No more lost in translation

Merci gerard0 et.Math Coss.
J'ai effectivement omis de préciser le contexte dans lequel je me plaçais, basé sur la symétrie axiale.

Salut GBZM !
Merci d'avoir prêté attention à mon intervention. Ça m'a encouragé à rassembler mes esprits et à prendre du temps pour rédiger ce qui suit.

Dans son beau livre sur "L'enseignement de la géométrie", Gustave Choquet exposait plusieurs axiomatiques possibles du plan euclidien dont l'une particulièrement simple et élégante, et j'avais la faiblesse de croire qu'elle était connue de tous et familière, et à laquelle on se référait implicitement dès que l'on parlait de géométrie élémentaire, erreur d'autant plus compréhensible que c'est celle, à peine modifiée, qui m'avait été enseignée dans ma lointaine jeunesse.

Elle part des concepts premiers de points, de droites (munies chacune de deux relations d'ordre total opposées), et de distance. Quelques axiomes classiques d'incidence, d'ordre (dont une variante de l'axiome de Pasch), l'axiome des parallèles, l'inégalité triangulaire stricte, l'axiome du report de la distance sur une demi-droite, et la clé de voute de la présentation, l'axiome du pliage, parfaitement intuitif : pour toute paire de demi-plans opposés, il existe au moins une isométrie de l'un dans l'autre laissant fixes les points de la frontière.

Et c'est tout, et c'est parfaitement rigoureux. Comme le disait Choquet, "le choix doit se porter sur une axiomatique simple, aux axiomes forts, c'est-à-dire donnant très vite accès à des théorèmes non évidents, et intuitifs, c'est-à-dire traduisant des propriétés de l'espace qui nous entoure faciles à vérifier".

On montre immédiatement que cette isométrie, unique, se prolonge au plan, c'est la symétrie axiale. Elle est involutive, laisse fixes les points de la droite et eux seulement, et c'est la seule isométrie, avec l'identité, à laisser fixes les points de la droite.

Une droite invariante par une symétrie par rapport à une droite et distincte de cette droite est dite perpendiculaire à cette droite. Il en résulte toutes les relations élémentaires entre parallélisme et orthogonalité.

Soient a et b deux droites perpendiculaires concourantes en O et C le produit S_b $\circ $ S_a des symétries axiales par rapport à a et b.
C laisse O fixe, et c'est le seul point fixe (un point de a fixe par C est aussi sur b, et un point fixe par C hors de a aurait la même image distincte de lui par S_a et par S_b , ce qui n'est pas possible).
Soit P un point quelconque, a' et b' les droites passant par P et respectivement parallèles à a et b, a" et b" les images de a' et b' respectivement par S_a et S_b. a" et b" se rencontrent en Q. a' et a" sont perpendiculaires à b, et b' et b" sont perpendiculaires à a. Il s'ensuit que C échange a' et a", ainsi que b' et b", et donc aussi P et Q. Cela signifie que C est involutif. Le milieu de PQ est fixe, c'est donc O, et l'on voit que l'isométrie C est indépendante du choix de a et b.
On l'appelle demi-tour (ou symétrie centrale si l'on n'aime pas les tours et détours autour d'un point) de centre O. Il (ou elle, c'est le dernier moment pour moi de me conformer aux diktats orwelliens de la bien-pensance) laisse fixes les droites passant par O et conserve donc la direction des droites). Il est clair qu'étant donnés deux points P et Q quelconques, il existe une unique symétrie centrale appliquant P sur Q, notée C_PQ.

On appelle translation le produit S_b $\circ $ S_a de deux symétries axiales par rapport à deux droites parallèles a et b.
Les translations coïncident évidemment avec les produits de symétries centrales :
S_b $\circ $ S_a = (S_b $ \circ $ S_c) $\circ $ (S_c $\circ $ S_a) avec c perpendiculaire à a et b,
C_Q $\circ $ C_P = (S_b $ \circ $ S_c) $\circ $ (S_c $\circ $ S_a) avec c passant par P et Q, a perpendiculaire à c en P, b perpendiculaire à c en Q

Une translation S_b $\circ $ S_a autre que l'identité n'a aucun point et laisse fixes les droites perpendiculaires à a et b, et elles seulement. Ces droites sont aussi celles qui joignent un point à son image. Elles ont donc même direction.
En tant que produit de deux symétries centrales, une translation conserve la direction des droites.

Etant donnés deux point P et Q quelconques, il existe une (T = C_QQ $\circ $ C_PQ) et une seule translation qui applique P sur Q : supposons P et Q distincts, et soit U une translation qui applique également P sur Q. T et U appliquent un point A hors de PQ sur un point B situé à la fois sur la parallèle à PQ menée depuis A, et sur la parallèle à PA depuis Q. On a donc T(A) = U(A). Le même raisonnement appliqué à A et B à la place de P et Q montre que T(C) = U(C) pour un point de PQ. Ainsi T = U. On note T_PQ la translation qui applique P sur Q.

Le produit de deux translations est une translation : T_BC $\circ $ T_AB = (C_BC $ \circ $ C_BB) $\circ $ (C_BB $\circ $ C_AB),
S_a $\circ $ S_b est la translation réciproque de S_b $\circ $ S_a,
le produit des translations est commutatif :
T_BC $\circ $ T_AB = T_AC = C_BC $\circ $ C _AB = C_BC $\circ $ (C_AC $\circ $ C_AC) $\circ $ C_AB = T_AB $\circ $ T_BC.

Les translations forment donc un groupe abélien.

Voilà. Tout ceci n'est naturellement qu'un radotage de vieux, mais c'était juste pour avoir le plaisir esthétique (pervers ?) d'écrire les cinq dernières lignes :-)

:-) Cet épais brouillard m'a fait peur !