Loi des grands nombres en 2de

Et on peut même se poser la question du nombre de fois qu'il faudra lancer la pièces « en moyenne » avant d'observer une telle série.

Non, quand on lance 10 000 fois une pièce, on ne peut pas obtenir 99 999 pile.

Je suis plutôt d'accord avec Héhéhé sinon !

Je ne suis pas probabiliste, mais les situations où il n'y a pas un phénomène de type loi des grands nombres doivent être un peu tordues pour un niveau seconde... Donc je le comprends comme ça.

Personellement je le comprends de la manière suivante :
On considère un évènement (mesurable donc) $A \subset \Omega$ et la v.a. associée $X = 1_A$.
La $X$ étant intégrable, la LGN appliquée à une suite de va iid de loi celle de X donne bien que la moyenne empirique (ici donc la fréquence empirique d'obtention de A) tends presque sûrement vers P(A).

Sauf que ici on dit "lorsque n est grand", donc a n fixé. Du coup, pour l'illustrer je prendrais un n raisonnable (par exemple 1000), et répèterais l'expérience un grand nombre de fois, en comptant les occurences où la fréquence empirique n'est pas "proche de la probabilité". En clair je ferais ainsi :
- faire une fonction qui compte la fréquence empirique d'obtenir "Pile" sur 1000 tirages indépendants (pièce équilibrée)
- considérer que p_emp est proche de p_th si |p_emp - p_th| < 0.05 (sauf erreur ça correspond à un peu plus de 3$\sigma/\sqrt{N}$)
- faire une boucle appelant 10 000 calcul de fréquence empirique et observer le nombre de fois où la fréquence empirique est "loin" de la fréquence théorique (on obtient généralement un peu moins de 20 erreurs sur 10 000)
- en cas de temps supplémentaire on peut jouer avec le 0.05 et le n, voir faire un histogramme de p_emp - p_th...

Sans le dire c'est plutôt une illustration du TCL, mais je pense que ça illustre bien l'idée du "sauf exception".

@Dom et héhéhé : sauf erreur de ma part si on estime la proba d'un évènement la LGN s'applique forcément. Pour être hors cadre LGN il faudrait regarder une va non intégrable (style Cauchy) et donc parler de variables aléatoires continues... Ceci dis au lycée on peut proposer une expérience (de pensée) de va de Cauchy : il faut prendre un laser en rotation uniforme et considérer l'absisse du point sur un mur (autrement dis regarder tan(a U).

edit : un lien avec un code illustrant cela https://repl.it/repls/ZigzagBouncyServices

Encore mieux : ils savent déterminer un intervalle de fluctuation. X:-(

Je remets cette vidéo car elle me fait toujours autant rire ou pleurer, selon mon humeur :

Encore mieux : ils savent déterminer un intervalle de fluctuation.

Non, le calculer pour 95% si je ne me trompe pas. Ils ne comprennent pas ce c'est. Pour être honnête - moi non plus. :)o Échantillonnage, intervalle de confiance etc. - pareil.

Ca oui, par contre un intervalle de fluctuation.... pourquoi ne pas dire simplement que pour n répétitions, à condition que n soit au moins 20, la fréquence d'apparition diffère de la probabilité théorique $p$ d'au plus $1/\sqrt{n}$ avec 95% de chances.

Faire comprendre la condition sur $n$, c'est normalement assez intuitif, par contre celle sur $p$... d'ailleurs l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev ne donne aucune contrainte sur $p$.

Oui oui, je répondais surtout à Biely. Pour l'intervalle de fluctuation je suis d'accord : ce ne sont pas des termes que j'utilise, et je préfère remonter au TCL pour avoir le résultat. Ceci dis donner une résultat mathématiquement juste au lycée sur ces sujets c'est franchement complexe. Essayer de faire comprendre des principes, par exemple à l'aide du numérique me semble plus raisonnable. Mais je ne prétends pas avoir de proposition sérieuse sur comment faire comprendre ce genre de chose au niveau lycée... Je faisais juste une proposition pour la question précise "illustrer numériquement la loi des grands nombre et le "sauf exception" du programme.

En fait tout dépend de ce que l'on veut que les élèves, à la fois futurs étudiants en sciences et citoyens sachent. Savoir faire des calculs avec des fractions ou des suites est utile à l'étudiant, moins au citoyen / cadre pour qui il vaut mieux savoir les faires sur Excel... En revanche avoir l'idée qu'un sondage sur 1000 personnes donne une estimation à +/- 3% (avec pour les meilleurs le fait qu'il faille multiplier par 4 l'échantillon pour multiplier par 2 la précision) me semble utile au citoyen et moins à l'étudiant (quoique, si ça peut permettre de commencer à faire rentrer l'idée qu'un résultat physique se donne toujours avec une marge d'erreur ce serait pas mal...).

vorobichek : je l'ai fait l'an dernier et ça passe très bien (avec les meilleurs).