Professeur pervers ?

Prouvez que : $$\frac{1}{a^2} \sqrt{ \bigg( a^6

+\frac{3a^4}{b^{-2}} + \frac{a^2 b^4}{3^{-1}}

+\frac{1}{b^{-6}} \bigg)^{ \frac{2}{3}} } +\Bigg(

\frac{(b^\frac{2}{3} -a^ \frac{2}{3})^3 -2a^2 -b^2

}{a^2 +(b^ \frac{2}{3} -a^ \frac{2}{3})^3 +2b^2}

\Bigg)^{-3} = 1$$

On a $a^6 +\frac{3a^4}{b^{-2}} + \frac{a^2 b^4}{3^{-1}} +\frac{1}{b^{-6}}=(a^2+b^2)^3$ donc le premier terme vaut $1+\frac{b^2}{a^2}$.

Pour le deuxième terme, posons $c=a^{2/3}$ et $d=b^{2/3}$.

On a $\Bigg(\frac{(b^\frac{2}{3} -a^ \frac{2}{3})^3 -2a^2 -b^2
}{a^2 +(b^ \frac{2}{3} -a^ \frac{2}{3})^3 +2b^2}\Bigg)^{-1}=-\frac{3d^3-3d^2c+3dc^2}{3c^3+3d^2c-3dc^2}=-\frac{d}{c}$ donc $\Bigg(\frac{(b^\frac{2}{3} -a^ \frac{2}{3})^3 -2a^2 -b^2
}{a^2 +(b^ \frac{2}{3} -a^ \frac{2}{3})^3 +2b^2}\Bigg)^{-3}=-\frac{b^2}{a^2}$.

Édit : coquille corrigée, voir le message de GG ci-dessous.

@mathosphere,

Je suis désolé, mon message était trop agressif, c'est disproportionné.

Cordialement.

@Mathurin: je trouve votre reponse vide d'arguments et insultante, je ne vois donc pas l'interet de poursuivre une discussion avec vous.

@vorobichek: non, je ne propose pas un plafond comme vous dites. Mais je pense que c'est un exercice bien trop difficile en evaluation, en tout cas *sa non-resolution ne permet en rien de decider si un eleve a compris les regles de manipulation algebrique qui lui permettront de suivre au niveau superieur*. Par contre, comme je l'ai dit, donner cette expression a simplifier *sans donner la reponse* comme un defi a chercher en temps libre pour les eleves que ca amuse, c'est tres interessant. Et si plusieurs eleves d'une classe ont trouve par des methodes differentes et l'exposent au reste de la classe, ca serait surement tres formatteur. Je ne vois pas en quoi dire cela diminue le niveau d'exigence. Je pense d'ailleurs que mes etudiants riraient bien s'il leur venait aux oreilles que mes evaluations n'ont aucun niveau d'exigence!

Ensuite sur votre attitude, je n'ai rien contre le fait que vous nous presentiez le systeme russe (ou sovietique je ne sais pas), bien au contraire, mais j'apprecierais que ce soit fait de maniere aussi objective et complete que possible, en s'efforcant d'eviter l'imperialisme et la tentation de faire du cherry-picking pour defendre vos points de vue (par exemple sur la virtuosite technique en calcul). Ainsi, si on compare l'aisance dans tel ou tel domaine des eleves formes par le systeme russe ou francais, par exemple en 1ere annee de *sciences* a l'universite ou de CPGE, il me parait important de connaitre les horaires hebdomadaires dans le secondaire annee par annee d'une part, le pourcentage d'une classe d'age qui est concerne ainsi que les programmes.

Je precise enfin que je suis bien persuade que le systeme francais actuel est tres perfectible, mais je ne crois pas qu'on ameliorera les choses en appelant de ses voeux un retour au systeme scolaire du debut des annees 80 (ou a un systeme etranger qui s'en rapprocherait) sans tenir compte des evolutions de la societe.

RE

Je me rappelle un livre de Licence, qui commençait par une citation du genre
"Sans technique, un don n'est rien qu'une sale manie".

