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1/3 n'est pas décimal, nouveau programme

Envoyé par bulledesavon 
1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Bonjour,

Dans le nouveau programme de seconde, on doit prouver que 1/3 n'est pas décimal. Beaucoup de manuel propose la preuve suivante :
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal.
Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.
Comme la somme des chiffres de 10^n est 1 et que 1 n'est pas un multiple de 3, alors 10^n n'est pas un multiple de 3.
Contradiction.
1/3 n'est pas décimal.

Ce qui m'interroge : les élèves de collège connaissent-ils la propriété : "un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3" ?

Merci.
VDM
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Bonjour,
Théoriquement oui, c'est au programme de 6ème.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
avatar
Je lis dans le programme dans le B.O du Bulletin officiel n° 30 du 26-7-2018: "critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ;

Donc, oui.

Sinon pour montrer que 1/3 n'est pas décimal, poser la division devrait convaincre n'importe qui. cool smiley
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Bonjour,
les collégiens ont appris un jour ces critères de divisibilité car c'est effectivement au programme mais une fois le contrôle passé sur ce thème ils ont tout oubliégrinning smiley (encore une fois, merci la calculatrice..)
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Ils la connaissent, mais ils ne l'ont probablement jamais démontrée.
Mais ici je crois qu'il vaut mieux leur faire trouver le reste de la division euclidienne de 10^n par 3.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
@Ludwig
ils sont censés la connaitre, nuance...
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
avatar
Ces élèves sont des insensés malheureusement.
JLT
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
avatar
On peut aussi dire que $10^n=3\times 333\cdots 3+1$ donc $10^n$ n'est pas un multiple de $3$.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
@Ludwig
et comment trouver en démontrant le reste de la division euclidienne de 10^n par 3? Dans ce cas mieux vaut introduire les "modulo" (comme j'ai vu avec horreur dans un exercice de scratch de troisième!) mais alors il faut faire le programme de l'option maths de terminale S actuelle.drinking smiley
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
-Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde mais un raisonnement par contraposition (mais c'est du détail à ce stade certes).
-Plus important: les élèves n'ont pas l'intuition des nombres et des opérations puisque la pratique de la division euclidienne est interdite ($10^n=3\times 3333...33+1$ est intuitif pour quelqu'un qui sait ce qu'est une division euclidienne).

Rappelons que l'une des motivations de la pédagogie contemporaine était de tuer le discours mathématique précis et formel (jugé passéiste, vieillot, fasciste etc) pour mieux cultiver l'intuition des élèves.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Ah, la division euclidienne est interdite ? On en apprend tous les jours !
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Citation
kioups
Ah, la division euclidienne est interdite ? On en apprend tous les jours !
Combien d'élèves de CM2 peuvent trouver de manière systématique le quotient et le reste dans la division euclidienne de
122 par 3?
899 par 57?
4121 par 621?
1006 par 8?
900931 par 42?

On pourrait faire un test national (avec nombres entiers tirés uniformément au hasard dans un intervalle donné).

Quand j'étais à l'école primaire les gens de ma classe d'âge y arrivaient (pas grâce à leurs super pouvoirs ou leur sens de l'effort surhumain, c'est juste que les instits nous exercaient à le faire).



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Foys.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
La division euclidienne est au programme au collège mais ici le souci c'est le 10^n et dans ce cas la touche de la calculatrice ne sera d'aucun secours à l'élève...
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Je ne suis pas PE mais en 6ème, on fait encore des divisions euclidiennes (on emploie même le mot euclidienne).

Je ne connais non plus vraiment d'élèves de CM2 mais ma fille, en CM1, fait régulièrement des divisions euclidiennes (et avec un diviseur à plusieurs chiffres).

Bon, à mon époque, je suis persuadé que même-moi, ça a dû m'arriver de me planter sur une ou deux divisions...
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Citation
Foys
Combien d'élèves de CM2 peuvent trouver de manière systématique le quotient et le reste dans la division euclidienne de
122 par 3?
899 par 57?
4121 par 621?
1006 par 8?
900931 par 42?
37% d'élèves de CM2 en 2017 contre 74% en 1987...
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
D'accord avec Zeitnot, sans intérêt pour un élève de seconde. Il pose la division et il voit le résultat. Il n'en n'est pas à ce stade de l'abstraction ou bien le niveau en maths est tout à coup devenu très élevé sans que je m'en rende compte. C'est marrant on passe toujours d'un extrême à l'autre.

