Introduction du nombre e en TS
Bonjour à tous,
j'envisage pour mes élèves de TS de l'an prochain d'introduire le nombre $e$ en guise d'introduction à la fonction exponentielle.
J'aimerais le faire via la limite de $\ \Big( 1 + \dfrac{1}{n} \Big) ^ n $.
J'ai trouvé une fois un exercice de niveau TS qui calculait cette limite via les suites adjacentes mais impossible de remettre la main dessus, quelqu'un aurait une source ?
Merci d'avance !
j'envisage pour mes élèves de TS de l'an prochain d'introduire le nombre $e$ en guise d'introduction à la fonction exponentielle.
J'aimerais le faire via la limite de $\ \Big( 1 + \dfrac{1}{n} \Big) ^ n $.
J'ai trouvé une fois un exercice de niveau TS qui calculait cette limite via les suites adjacentes mais impossible de remettre la main dessus, quelqu'un aurait une source ?
Merci d'avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ce nombre est négatif dès que $n\geq 1$ et donc $n\mapsto b_n$ est une suite décroissante à partir de $1$. La différence des deux suites tend vers $0$ et on peut appeler $e$ leur limite commune.
On trouvait cela jadis sans les documents d’accompagnement des programmes de TS.
Ce fut aussi la première partie de plusieurs sujets de concours, CAPES notamment.
Google doit bien trouver ça...
Pour tout $n \geqslant 1$, on note $u_n = \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$.
1. $(u_n)$ est croissante.
En effet, pour tout $n \geqslant 1$
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \frac{n+1}{n} = \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$$
et l'inégalité de Bernoulli implique que
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = 1.$$
2. $(u_n)$ est bornée.
Croissante, elle est déjà minorée par son premier terme, et donc, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant 2$.
Via la formule du binôme de Newton
$$u_n = 1 + \sum_{k=1}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k} \leqslant 1 + 2 \sum_{k=1}^n 2^{-k} = 3 - 2^{1-n} < 3.$$
3. Conclusion.
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge vers une limite notée $e$ vérifiant $2 \leqslant e \leqslant 3$.
Sur $]-n,+\infty[$, on étudie $q_{n}(x) = \frac{p_{n+1}(x)}{p_{n}(x)}$.
On a : $p_n'(x) = \frac{1}{1+\frac{x}{n}} \cdot p_n(x)$.
On trouve donc : $q_{n}'(x) =
q_n(x) \cdot
\big[
\frac{1}{1+\frac{x}{n+1}} -
\frac{1}{1+\frac{x}{n}}
\big]
=
q_{n}(x)
\cdot
\frac{1}{1+\frac{x}{n+1}} \cdot
\frac{1}{1+\frac{x}{n}} \cdot
\frac{x}{n(n+1)}
$.
La dérivée $q_n'(x)$ est du signe de $x$, donc $q_n$ atteint son minimum en $x=$ : $q_n(x) \ge q_n(0) = 1$.
Ainsi : $p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.
Sinon, effectivement : $p_n(x)
\cdot
p_n(-x) =
\big(1-\frac{x^2}{n^2}\big)^n \le 1$, donc $p_n(1) \le \frac{1}{p_n(-1)} \le \frac{1}{p_2(-1)}$.
On peut conclure par convergence monotone majorée.
Je trouve que c'est un peu plus difficile de montrer que $p_n(1)$ et $\frac{1}{p_n(-1)}$ sont adjacentes, car il faut l'inégalité de Bernoulli $
p_n(x)
\cdot
p_n(-x) =
\big(1-\frac{x^2}{n^2}\big)^n
\ge
1 - \frac{x^2}{n}$.
Pour tout $n\geq 1$, entier,
\begin{align}u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\
\ln\left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)&=\int_n^{n+1} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right)\,dx\end{align}
Et si on considère sur $[1;\infty[$ la fonction $\displaystyle \psi(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$
On a que: $\displaystyle \psi(1)=\ln\left(2\right)-\frac{1}{2}>0^*,\psi^\prime(x)=-\frac{1}{x(1+x^2)},\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=0$,
Donc, $\psi$ est décroissante et pour tout $x\geq 1$, $\psi(x)>0$ donc $\displaystyle \int_n^{n+1} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right)\,dx>0$ et donc pour tout $n\geq 1$,
$\ln(u_{n+1})>\ln(u_{n}),u_{n+1}>u_{n}$ la suite $(u_n)$ est croissante.
*C'est vrai que ce résultat pour le moment je l'obtiens à l'aide d'une calculatrice.
PS:
J'ai obtenu la fonction $\psi$ en dérivant la fonction $\displaystyle \xi(x)=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$
\begin{align}1=\int_1^e\frac{1}{x}\,dx\end{align}
avec un dessin de préférence.
Dans l'esprit de ce qu'a proposé noix de totos, il y avait la première épreuve du CAPES 2004.
Si tu définis $\ln(2)$ par $\ln(2) = \int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$, alors on voit tout de suite que $\frac{1}{2} \le \ln(2) \le1$.
En effet, pour $1\le x\le x$, on a $\frac{1}{2} \le \frac{1}{x} \le 1$.
C'est Euler qui a mis au clair les logarithmes et l'exponentielle d'où le e.
Il a aussi prouvé $e^{i*a} = cos(a) + i*sin(a) $ avec des séries...