Enseigner le calcul littéral au collège

Première chose essentielle : seriner le « quel que soit le nombre y ».

Ensuite : rappeler que l’on va utiliser des propriétés de l’école primaire (commutativité de l’addition, de la multiplication, associativité,...).

Une règle : ne rien faire si on ne sait pas pourquoi on a le droit de le faire.

Je reviendrai plus tard, là je suis à l’apéro.

Je parage complètement l’analyse de zeitnot

Entièrement d'accord avec zeitnot et dom

J'ai remarqué que "les problèmes" viennent de deux choses : les conventions d'écritures mal acquises et l'oubli de "faire ce qu'on a le droit de faire et de ne pas inventer".


Les conventions : il ne s'agit pas de s'exercice sur ces conventions avant de passer à la suite, mais il faut les seriner sans cesse.

i) la priorité à la multiplication : ce n'est pas "logique" mais c'est décidé et connu (programme 6e-5e), les gamins s'en rappellent mais on leur efface les "$\times$" dans la convention suivante, alors ils ne les voient pas, évidemment...
C'est une convention assez bien bien assimilée (75% des élèves, à la louche), mais difficilement maîtrisé finalement dès qu'on est en calcul littéral.

ii) Quels que soient les nombres $a$ et $b$ deux nombres : $ab$ signifie $a\times b$.
Cette convention est assez bien comprise mais il faut la rappeler pour entendre "ha oui c'est vrai".

iii) Quel que soit le nombre $u$, $1\times u$ s'écrit plus simplement $u$.
C'est "évident" mais oublié. C'est gênant pour beaucoup alors que c'est une broutille.

iv) Quels que soient $a$ et $b$, l'écriture $a+(-b)$ est simplifiée en $a-b$.
C'est génial car ce truc dit "il n'y pas de "-" mais que des "+" et des $\times$.

Les propriétés mathématiques :
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $c$ :

i) $a+b=b+a$
ii) $a\times b=b\times a$
iii) $(a+b)+c=a+(b+c)$
iv) $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

Ces propriétés sont connues mais pas sous cette forme (certains profs "ont peur" de les donner comme ça).

La propriété de distributivité :
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $k$ : $k(a+b)=ka+kb$.

Ils la connaissent mais ne le savent pas. Par exemple, on demande à Robert de calculer $102\times 3$ et dans sa tête, il découpe bien les centaines et les unités pour trouver le résultat.
La preuve avec les aires est limpides mais "ils n'aiment pas mélanger la géométrie et les calculs".

C'est assez peu finalement comme contenu mais c'est dur de se restreindre à cela : ils veulent calculer des trucs même si ce n'est pas autorisé. On doit savoir à chaque étape ce que l'on utilise. C'est un passage difficile.

Dernière chose : réduire $2x+5x$ est la chose la plus difficile finalement car ça utilise la distributivité.
Mais il y a une autre méthode, car $2$ et $5$ sont des entiers.
$2x+3y+5x=x+x+y+y+y+x+x+x+x+x$ et c'est tout de suite plus clair...

Mon texte est long mais en fait il ne contient pas grand chose.

Comment faire prendre conscience qu'on ne peut pas réduire $5+2x$ ?
C'est encore le problème du $\times$ caché...
Une autre approche est de demander à Gwen de calculer "6 Litres + 3 euros" : si elle bloque, c'est bon signe.

Comment faire prendre conscience que $6x+(3x+2)$ est un cas simple ?

Comment faire prendre conscience, à vie, que $6x - (3x + 2)$ est une écriture de $6x - 1\times (3x+2)$ ?
Délicat, désastreux...et pourtant ça pose des difficultés.

Quelqu'un à une autre version pour réduire $6x - (3x + 2)$ ?

Encore une fois je suis entièrement d'accord avec les remarques de Dom. Une bonne idée à mon avis serait de numéroter les quelques règles de calculs et d'obliger les élèves à chaque étape de calculs d'indiquer quel règle précise (en indiquant le numéro) ils utilisent quitte à leur laisser la feuille avec le rappel de ces quelques règles qui sont finalement pas si nombreuses...