On va se retrouver avec une majorité d'élèves qui pourront montrer que 1/3 n'est pas décimal, mais qui seront incapables d'en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ prèsgrinning smiley


M.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Le problème avec la notion de développement décimal infini est le suivant :
1=0,9999999... Le nombre 1 admet donc un développement décimal infini. Donc ce n'est pas parce que l'on trouve un développement décimal infini d'un nombre que celui-ci est décimal.
Après je me demande si les élèves de seconde savent toujours poser une division étant donné qu'ils ne le font plus depuis la primaire, non ?
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Foys : la preuve telle qu'elle est rédigée est une démonstration par l'absurde.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
@bulledesavon: peux-tu fournir deux nombres entiers $a,b$ avec $b$ non nul, tels qu'à partir d'une certaine étape, tous les chiffres du développement décimal de $\frac{a}{b}$ obtenus par l'algorithme de division euclidienne sont égaux à $9$?
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Je n'ai jamais parlé de division euclidienne.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Citation
bulledesavon
Foys : la preuve telle qu'elle est rédigée est une démonstration par l'absurde.
Non.
$B \implies (A \implies \neg B) \implies \neg A$ est un théorème intuitionniste ($A,B$ étant n'importe quels énoncés, par exempe $A$:= 10 est un multiple de 3 et $B$:= 1 n'est pas un multiple de 3).
le fait que $3$ ne divise pas $10^n$ est un théorème intuitionniste. La preuve via le critère de divisibilité est faisable en COQ.

Un raisonnement par l'absurde fait intervenir quelque chose comme $B \implies (\neg A \implies \neg B) \implies A$.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
avatar
Bulledesavon, qu'elle est ta définition de développement décimal d'un nombre ? Avec la "mienne", 0.999999.... n'est pas un développement pas décimal de 1.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par zeitnot.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
@bulledesavon: exact, de toute façon ce genre de question n'a aucun sens à ce niveau, étant donné que les élèves n'ont pas de définition des réels. J'ai regardé le programme je n'ai pas trouvé une telle imbécillité, est-ce que j'ai mal regardé? On ferait mieux de leur apprendre un peu de géométrie à ces gamins plutôt que de les embêter avec des imbécilités mais quand je lis quelque chose comme
"Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O, I, J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O."
ou encore
« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel."
les bras m'en tombent. Comme disait Weil des épigones de Bourbaki.

M.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Comment définis-tu un repère orthonormé niveau lycée alors Mauricio ?
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Bon,

On a parlé de développement décimal (c’est plutôt la suite des chiffres dans ma sémantique, ainsi celui de 1/3 est plutôt la suite dont le premier terme est 0 et constante égale à 3 à partir du rang 1).

Parlons de l’écriture décimale.

Si 1/3 est décimal, alors puisqu’il n’est pas nul, il existe une écriture décimale de 1/3 (composée des chiffres de 0 à 9) telle qu’à partir d’un certain rang ce ne sont que des zéros. Considérons le dernier chiffre non nul. Notons-le $d$.
En posant l’addition $1/3+1/3+1/3$ on en déduit : $3\times d=0$.

La seule possibilité est que $d$ soit le chiffre zéro.

Pas de division.

Remarque : on n’utilise pas la propriété « du produit nul » mais on teste chaque chiffre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Remarque :
Le même raisonnement montre que $\sqrt{2}$ n’est pas décimal.
C’est faisable en 6e (éventuellement en ne disant pas « racine carrée » si ça fait peur).
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Je me demande pourquoi on insiste avec cette histoire de développement décimal infini, la phrase "1/3 n'est pas un nombre décimal" n'y fait pas référence (un nombre réel $t$ est décimal s'il existe deux entiers relatifs $p,q$ tels que $t=p\times 10^q$).
Et puis avec presque aucune mauvaise foi, $1.0000000000\ldots$ est un développement décimal infini.
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
J’y vois une confusion avec l’écriture décimale (propre) d’un nombre décimal qui utilise un nombre fini de symboles.

