Question aux profs en MP/MP*
Bonjour à tous
Il y une partie dans le programme officiel de classe de MP que je ne suis pas sûre de bien interpréter c'est celle dans le thème sur les structures algébriques usuelles. Comment interpréter vous la phrase suivante, et surtout le passage sur "l'esprit plus algébrique" et la notion d'idéal.
"Le paragraphe relatif aux polynômes permet de revenir sur l'étude menée en première année, dans un cadre étendu et dans un esprit plus algébrique, mettant l'accent sur la notion d'idéal"
Merci !
Bon week-end.
Il y une partie dans le programme officiel de classe de MP que je ne suis pas sûre de bien interpréter c'est celle dans le thème sur les structures algébriques usuelles. Comment interpréter vous la phrase suivante, et surtout le passage sur "l'esprit plus algébrique" et la notion d'idéal.
"Le paragraphe relatif aux polynômes permet de revenir sur l'étude menée en première année, dans un cadre étendu et dans un esprit plus algébrique, mettant l'accent sur la notion d'idéal"
Merci !
Bon week-end.
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Réponses
La notion d'idéal (qui est définie dans un anneau commutatif en prépa, sinon on parle d'idéal à gauche/à droite/bilatère) permet de parler (toujours dans le cadre du programme de prépa) de grandes classes d'anneaux : les anneaux principaux (et euclidiens).
Avec ces notions, on peut très facilement obtenir certains résultats en arithmétique sur $\mathbb{Z}$ (Bézout, bonne définition du ppcm et du pgcd).
Le résultat qui est usuellement prouvé est le suivant : si $\mathbb{K}$ est un corps alors $\mathbb{K}[X] $ est euclidien (donc principal) via la division euclidienne.
Ceci permet de construire le polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie (ou de parler du degré d'un nombre algébrique pour les extensions qui vont autour).
Cela permet de revisiter dans le langage des idéaux (premiers cette fois-ci) :le théorème chinois et le lemme des noyaux et d'introduire les élèves à la notion de factorisation via les structures quotients (mais je doute que ceci soit toujours fait! ^^)
Effectivement, je pense que ce point du programme est là pour signaler la différence d'approche entre les polynômes construits sur le corps R ou C en 1ère année, plutôt vus comme un Kev accessoirement agrémenté d'une structure d'anneau compatible et bénéficiant de théorèmes arithmétiques et ceux vus en 2ème année sur un sous-corps de C quelconque et dont on étudie les idéaux (sans utiliser les mots euclidien ou principal) pour retrouver la notion de pgcd de polynômes de cette manière.
@BobbyJoe : Il y a belle lurette que les quotients ont disparu. Z/nZ est juste une notation et la construction du corps des fractions rationnelles K(X) n'est pas exigible.
C'est néanmoins le seul exemple de quotient figurant au programme, ce dernier se vante donc un peu.
Mais que comprendre par "Z/nZ est juste une notation" ? Oui Z/nZ est juste une notation, mais A/I est juste une notation, qu'on présente la première comme une cas particulier de la seconde ou pas. Non ?
Ma question n'est apparemment pas claire mais je ne vois pas comment la reformuler, tant pis.
En 1ère année, le programme précise "La notion d'ensemble quotient est hors programme".
En 2ème année, on parle du groupe Z/nZ sans jamais évoquer les structures quotients, à part dans la page d'introduction citée par Nimes-man. Même les relations d'équivalence sont oubliées, reléguées à une seule mention, en parlant des composantes connexes par arcs (la connexité simple n'existant plus...).
Ceci étant, il est clair que de très bonnes classes doivent encore étudier tout cela.
Le résultat de ces mesures de pseudo égalité est qu'aujourd'hui il y a moins de quelques milliers de jeunes à bac+2 qui savent ce qu'est cette notion de quotient -l'une des plus importantes de toutes les mathématiques- (la majorité sont sur Paris) quand, quarante ans auparavant, plusieurs dizaines de milliers de jeunes en 1ère C étaient exposés à ce concept, dans toute la France (environ 20000 candidats sont reçus au bac C de 70 http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/ressources/etudes/pierre-arnoux/duverney4; combien se présentaient? Combien y avait-il d'élèves de 1ère C à l'époque? ).
Je sors du bar j’ai payé ma bière.
Ce serait comme dire que l'enseignement des math a progressé parce qu'on enseigne la statistique au lycée alors qu'il y a 40 ans même en prépa on n'en parlait pas (peu importe ce que vous pensez des stats au lycée actuellement, ce n'est pas le propos de mon argument).