Autre cas de figure..
Quand les élèves de troisième ou plus factorisent (x+2)^2-9 par [(x+2)+3]×[(x+2)-3] combien ensuite nous sortent que (x+2)-3=-3x-6....là aussi c'est loin d'être évident que si on écrit -3(x+2) alors il s'agit d'une multiplication mais si on écrit (x+2)-3 c'est différent. ..c'est le genre de détail qui flingue régulièrement les calculs des élèves.

A propos de faire des gammes n'importe comment. Ça me rappelle un reportage que j'avais vu il y a quelques années. Une personne parlait de ces élèves de maternelle à qui l'on fait écrire et réécrire, en écriture cursive, dès leur quatre ans leur nom sur chaque travail réalisé. (Mes enfants, on fait exactement pareil.)

Deux ans à écrire son prénom, très tôt c'est formidable non ? C'est une catastrophe, il vaudrait mieux ne rien faire .
Pourquoi ? Car personne, ne prend le crayon avec l'enfant pour lui montrer dans quel sens on fait un "o", comment en fait un "d", etc. Les habitudes prises sont souvent irréversibles, l'individu fera ses "o" à l'envers toute sa vie !

Quand j'étais gamin d'ailleurs, on avait un dessin sur un tampon par élève qui nous représentait, je crois que j'avais le bateau. Un coup tampon au-dessus du porte-manteau, un coup de tampon sur chaque dessin, chaque travail, chaque truc réalisé

@Foys : Surtout si on doit d'abord expliquer ce qu'est l'anneau nul. ;-)

Pour l'instant le brevet c'est ça :

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Brevet_metropole_Reunion_28_juin2018.pdf

le seul calcul littéral demandé est de montrer que $(4+x)^2-x^2=2(4x+8)$. Ce type de calcul a déjà été demandé plusieurs fois lors des brevets précédents. Pourtant, moins d'un élève sur deux obtient la moyenne aux épreuves écrites. Mais c'est pas grave, la note du brevet se décompose ainsi :

400 points évaluation du socle commun
300 points épreuves écrites (math, français, histoire-géographie, sciences et technologie)
100 points oral.

L'oral est généralement surnoté. L'évaluation du socle commun est une note attribuée à la tête du client par le collège de l'élève.

JLT vient d'expliquer une bonne partie du problème. Inutile de savoir faire ces calculs pour avoir son Brevet. Du coup ( on peut les comprendre) les profs rechignent souvent à faire le sale boulot c'est à dire de faire et refaire encore et toujours du calcul littéral, développements, factorisations, fractions, etc car cela "ennuie" les élèves et les profs....même les programmes indiquent que si les calculs ne sont pas triviaux on pourra utiliser par exemple un logiciel de calcul formel ce qui n'incite pas à l'entraînement.
Il y a 30 ans un élève de troisième mauvais en calcul littéral était largement meilleur que les têtes de classe aujourd'hui dans ce secteur. Les élèves ne sont pourtant pas plus idiots aujourd'hui mais je me souviens que l'on nous faisait "manger" des développements, factorisations etc très régulièrement et que l'on nous donnait des devoirs à la maison sur ces domaines . Actuellement on donne parfois des problèmes intéressants dans des devoirs à la maison où il y a souvent des calculs ou des équations à résoudre que les élèves sont incapables de faire tout seuls, du coup c'est papa maman ou autre qui s'y collent...quel est l'intérêt? Aucun à mon sens, on met la charrue avant les boeufs.
Il n'y a pas de mystère dans ce domaine, seul un entraînement très régulier permet de progresser et oui l'élève peut prendre du plaisir à faire une factorisation ou une résolution d'équation en 3, 4 ou 5 étapes mais à la condition qu'il comprenne ce qu'il fait.
Le côté ingrat de cette affaire c'est que même si on déclare ce domaine priorité absolue les progrès et les efforts des élèves seront peu visibles dans un premier temps ce qui peut être décourageant car faire 3 grosses fautes par lignes de calculs ou 1 seule petite erreur revient à la même chose...:c'est faux.
Je fais souvent la comparaison avec l'apprentissage d'une langue étrangère. Si vous voulez apprendre le russe il faut d'abord notamment se tartiner toutes les déclinaisons des six cas, on souffre , ce n'est vraiment pas fun mais ensuite on a les clefs pour construire correctement ses phrases et petit à petit le plaisir arrive et lorsque le vocabulaire est suffisant on peut, à force de travail (plusieurs années) lire du dostoievski dans le texte...dans ce domaine des langues étrangères il y a aussi des adeptes de la méthode "intuitive" ,pas de grammaire, le "apprendre comme un enfant" avec le sous entendu "sans efforts" etc..sauf que si cette méthode peut faire illusion dans un premier temps , lorsque le niveau augmente, en général c'est la catastrophe.
p.s.
Pour le -(A-B) j'explique aussi que le - signifie -1×(A-B) ce qui a en plus l'avantage que l'élève n'oublie pas de mettre le -1 dans des factorisations du style (x-2)^2-(x-2)