Dans ma sémantique :
Le nombre "un" a pour développement décimal, la suite $u_0=1$ puis pour tout $n$ naturel non nul, $u_n=0$.
Le nombre "un" a plusieurs écritures décimales : 1 ; 1,00 ; 1,0000 ; 1,0000-que des zéros ; 0,999-que des neuf.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
@Héhéhé: C'est un peu difficile à expliquer dans le détail en quelques lignes, ce sont plusieurs années de travail tout s'enchaîne en géométrie, il faut reprendre tout à zéro. Je sortirai le livre de géométrie bientôt, tu pourras voir plus en détail si tu le souhaites. Enfin surtout j'évite définir des objets à partir d'objets qui eux-mêmes n'ont jamais été défini et qui sont tout aussi complexe que l'objet à définir!

Cette définition est un peu comme ça:

SGANARELLE, se tournant vers la malade.- Donnez-moi votre bras. Voilà un pouls qui marque que votre fille est muette.
GÉRONTE.- Eh ! oui, Monsieur, c’est là son mal : vous l’avez trouvé tout du premier coup.
SGANARELLE.- Ah, ah.
JACQUELINE.- Voyez, comme il a deviné sa maladie.
SGANARELLE.- Nous autres grands médecins, nous connaissons d’abord les choses. Un ignorant aurait été embarrassé, et vous eût été dire : "C’est ceci, c’est cela" : mais moi, je touche au but du premier coup, et je vous apprends que votre fille est muette.
GÉRONTE.- Oui, mais je voudrais bien que vous me pussiez dire d’où cela vient.
SGANARELLE.- Il n’est rien plus aisé Cela vient de ce qu’elle a perdu la parole.
GÉRONTE.- Fort bien : mais la cause, s’il vous plaît, qui fait qu’elle a perdu la parole ?
SGANARELLE.- Tous nos meilleurs auteurs vous diront que c’est l’empêchement de l’action de sa langue.
GÉRONTE.- Mais, encore, vos sentiments sur cet empêchement de l’action de sa langue ?
SGANARELLE.- Aristote là-dessus dit... de fort belles choses.

winking smiley
M.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
avatar
En multipliant un nombre décimal $n$ par 3, on obtient un autre
nombre décimal qui a le même nombre de décimales que $n$.

(Si $n$ se termine par 1, $3n$ se termine par 3,
Si $n$ se termine par 2, $3n$ se termine par 6, etc.)

Aucune de ces multiplication ne peut donner 1 comme résultat.

Donc...
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Citation
Mauricio
C'est un peu difficile à expliquer dans le détail en quelques lignes, ce sont plusieurs années de travail tout s'enchaîne en géométrie, il faut reprendre tout à zéro. Je sortirai le livre de géométrie bientôt, tu pourras voir plus en détail si tu le souhaites. Enfin surtout j'évite définir des objets à partir d'objets qui eux-mêmes n'ont jamais été défini et qui sont tout aussi complexe que l'objet à définir!
Oui, cela dit à un moment ou un autre on tombe sur des notions premières.

Citation
Héhéhé
"Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O, I, J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O."
On n'a pas dit ce qu'était un triangle rectangle isocèle aux élèves avant? Si c'est le cas, à part le fait que l'auteur de la citation aurait plutôt dû dire quelque chose comme "formant les sommets d'un triangle ..." je ne vois pas où est le problème.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Foys.
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
N’est-ce pas, cher Soland, le raisonnement que je donne plus haut ?

Aussi, pour moi, le nombre de décimales de n’importe quel réel n’est pas fini.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
avatar
Très cetainement, excuse-moi.
Je ne lis pas toujours tous les posts précédents.

Je rends donc à César ce raisonnement,
le plus simple dans ce contexte.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Mauricio on est d'accord qu'il y a des raisonnements circulaires et des trous dans la géométrie au collège/lycée, mais je ne vois toujours pas le problème avec cette définition précise. J'attends toujours ta définition d'un repère orthonormé que tu donnerais en seconde.
JLT
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
avatar
On n'utilise plus la définition de repère orthonormé avec des vecteurs ? Pourquoi ?
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Parce qu'en général on fait le chapitre sur la géométrie repérée (essentiellement des calculs de distance et de milieux) bien avant le chapitre sur les vecteurs.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Pour le problème avec 0,9999...., je l'ai lu dans le document ci-joint.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - nombre_un_tiers_differenciation.pdf (582 KB)
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Je ne sais pas quelle est la définition d'écriture décimale.
Sur réseau canopé on parle d'écriture décimale à partir de fraction décimale. Autrement dit 3,2 est l'écriture décimale de la fraction décimale 32/10.
Mais peut-on dire que 3,19999... est une autre écriture décimale de 32/10 ?
Evidemment que l'on ne parlera pas volontairement de cela à des élèves de seconde mais rien n'interdit d'avoir un élève curieux qui pose une telle question et rien n'interdit d'y réfléchir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par bulledesavon.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Foys : je ne comprends pas ce que vous dîtes.
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
On-dit souvent « l’écriture décimale » alors qu’il en existe une infinité.
Celle « bizarre » des nombres décimaux s’appelle parfois écriture décimale impropre.
Le plus souvent c’est plutôt un développement décimal impropre.