Je ne dis pas qu'il y a une régression ou qu'il n'y en a pas. Je dis simplement qu'on est en train de comparer des choses difficilement comparables.
Je suis assez d'accord avec cela. Bien que je sois de ceux qui déplorent haut et fort la dégradation actuelle de l'enseignement primaire, secondaire et supérieur, je ne crois pas que le modèle des années 70 soit idéal (sans jeu de mots !) pour autant.
Cet enseignement était probablement super pour des futurs mathématiciens, mais l'était-il pour les autres ? Difficile à savoir, les seuls que j'entends le vanter sont justement des matheux...
Même dans le milieu mathématique, la proportion des gens attirés par les théories algébriques les plus abstraites ne sont pas majoritaires. Alors, si on souhaite s'adresser au plus grand nombre et amener le plus de futurs scientifiques possible à un haut niveau mathématique, il y a sans doute mieux à faire.
Je crois vraiment qu'il est tout à fait possible de faire de vraies mathématiques intéressantes et exigeantes au lycée, qui puissent assouvir la curiosité des plus matheux sans utiliser un formalisme algébrique abstrait. Certes, à l'heure actuelle, on en est très loin, malheureusement.
EDIT : Merci à aléa pour la correction orthographique !
Quand je vois le cours de 1C où les angles orientés sont définies comme les classes d'équivalences de l'ensemble des couples de vecteurs unitaires quotienté par la bonne relation d'équivalence, je pense que si.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1783890,1784756,quote=1
Après je ne dis pas que je ne suis pas d'accord avec ça :
ou cela :
Au lycée, ok, en prépa en filière MP (la plus matheuse) je pense que si, il le faut (disons comme ce que j'ai connu). Les futurs ingénieurs progressent et apprennent quand même en maths (en tout cas c'était comme ça dans ma prépa), et les futurs matheux ont une très bonne base pour le futur.
Juste pour se rendre compte, sans coefficienter les matières, cette élève a 15,5 de moyenne générale en 1S sur les 2 premiers trimestres... c'est en fait délirant. (désolé pour la mauvaise qualité ; j'ai un autre exemple de cette élève où $x^2$ a été remplacé par $2x$ et où $6 \times 1 + 4$ a été remplacé par... $0$).
Personne en France (pas moi en tout cas) ne souhaite revenir aux taux d'accès au Bac de 1970, ni même de 1980. Comme dit maintes fois, le Bac 1995 est une référence raisonnable, avec un bon contenu et un taux d'accès au bac général pareil à aujourd'hui.
Bien sûr ! Dans mon message, je parlais bien du lycée. Je suis complètement d'accord qu'en prépa math ou en L1/L2 math, c'est important d'introduire les structures algébriques de façon formelle !
Qu'on le veuille ou non, sorti de la sphère des mathématiciens, l'image associée aux maths des années 70 n'est pas loin d'évoquer un projet totalitaire.
Quelqu'un a cité récemment ici Attali http://www.attali.com/non-classifiee/les-maths-et-nous/ , qui rend les maths modernes responsables de l'affaissement de l'enseignement des maths.
Et pourtant, on peut difficilement penser qu'Attali est influencé par la rancoeur d'un échec scolaire.
Bref, évoquer les maths des années 70, c'est un peu comme si Ian Brossat faisait référence à l'URSS pour défendre un point de sa politique. Ou que le Rassemblement National prenne en exemple un point de la politique de Pétain.
Même si le point est pertinent, faire le lien avec quelque chose qui est globalement perçu comme négatif est contre-productif.
Indépendamment de cette perception, il n'est pas raisonnable de prendre comme point de référence la période où l'influence de la discipline a été la plus forte.
Ce n'est pas grave ce sont des élèves qui ne "sont rien" pour parler "disruptif"...
\mode<EM off>
Plus sérieusement ces lacunes sont hallucinantes, et montrent bien que si l'on n'exige rien des élèves et bien, comme tout être humain, il ne font rien! C'est d'autant plus étonnant qu'une majeure partie serait tout à fait réceptive à l'exigence pour peu que celle-ci soit globale dans la chaîne éducative, alors que là une majeure partie va tout bonnement être inemployable (inutile d'expliquer que grâce à l'ordinateur il est devenu inutile de savoir calculer!)
Cf. pièce jointe.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1803844,1806648#msg-1806648
Il faut plutôt prendre comme modèle, en mathématiques, ce qui s'est fait avant les années 70.