La Castafiore fait ses vocalises quotidiennes, bien que cela soit moins enthousiasmant que de jouer Carmen à la Scala.

Quand on compare les bons résultats de la Russie aux OIM avec les performances médiocres de la France depuis 2000 ou même avant, on est obligé de reconnaître la supériorité de l'ours sur le mammouth dans le domaine des math.

A+

@Parisse, en attendant les faits sont implacables même si durant des années on a voulu les cacher: dans les années 80, les collégiens et lycéens français étaient sur le podium, aujourd'hui on est dans la voiture balai mais on grimpe , on grimpe tellement c'est facile donc tout va bien...et le nombre d'heures n'a pas diminué de 80% il me semble entre les deux périodes. J'ai vraiment l'impression que la politique de casser le thermomètre pour ne pas voir que la température du malade dépasse les 41 degrés fonctionne à plein régime. Pour votre remarque sur "l'impérialisme " de vorobibichek je la trouve totalement ridicule...

de @vorobichek "Pour réussir en maths dans le système français, les parents doivent suivre les enfants de près, combler les lacunes des programmes, donner des exercices ambitieux etc. (il y a des exceptions bien sur) Mais ce n'est pas tous les parents qui veulent le faire. Et surtout beaucoup en sont incapables parce qu'ils n'ont pas le niveau."

Oui c'est exact les programmes étant pourris dès le primaire, il faut prendre garde à ce que le pré-requis soient ok, sinon les lacunes fonctionnelles s'accumulent et c'est l'enlisement dans des programmes ahurissants et délayés à l'extrême.

En fait les programmes sont faits pour que même un enfant doué ne puisse pas s'en sortir. C'est assez sophistiqué, je ne l'ai compris que récemment. En faisant le retro engineering, le cahier des charges a été le suivant:

1. Ecole primaire
- empêcher l'acquisition d'une bonne maîtrise calculatoire de base (les cas généraux de la division et de la multiplication ne sont plus enseignés),
- empêcher l'acquisition des manipulations arithmétiques simples (fractions, puissances dans le cas des surfaces et volumes, intuition sur les nombres premiers entre eux ou premiers etc.). À ce niveau il est important que les parents croient que les choses sont effectivement enseignées : il faut donc aborder plus ou moins les têtes de chapitre de ce qui existait avant en les vidant de leur intelligence.
- ne plus aborder que des exemples "boite à chaussures" pour les volumes pour empêcher l'exploration naturelle par l'intelligence de l'enfant si Pi et des formes plus attrayantes avaient été présentés,
- réduire au maximum l'étude des proportionnalités.

2. Collège
À ce niveau les premières lacunes importantes de l'école primaire vont commencer à jouer à plein dans les difficultés. Il est très important de supprimer tout élément conceptuel qui pourrait susciter l'intérêt des plus curieux (pgcd, ppcm, recul sur le nombre, petits trésors de géométrie élémentaire etc.) Les efforts dans le délabrement des programmes se poursuivent donc :
- délayer à l'extrême les manipulations algébriques de bases en supprimant l'étude de celles qui reviennent en pratique fréquemment (identités remarquables, puissances etc.),
- supprimer la géométrie structurée, l'initiation au calcul vectoriel etc,
- en prenant garde à ne pas inciter au raisonnement démonstratif,
- présenter "le numérique et l'informatique" pour faire croire que les enseignements se sont modernisés.

3. Lycée
- n'aborder qu'un contenu indigents permis par les acquis des années précédentes,
- noyer les élèves dans des difficultés d'apprentissage des manipulations algébriques et géométriques élémentaires qui doivent avoir lieu en parallèle avec l'apprentissage de concepts qui les réclament.

Donc il faut passer du temps et investir dans les manuels d'occase des années 80 (ou d'avant), cohérents et truffés de super exos.

@JLT, je crois qu'il y a une coquille dans ton calcul (c'est -3cd² à la place de ton -3dc²).