C’est une histoire de bijection.

À chaque réel on associe un développement décimal qui est une suite de chiffres (sauf le premier terme qui est la partie entière à l’usage). Mais ce n’est pas bijectif.
A chaque développement décimal on peut associer un réel.

Si on se restreint aux nombres non décimaux (sauf qu’on garde 0), on a une bijection.
Si on regarde les décimaux (non nuls), on a deux développements décimaux possibles.

Ceci n’est pas la faute du nombre dix.
Dans toutes bases on a des « décimaux » (généralisés).
Par exemple, en base deux :
0,11111111.... est le nombre 1.
En base trois, 0,222222..... est le nombre 1.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
(digression)
@bulledesavon, s'il sagit de ma remarque sur le raisonnement par l'absurde (dont je reconnais qu'elle est HS, au pire consulter la rubrique logique du site ou wikipédia à l'entrée "logiqie intuitionniste"), c'est parce qu'on a découvert au XXe siècle que les deux règles "(1)si X est fausse alors (non X)" et "(2) si (non X) est fausse alors X" ne sont pas les mêmes. C'est la seconde qui porte le nom de raisonnement par l'absurde. C'est la première (contraposition) qui est mise a contribution dans le fil pour montrer que 10/3 n'est pas décimal. Il existe un ensemble de règles de raisonnement appelé "logique intuitionniste" qui admet la première mais pas la seconde (la négation n'y est plus involutive: on ne peut plus assimiler "non non X" à X). C'est hallucinant de prime abord mais l'intention de départ était de prendre acte d'un certain manque d'information lors d'un raisonnement (on annonce "Trump sera président des US une deuxième fois ou ne le sera pas", sans savoir laquelle des deux alternatives a lieu; la LI rejette typiquement les énoncés comme "Y ou (non Y)" sauf si l'une des deux affirmations est prouvée).



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Foys.
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Dans la même digression :
Autrement dit, la majorité des expressions « raisonnement par l’absurde » sont utilisées de manière erronée.
J’y vois un problème avec le langage courant « c’est absurde ».

On m’avait dit naïvement, en DEUG 1ère année (actuelle L1) : « on suppose le contraire (la négation) et on en déduit une contradiction ».
Je n’avais pas de cours de logique mais juste les tables de vérités du non/ou/et/implique.
Tout ça pour dire que personne ne m’avait raconté, à l’époque, que La Logique était une discipline à part entière et que cela continue encore aujourd'hui.

Édit : j’ai oublié l’essentiel
On avait comme admis : pour tout A, non(non(A))=A
Et je crois aussi, mais peut-être implicitement, « pour tout A, A est vraie ou A est fausse ».
Je mets des guillemets car je ne me souviens pas l’avoir vu écrit.
Fin de la digression.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Dans tous mes cours de fac, non(non A)=A et tout raisonnement du type "on suppose A .... contradiction" était nommé raisonnement par l'absurde.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
C'est également ce que l'on enseigne au lycée.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
@bulledesavon, il n'y a pas un logicien professionnel qui va être d'accord avec ça. Tu peux consulter "Introduction à la logique" de R.David, K.Nour, C.Raffalli pour un exposé pédagogique. Quant à la littérature de Lycée, elle est très peu fiable sur ces sujets.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Foys.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Bulledesavon,

ne t'inquiète pas de cela, la très grande majorité des mathématiciens et utilisateurs des mathématiques ne se sert que de la logique classique, avec non(non A)=A et appelle démonstration par l'absurde ce qui n'en est pas une pour les logiciens. Mais le nom n'a pas d'importance, ce qui compte est de raisonner juste. Dans les domaines où la logique intuitionniste est nécessaire (certaines parties de l'info, si j'ai bien compris, et évidemment en logique), on fera les distingos nécessaires.