Mais sinon, c'est peut-être très faible en maths mais pas dans les autres matières où il réussit plutôt bien...?
En effet, ça peut vexer, bon, ...
Bien vu, c'est mon téléphone qui a pris un coup au niveau de l'objectif.
@Manolito : Je doute très fort que mes élèves aillent sur ce forum, encore moins sur "questions aux profs en MP/MP*". Par ailleurs, l'objectif n'est pas de blesser, juste de montrer la réalité du niveau des élèves de lycée, au moins dans certains lycées.
Mais avec quels moyens ? Moi, je pense qu'il faut vraiment réagir, mais la politique générale (collègues comme direction comme inspection) c'est de faire l'autruche.
Les collègues (juste deux exemples) :
Ils savent pas calculer ? Pas si grave, il y a la calculatrice désormais.
Ils écrivent "$a = \frac{y_B + y_A}{x_A + x_B}$" pour un coefficient directeur ? C'est juste une erreur de signe, on met la moitié des points.
Ils écrivent une équation d'une droite sans égalité ("$ax + b$") : c'est pas si grave que ça...
Résultat, même les meilleurs de 1S ne comprennent pas que si $(d)$ a pour équation $y = 2x + 3$ ca veut dire que $M \in (d)$ si et seulement s'il existe $x \in \R$ tel que M a pour coordonnées $(x;2x + 3)$.
D'ailleurs : les quantificateurs, les implications et équivalences : pourquoi faire ? presque aucun collègue n'exige cela des élèves. Au vu des rapports du CAPES, ce n'est pas près de s'arranger.
La direction : "La moyenne devrait être à 10" (mot du proviseur à mon égard, sic). S'ils ne se souviennent de rien ? "C'est normal ils sont en train d'apprendre" (proviseur adjoint, ancien prof de maths).
L'inspection : "Ça va les décourager". "Dans ce milleu là (une cité où il y a un collège REP de secteur), 'on marche beaucoup à l'affectif' " : Résultat celui qui a écrit $1/2 + 1/4 - 2/3 = 0/3 = 3$ avait... 18 de moyenne en 3ème.
Ou le pire, devant des copies de 1S où $\frac{2 + \sqrt{8}}{2} = \sqrt{8}$, où $2x = 0$ devient $x = -2$, où $\frac{n-3}{n} + \frac{n-3}{n} \times (-1)$ devient $\frac{n+6}{n}$ puis devient $6$, là il faut bien reconnaître qu'un tel niveau en calcul "oui c'est un problème" : on m'a ajouté cette suite magnifique "mais vous savez, il y a d'autres compétences".
Et le pire c'est que ces énormités ne proviennent pas des plus faibles...
En 1S, j'ai lu dans la moitié des copies que $u_{n+1} = 3/4 u_n$ avec $u_0 = 8$, c'est "une suite arithmétique", j'ai lu que $u_9 = 8 \times (3/4)^9 = 6^9 =$.... $10^{-3}$ (on demandait une valeur à $10^{-3}$ près).
Un équation "quartésienne" d'une droite (de la forme $ax + by + c$, sans égalité) passant par l'origine et $(4,5 :6)$ est devenu... $0 \times x + 0 \times y + 0$ (car il a confondu les coordonnées de l'origine avec un vecteur directeur de la droite.
Certains ont écrit que $2x > 0$ alors que $x$ variait entre $-3$ et $3$, la dérivée de $x^2$ c'est... $4x$ (j'avais 17 de moyenne en seconde), la moitié de ma classe a tracé la tangente demandée "au hasard". Sur la meilleure note de ma classe, il est écrit "une racine carrée est forcément positive donc $\sqrt{f(x)}$ est définie pour $x \geq 0$," alors que $\sqrt{f(x)}$ c'est une distance d'un point $M$ $(x,f(x))$ où un point $A$ donné...
C’est le syndrome de « la bienveillance ».
Dans 95% des collèges de France on impose explicitement ou implicitement de ne plus s’attarder sur le calcul littéral, le calcul avec les fractions, le calcul avec les racines carrées, le calcul avec les puissances. Mais les passages en seconde ont le même taux qu’avant. Parfois c’est même en hausse. Alors la claque du lycée arrive. Et encore. Ce gamin passera en première, voire en S (nouvelle mouture ?).
Bon. J’ai envoyé ce que j’ai pu sans trop détailler. Ça me coûterait de devoir le faire.
Tout ça pour dire que une ou deux heures en plus ne comblerait par le retard accumulé car il faudrait aussi effacer plein de choses.