Et je traite les exposants $0$ et $1$ à part (en disant que $0^0$ n'existe pas. Même si ça se discute, ça coïncide avec ce que "disent" les calculatrice collège). -
Définition et notation qui va avec alors...
Bah merci
Je pense que je vais faire comme toi michael ^^
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Bonjour!
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