Cordialement.
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Pas de souci, Soland.
Au plaisir.
Dom
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Raisonnement par contraposée:
Si A implique B, alors la négation de B implique la négation de A.
On a donc une relation d'implication.
Ex: si je sais, alors je réponds. Donc si je ne réponds pas, c'est que je ne sais pas.
Cela n'empêche pas que je réponde sans savoir. La preuve.cool smiley


Raisonnement par l'absurde:
Pour montrer Non B on suppose B vraie et on arrive à une absurdité qui oblige alors à rejeter l'hypothèse Non B. En fait, on utilise la contraposée pour montrer non A.
Ex: $ \sqrt 2 $ est irrationnel.

Mais est-ce que Non (Non B) = B? Le complémentaire du complémentaire est le complémentaire, et pourtant, selon certains, cela dépend de la nature de B.

Sous prétexte de partager l'immense plaisir que j'ai pris à écouter Claude Lobry il y a un mois, je vais faire semblant de m'y connaitre (je suis justement aller lui poser la question à la pause).

Les constructivistes ne nient pas le bien fondé du raisonnement par l'absurde, ils nient la légitimité des preuves d'existence se fondant sur le raisonnement par l'absurde.

Autrement dit on peut envisager une autre possibilité que $\exists f$ et $\not\exists f$. Ici, la question n'est pas une question d'existence, et donc le raisonnement par l'absurde n'est pas illégitime (selon les constructivistes).


EDIT : je me rends compte que je n'ai aucune idée d'une éventuelle différence entre intuitionniste et constructiviste.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chelito.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Comme cette question est remise au goût du jour via l'autre post, je mets ci-dessous pour les curieux une preuve en COQ du fait que 3 ne divise pas les puissances entières de 10. Le code fait 200 lignes en partant de rien. Toute amélioration est la bienvenue.

NB COQ est intuitionniste. Aucun raisonnement par l'absurde n'est utilisé.
(* 10/06/2019
ce code compile avec COQ 8.7*)

Definition divise (a b:nat):= exists n:nat, b = a * n.

Notation "a | b" := (divise a b) (at level 51).

Lemma asso_somme: forall (p q r:nat), (p + q) + r = p + (q + r).
Proof.
  induction p.
  intros.
  simpl.
  reflexivity.
  intros.
  simpl.
  apply eq_S.
  apply IHp.
Qed.

Lemma commute: forall x y:nat, x+y = y+x.
Proof.
  induction x.
  intros.
  simpl.
  apply plus_n_O.
  intros.
  rewrite <- plus_n_Sm.
  simpl.
  apply eq_S.
  apply IHx.
Qed.

Lemma distrib: forall p q r:nat, (p+q)*r = (p*r) + (q*r).
  induction p.
  intros.
  simpl.
  reflexivity.
  intros.
  simpl.
  rewrite IHp.
  simpl.
  rewrite asso_somme.
  reflexivity.
Qed.

Lemma asso_prod: forall x y z:nat, (x * y) * z = x * (y * z).
Proof.
  induction x.
  intros.
  simpl.
  reflexivity.
  intros.
  simpl.
  rewrite <-IHx.
  apply distrib.
Qed.

Lemma addition_reguliere: forall x y z:nat, (x+y) = (x+z) -> y = z.
Proof.
  induction x.
  intro.
  intro.
  simpl.
  intro.
  assumption.
  intro.
  intro.
  simpl.
  intro.
  apply IHx.
  apply eq_add_S.
  assumption.
Qed.

Lemma somme_nulle: forall x y:nat, x+y = 0 -> (x = 0 /\ y = 0).
  intros.
  destruct x.
  destruct y.
  split.
  reflexivity.
  reflexivity.
  simpl in H.
  absurd (S y = 0).
  discriminate.
  assumption.
  simpl in H.
  absurd (S (x+y) = 0).
  discriminate.
  assumption.
Qed.

