Coordonnées
Bonjour,
J'aimerais savoir s'il y a une raison, au lycée, de ne pas mettre un égal entre le vecteur et ses coordonnées ?
Est-ce seulement parce que la notion de matrice n'est absolument pas vu que l'on décide de ne pas accepter cette notation ? Ou y-a-t-il une autre raison ?
En vous remerciant d'avance !
J'aimerais savoir s'il y a une raison, au lycée, de ne pas mettre un égal entre le vecteur et ses coordonnées ?
Est-ce seulement parce que la notion de matrice n'est absolument pas vu que l'on décide de ne pas accepter cette notation ? Ou y-a-t-il une autre raison ?
En vous remerciant d'avance !
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Réponses
Mais pourquoi demander à écrire AB(2;3) et ne pas accepter AB=(2;3) ? ((AB ---> Lire vecteur AB))
en maths, on ne met = que quand c'est le même objet mathématique des deux côtés. 2+1=3 dit que le nombre écrit 2+1 est justement le nombre qu'on écrit 3. Comme le vecteur géométrique n'est pas un couple de réels (ou plus précisément, qu'il y a une infinité de couples de coordonnées possibles), on n'écrit pas que "c'est le même objet".
Cordialement.
-- Schnoebelen, Philippe
Dans un modèle affine basé sur un espace vectoriel de dimension 2 (par exemple) les points du plan sont les vecteurs.
Cordialement.
Un espace affine est la donnée d'un espace vectoriel $V$ (dont les éléments sont appelés les vecteurs) et d'un ensemble $E$ (dont les éléments sont appelés les points) et une application $(A,B) \in E \mapsto \overrightarrow{AB} \in V$ vérifiant
\begin{align*}
\forall\, ( A , B , C ) \in E^3 ,&\ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\\
\forall A \in E ,\ \forall\ \vec v \in V , \ \exists!\ B \in E, &\ \overrightarrow{AB} = \vec v
\end{align*} Il n'y a aucune raison pour que $E = V$ !
Le fait que l'on puisse identifier à la fois les points du plan euclidien et les vecteurs du plan euclidien à $\R^2$ est un hasard, qui d'ailleurs est une source de confusion et d'erreurs chez les élèves.
Le fait d'identifier les points du plan euclidien à $\mathcal M_{1,2}(\R)$ et les vecteurs du plan euclidien à $\mathcal M_{1,2}(\R)$ permet de réduire cette confusion.
-- Schnoebelen, Philippe
tu m'as mal lu ! relis mon message.
Tu bases ton espace affine sur deux ensembles, je n'en utilise qu'un (d'où sortirait le deuxième ?) comme dans les constructions de la géométrie à partir de l'algèbre linéaire.
Par exemple, je construis le plan à partir de $V=(\mathbb R^2,+,.)$. Il n'y a pas encore de plan, pas de $E$.
Cordialement.
Sinon les théorèmes qui l'utilisent disent seulement en toute rigueur que (par exemple)
Pour tout espace vectoriel agissant sur le plan euclidien (tout triangle a ses médianes concourantes).
C'est seulement quand on montre qu'il existe au moins un tel espace vectoriel qu'on peut déclarer à bon droit qu'on sait
que tous les triangles ont leurs médianes concourantes (ou alors le démontrer autrement sans passer par les vecteurs comme les anciens. Même à l'époque de Newton les vecteurs étaient encore inconnus).
[size=x-small]On peut construire cet espace en prenant l'ensemble des translations du plan, définies avec des parallélogrammes, et il y a un certain nombre de complications (la somme va être la composition et le théorème de Desargues peut être mis à contribution pour prouver que la composée de deux translations est une translation). [/size]
Les livres de physiques font pareil, sinon ils deviennent vite illisibles.
Du coup, je pense que c'est une convention française, vite abandonnée dans le supérieur.
$
\overrightarrow{AB} =
\begin{pmatrix} e_1,e_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}
$
Avec des changements de base
$
\begin{pmatrix} e_1,e_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} f_1,f_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}
$
ce qui donne par substitution
$
\overrightarrow{AB} =
\begin{pmatrix} f_1,f_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} f_1,f_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5\\11 \end{pmatrix}
$
PS: je n’arrive pas à écrire le vecteur en $\LaTeX$, un modérateur peut-il mlodifer le code et me dire ce qu’il a fait en commentaire de ce message s’il vous plait?
Tu as juste oublié un backslash. --JLT
Un couple $(x,y)$ de réels est une fonction de $\{1,2\}$ dans $\R$.
Un vecteur colonne $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ est une application de $\{1,2\}\times\{1\}$ vers $\R$. Comme le cardinal de $\{1\}$ est... $1$, il y a une correspondance naturelle entre les deux. Je prône l'identification entre $\R^n$ et $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$.