Ces petits problèmes qui font aimer les maths

Un jolie problème où on peu utiliser la notion de limite et faire appel aux savoirs du collège!

Supposons que suite à des erreurs de mesures, on doit avoir une zone de tolérance de $T=x$ centimètres et qu'on peut faire des mesures à pas de $x \;cm$. On s’intéresse au nombre des positions possibles du centre de la pièce dans ce carré y compris les bords et les coins:
1) Le nombre total des positions possibles est noté $S$.
2) Le nombre des positions dans lesquelles la pièce ne touche pas le bord en tenant compte de la tolérance est noté $G$.
La probabilité cherchée est $P=G/S$.

Si la tolérance est $T=1cm$ entre la ligne du carrélage et le bord de la pièce , le nombre total des positions possible est $S=6\times6=36$ et le nombre des positions acceptables compte tenue de la tolérance est $G=4$. La probabilité cherché est $P=4/36 \approx 0,111$.
Si la tolérance est $T=0,5cm$, $S=121$ et $G=25$, $P\approx 0,21$.
Il est possible de dessiner ces deux exemples et compter le nombre des positions.

SI la tolérance est $T=0,1cm$, $S=2601$ et $G=841$, $P\approx 0,33$.
Si la tolérance est $T=10^{-4} cm$, $S=50001^2$ et $G=29999^2$, $P \approx 0,35996$.
Si la tolérance est $T$, $S=\Big(\frac{5}{T}+1\Big)^2$ et $G=\Big(\frac{3}{T}+1\Big)^2$, $P=\frac{(3+T)^2}{(5+T)^2}$
La probabilité est égale à $P=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{(3+T)^2}{(5+T)^2} = \frac{9}{25}$

A mon avis c'est préférable aux "expériences", géogébra et les intervalles de fluctuation que propose l'APMEP. Parce que du coup on travaille avec les fractions, les nombres décimaux, les mesures et la notation scientifique des mesures, mettre un nombre au carré, simplifier la fraction algébrique et trouver la limite. Et cerise sur le gâteau: on montre comment en partant des cas simples on peut en déduire une solution.