(J'ai corrigé une faute de frappe. JLT)

qu'est ce qui change entre ce transmath et le transmath d'aujourd'hui ?

@xax: C'est tres certainement vrai que le rapport a la connaissance ainsi que la consideration de la societe envers les enseignants est un point tres important. Mais ca ne se change pas d'un coup de baguette magique et c'est sans rapport avec le fait d'exiger de toute une classe d'age une tres grande virtuosite technique.

Je ne dis pas qu’il ne faut pas faire cours. Je donne des polycopiés mais parfois il faut près d’une heure pour expliquer un seul polycopié dans le détail. Donner des polys ne signifie pas ne pas faire cours ou ne pas expliquer. Ça permet juste de se dégager du temps (on en manque tant!) pour autre chose. Mais en effet, reléguer toute la partie cours à la maison n’est certainement pas la solution.

Je dois avouer que je suis assez d'accord avec la dernière phrase de Ramon. Bon, 20 minutes pour faire l'interro, ça me parait court quand même. 30/40 minutes serait peut-être mieux...

xax : filer le cours sur Internet avant de faire des exercices en classe, ce n'est pas du tout la pédagogie inversée... En pédagogie inversée, les élèves créent le cours.

xax a écrit:

En fait les programmes sont faits pour que même un enfant doué ne puisse pas s'en sortir.

Comment expliquer que des élèves s'en sortent ? (sans cours particuliers, sans parents profs ou bacheliers, avec des profs qui suivent les programmes. Oui, oui, ça existe)

@Fin de partie effectivement les parents qui ont un précepteur, en général quelqu'un qui fait une à deux heures chaque jours + weekend sont de milieux aisés. Plus précisément ça concerne les professions chronophages (avocats, la plupart des ingénieurs etc.) qui n'ont pas assez de temps pour s'occuper de leurs enfants.
Personnellement j'ai vu ça sur Paris.

Il y a une coquille à la question 14. Enfin, je crois.

Xax: tu rectifies comment la question 14? On a envie de rajouter un numérateur égal à 1 mais est-ce ce qu'avait en tête l'auteur?

@kioups
Ne pas faire le cours ou donner le cours sur polycopié sur email avant les exercices , franchement, pour 98% des élèves c'est exactement la même chose, surtout que les programmes sont tellement mal fichus que même un élève relativement motivé qui s'y plonge aura souvent du mal à le comprendre. La très grande majorité des élèves qui réussissent ou surnage avec cette non méthode reçoivent de l'aide mais encore une fois ils ne vous le diront jamais et le plus navrant c'est de voir certains profs qui pratiquent cette pédagogie inversée se gargariser des progrès de son élève qui était au fond du trou et qui est revenu comme par magie à la surface et voit enfin un peu la lumière . Je ne suis pas du tout adepte de passer des heures et des heures sur le cours, à vouloir absolument tout démontrer dans les moindres détails (il y a un juste milieu selon moi) . Expliquer une première partie du cours et appliquer immédiatement sur des exercices simples , puis on continue tout en donnant des méthodes claires mais pas des recettes (à quelques exceptions tant le programme nous y force ).
Il existe quelques rares élèves qui arrivent à se débrouiller tout seuls, oui, mais c'est très rare et même ceux là se poseront des questions du style: mais comment je peux savoir quelle méthode sera applicable (ou pas trop compliqué techniquement parlant) pour étudier le sens de variation d'une suite u(n+1)=f (u (n))? Pourquoi dans cet exo j'arrive à déterminer facilement le signe de u(n+1)-u(n) et pourquoi dans l'autre je n'y arrive pas ou c'est vraiment "galère "...pourquoi dans cet exo j'arrive à montrer un encadrement par recurrence par la méthode "petit à petit" et pourquoi dans un autre cela ne fonctionne pas ou cela "marche" d'un "côté" et pas de l'autre... (un grand classique sur des suites de style u(n+1)=(au(n)+b)÷(cu(n)+d) par exemple), pourquoi et à quelles conditions la méthode par recurrence en utilisant la croissance de f est applicable (et donc préférable ) etc etc...
Pour en revenir au sujet du début, je trouve que 20 minutes c'est quand même un peu court pour l'exo de TS si il faut tout rédiger et tout justifier correctement .
Il y a beaucoup de dérivées de fonctions trigonométriques dans ce sujet et je me pose d'ailleurs des questions sur l'étude des fonctions trigonométriques en terminale S. En feuilletant différents manuels on se rend compte de l'énorme différence de traitement , l'un va quasiment zapper le chapitre, l'autre va au contraire bien insister...j'estime que c'est un chapitre très important mais loin d'être facile si vraiment on le creuse un peu et qui demande pas mal de temps pour vraiment le maîtriser au niveau des exercices . Quand je regarde les sujets tombés au bac c'est le calme plat, je ne vois que le sujet des Antilles de 2018 qui effleure le sujet...ne me parlez pas du sujet de rugby de 2017 dans lequel on donnait tout... sincèrement je serais bien ennuyé devant une classe de TS avec ce chapitre car j'ai l'impression qu'il est au programme sans vraiment y être. ..