@biely, j'aurais dû écrire A + ( (B) - (C) + (D) ) = ... et dire : j'efface les parenthèses extérieures bien sûr ! :-)

Je pense qu'un élève, même de CM2, n'aurait pas de mal à comprendre que si $a=2$ alors $a+1=3$. Ce qui pose plus de difficultés, c'est de quantifier correctement les variables. On voit encore dans le supérieur des variables qui apparaissent sans qu'elles aient été introduites par un "soit", ou bien des formules dont on ne sait pas si ça doit être précédé d'un $\forall x$ ou d'un $\exists x$.

On peut préparer les écoliers en écrivant les unités dans les calculs.
$2 m + 3 m = 5 m$, $2 m \times 3 m = 6 m^2$.

Avec des collégiens, face à $2 x + 3 y + 2,8 x$ on peut s'il est vraiment récalcitrant lui proposer oralement :
$2$ mètres $+ 3 € + 2,8$ mètres.

Ou d'autres choses avec des litres et des chats ou je ne sais quoi.

Mais une fois fait, il ne faut pas se détourner des maths "grâce" (à cause !) des chats et des litres.
Il faut revenir aux fondamentaux.
Ici, c'est de la distributivité, on factoriser par $x$, ou par mètres dans mon exemple.

@ignatus

Pour moi, « une grandeur avec un ensemble de valeurs », c'est du charabia. Quel problème y a-t-il à dire que $x$ représente un nombre, qu'on ne connaît pas forcément de manière précise ? En géométrie, on raisonne bien sur des figures dont on ne connaît pas nécessairement les dimensions exactes, non ?

Les gamins savent dès le primaire que « longueur fois largeur » est bien un nombre produit de deux autres.
Et il n’y a pas d’indéterminés. Et ils savent qu’on ne multiplie pas des mots.

On pourrait éventuellement pinailler sur le fait que ce sont des longueurs physiques et non des nombres mais je crois que ça passe tranquillement, sans émotion.

Je suis d'accord pour dire que c'est quelque chose de facile. La peur actuelle vient du fait que les enfants n'ont pas appris et n'ont pas pratiqué la calcul littéral.

@ignatus, pourquoi tu veux parler des variables? "Variable" vient du vocabulaire des fonctions, ainsi que les notations $x,y$. Avec le calcul littéral on peut justement "additionner" les pommes et les ballons. Par exemple Tomas achète pommes et ballon qui coûte à l'unité 0,3 euros et 5 euros respectivement. On pose $a$ le nombre de pommes achetées et $b$ le nombre des ballons achetés. Thomas a dépensé $0,3a+5b$ euros.

Combien de temps comptes consacrer au calcul littéral? Pour avoir une idée de progression "optimal", regarde les manuels de Lebossé-Hemery ou les autres vieux manuels.

