Introduction du nombre e en TS

La méthode s’appelle « méthode d’Euler ».

On trouvait cela jadis sans les documents d’accompagnement des programmes de TS.
Ce fut aussi la première partie de plusieurs sujets de concours, CAPES notamment.

Google doit bien trouver ça...

On trouve des choses ici : http://megamaths.raidghost.com/annales/capesexterne2004comp1e.pdf

Voilà peut-être une méthode à proposer en TS, qui ne nécessite que l'inégalité de Bernoulli (celle-ci peut être un attendu du programme, puisqu'elle est utile dans les limites de suites géométriques) et de la formule du binôme de Newton (là, c'est limite).

Pour tout $n \geqslant 1$, on note $u_n = \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$.

1. $(u_n)$ est croissante.

En effet, pour tout $n \geqslant 1$
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \frac{n+1}{n} = \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$$
et l'inégalité de Bernoulli implique que
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = 1.$$

2. $(u_n)$ est bornée.

Croissante, elle est déjà minorée par son premier terme, et donc, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant 2$.

Via la formule du binôme de Newton
$$u_n = 1 + \sum_{k=1}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k} \leqslant 1 + 2 \sum_{k=1}^n 2^{-k} = 3 - 2^{1-n} < 3.$$

3. Conclusion.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge vers une limite notée $e$ vérifiant $2 \leqslant e \leqslant 3$.

Si on connait le logarithme une façon de montrer que cette suite est croissante:

Pour tout $n\geq 1$, entier,
\begin{align}u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\
\ln\left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)&=\int_n^{n+1} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right)\,dx\end{align}

Et si on considère sur $[1;\infty[$ la fonction $\displaystyle \psi(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$

On a que: $\displaystyle \psi(1)=\ln\left(2\right)-\frac{1}{2}>0^*,\psi^\prime(x)=-\frac{1}{x(1+x^2)},\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=0$,

Donc, $\psi$ est décroissante et pour tout $x\geq 1$, $\psi(x)>0$ donc $\displaystyle \int_n^{n+1} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right)\,dx>0$ et donc pour tout $n\geq 1$,
$\ln(u_{n+1})>\ln(u_{n}),u_{n+1}>u_{n}$ la suite $(u_n)$ est croissante.


*C'est vrai que ce résultat pour le moment je l'obtiens à l'aide d'une calculatrice.

PS:
J'ai obtenu la fonction $\psi$ en dérivant la fonction $\displaystyle \xi(x)=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$

Il est facile de démontrer connaissant la fonction logarithme et quelques unes de ses propriétés que si la suite $(u_n)$ est définie pour tout $n\geq 1$ par $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ on a que la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $\ln(u_n)$ converge vers $1$.

Pour FinDePartie :

Si tu définis $\ln(2)$ par $\ln(2) = \int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$, alors on voit tout de suite que $\frac{1}{2} \le \ln(2) \le1$.

En effet, pour $1\le x\le x$, on a $\frac{1}{2} \le \frac{1}{x} \le 1$.