xax : facile, n'ayant pas vu la mention "calculatrice interdite" j'ai répondu à la question d'Arnold en 30 secondes.

Enfin, les exercices de calcul de valeurs approchées d'intégrales ne sont plus vraiment au goût du jour de toute façon.

@JLT: pas mal cette astuce (on en apprend tous les jours) mais si c'est ce qui est attendu certains vont crier au CDAL !

Xax: Pour le 14 il manque plus qu'un - devant un infini et un dx, à mon humble avis ou alors la question appelle une réponse triviale genre +infini.

@Fin de partie le 14 d'Arnold, je vois une solution là - je ne la comprends pas tout à fait - et pas le temps de m'y coller:
http://www.mathoman.com/index.php/1611-la-collection-d-exercices-de-vladimir-arnold#co

@xax: attention, je dis que pour le citoyen savoir resoudre un systeme lineaire 2x2 n'est pas prioritaire, pas qu'il ne doit jamais en avoir entendu parler. Dans la vie de tous les jours, ca ne va pas servir souvent, alors que maitriser les unites, les pourcentages et la regle de 3 si (c'est d'ailleurs un ingredient dans la mesure de la circonference de la Terre par Eratosthene).

Oui c'est ça il sort le 26 mars 2019

Le théorème d'Abel : Un cours d'Arnold

"Ce livre tire son origine d'un cours expérimental fait en 1964 par le grand mathématicien Vladimir Arnold à des lycéens de Moscou. Le cours portait sur le fameux théorème d'Abel (1828) qui affirme qu'il est impossible de résoudre par radicaux l'équation algébrique générale du cinquième degré. Il s'agissait bien sûr de lycéens un peu plus doués que la moyenne, et le projet d'Arnold était de leur donner l'occasion d'exercer leurs capacités. C'est pourquoi l'enseignant s'efface dès qu'il le peut devant l'auditeur (ou le lecteur). Chaque notion nouvelle, une fois présentée, fait l'objet d'une série de problèmes, qui permettent à l'étudiant d'en acquérir la maîtrise, pour pouvoir ensuite l'employer dans des situations relativement complexes. En 350 et quelques problèmes, le lecteur, bien guidé, parvient ainsi, si ce n'est à démontrer lui-même le théorème d'Abel, du moins à comprendre en profondeur la structure de sa démonstration. Après cet exercice, il reste au lecteur de solides connaissances sur les groupes, les nombres complexes, la topologie, et surtout l'expérience d'un travail de longue haleine en mathématiques.

Valeryi Alekseev était l'un des lycéens auditeurs d'Arnold en 1964. Devenu mathématicien, il refit le même cours à partir de ses notes, pour d'autres lycéens, en 1970-1971, et ce livre en est résulté. Traduction et illustrations de Francesca Aicardi. "