Je me demande aussi si le fait d'appeler presque systématiquement x (ou a) toute variable ne rend pas les choses un peu effrayantes au début .
Pourquoi ne pas utiliser np (pour nombre de pommes) et no (pour nombre d'oranges) par exemple .

@ignatus,

@vorobichek : J'ai consacré beaucoup de temps, sans doute trop, au calcul littéral

Trois-quatre mois? Deux-trois semaines? "Beaucoup" c'est trop subjectif. Quand je regarde les manuels français, les exercices sont trop faciles et trop typés. On utilise les mêmes lettres, les puissances ne vont pas au delà de 3.
Si je prends l'école russe, elle consacre 60-70 leçons de 45 minutes à l'apprentissage du calcul littéral. Par exemple une leçon entière est consacrée à la multiplication des monômes. Avec les exercices d’entrainement comme $3 e^2 f^6 \times 4 e^3 f^3 g^5$. Une fois appris, le calcul littéral est utilisé de façon continue jusqu'à la fin du lycée.

j'ai expliqué aux élèves que c'était le moyen d'exprimer la généralité nécessaire pour produire des démonstrations.

On peut aussi dire que c'est un moyen pour écrire plus rapidement.

Ha ! Par contre là, je ne suis pas d'accord.

Je suis clair pour des questions rhétoriques : je me fous de la question "à quoi ça sert ?" (même si je sais, mais je le garde en secret).
En effet, ça sert au sens propre, pour quelques problèmes, mais ça sert aussi pour le cerveau (hum, c'est dit très grossièrement, pardon), j'en suis certain. L'abstraction, en général, dans toutes les disciplines, est salutaire.
Je n'ai pas de source là-dessus d'ailleurs.

Bon, cela dit, je veux bien être minoritaire sur cet aspect.

Des problèmes avec un vrai enjeu et pas téléphonés, c’est-à-dire avec une vraie situation réaliste ?
J’ai toujours été dubitatif devant un problème dont on ne sait pas d’où sortent le modèle ni les constantes du modèle, par exemple soit un prix de revient égal à une fonction polynôme du troisième degré. Moui, pourquoi ? Et pourquoi quand on dérive (pour avoir le prix marginal), la dérivée colle pile poil avec des valeurs qui marchent pile poil ? Pourquoi dériver d’ailleurs puisque la quantité est discrète (mieux encore quand les quantités sont de 2 à 12) ?

Certains vont peut-être grogner mais on peut aussi commencer des équations avant l'artillerie "calcul littéral".
C'est faisable.

Il faut savoir défendre cela si un IA-IPR décide de faire du zèle.

On a un avantage réel : on cherche un nombre et l'idée de l'écrire avec une lettre est pratique.

Puis, lors du calcul littéral, la lettre est peut-être moins mystérieuse.

Seule chose difficile à défendre : $2x + 1,8x$ est difficile à réduire sans la distributivité tandis que $2x + 3x$ se réduit par définition de la multiplication.

On peut se sortir du guêpier en passant tout en dixième, peut-être.

Edit : assez d'accord avec le dernier message de Ludwig.
Proposer des situations, résolubles ou non.
Aussi des situations pour écrire des périmètres ou aires ou autres (somme des angles) avec des lettres.

ah moi aussi je viens de prendre une tisane

évidemment qu'il faut maitriser certains calculs de base je ne dis pas le contraire
je sais bien que c'est nécessaire
mais ce que je dis c'est que cette bonne maitrise est IMPOSSIBLE
si on ne part pas un petit peu des problèmes
ou alors ce sera des règles à la con qu'on (concon :-))
applique sans rien comprendre

du vent quoi

et c'est justement pour ça qu'ils arrivent au lycée sans savoir faire quoi que ce soit

donner des problèmes insolubles c'est bon pour la santé
ça évite de faire croire qu'on peut tout résoudre déjà,
et ça installe une tension, une différence de potentiel,
un noeud,
que seul le calcul littéral permet de dénouer

ça ne les dégoute pas (faut pas en donner trois par semaine aussi..)
mais un de temps en temps ça remet les choses en place,
et en perpsective
fixe un cap, montre un horizon