Lemma divise_difference: forall n m k:nat, k | m -> k | m + n -> k | n.
Proof.
  assert ( forall n m k a:nat, (k*a+m = k*n -> exists b:nat, m = k*b)) as L.
  induction n.
  intros.
  rewrite <-mult_n_O in H.
  assert (k*a = 0 /\ m = 0).
  apply somme_nulle.
  assumption.
  exists 0.
  rewrite <- mult_n_O.
  apply H0.
  intros.
  destruct a.
  rewrite <- mult_n_O in H.
  simpl in H.
  exists (S n).
  assumption.
  rewrite <- mult_n_Sm in H.
  rewrite <- mult_n_Sm in H.
  simpl in H.
  apply IHn with (a:=a).
  apply addition_reguliere with (x:=k).
  apply eq_trans with (y := (k + k*a) + m).
  apply eq_sym.
  apply asso_somme.
  rewrite commute with (x:=k) (y:= k*a).
  rewrite <- commute with (x:=k*n) (y:=k).
  assumption.
  intros.
  destruct H as (a,Ha).
  destruct H0 as (p,Hp).
  rewrite Ha in Hp.
  apply L with (a:=a) (n:=p).
  assumption.
Qed.
  
Lemma neuf: forall (n:nat), 3*(3*n) + n = 10 * n.
Proof.
  intros.
  assert (forall n:nat,1*n = n) as L.
  intros.
  simpl.
  rewrite <- plus_n_O.
  reflexivity.
  rewrite <- asso_prod.
  apply eq_trans with (y:=3 * 3 * n + 1 * n).
  rewrite L.
  reflexivity.
  rewrite <- distrib.
  simpl.
  reflexivity.
Qed.

Lemma power10: forall n:nat, 3 * (3 * (Nat.pow 10 n)) + (Nat.pow 10 n) = Nat.pow 10 (S n). 
Proof.
  intros.
  apply neuf.
Qed.

Lemma division_par_3_10pn: forall n:nat,
    (3 | Nat.pow 10 (S n)) ->  (3 | Nat.pow 10 n).
Proof.
  intro.
  rewrite <- power10.
  apply divise_difference.
  exists (3* Nat.pow 10 n).
  reflexivity.
Qed.

Lemma trois_un: ~(3 | 1).
Proof.
  assert (forall n:nat, exists m:nat, 3 * (S n) = S (S m)) as L.
  induction n.
  exists 1.
  reflexivity.
  destruct IHn as (k,Hk).
  exists (3 + k).
  rewrite <-mult_n_Sm.
  rewrite Hk.
  rewrite commute with (x:= S (S k)) (y := 3).
  reflexivity.
  intro.
  destruct H as (d,Hd).
  apply eq_sym in Hd.  
  destruct d.
  absurd (3 * 0 = 1).
  discriminate.
  assumption.
  destruct L with (n:=d).
  rewrite H in Hd.
  absurd ((S x) = 0).
  discriminate.
  apply eq_add_S.
  assumption.
Qed.

Theorem trois_ne_divise_pas_les_puissances_entieres_de_dix:
  forall n:nat, ~(3 | Nat.pow 10 n).
Proof.
  induction n.
  simpl.
  apply trois_un.
  intro.
  apply IHn.
  apply division_par_3_10pn.
  assumption.
Qed.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: 1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
l’an passé
Citation
Chelito
EDIT : je me rends compte que je n'ai aucune idée d'une éventuelle différence entre intuitionniste et constructiviste.
C'est pratiquement la même chose.

Prenons les suites des chiffres après la virgule de $\pi$ en base $10$: $(d_n)_{n\in \N}$, et en base $2$:
$(b_k)_{k\in \N}$. Par exemple les 30 premiers termes de $(b_k)_{k\in \N}$ sont (cf par exemple [www.brouty.fr])
$$0010010000 1111110110 1010100010\ldots$$
$(d_n)_{n\in \N}=1415926...$ est plus connue.
Considérons les questions suivantes:

I.1°) Est-ce que l'un des deux chiffres $0$ ou $1$ apparaît une infinité de fois dans la suite $(b_k)_{k\in \N}$ ?
I.2°) Peut-on choisir un des deux chiffres $0$ ou $1$, et prouver que ce chiffre apparaît une infinité de fois dans ladite suite?
(en gros: donner explicitement un exemple de ce qui est annoncé dans la question I.1°)

Et leur analogue pour la base 10.
II.1°) Est-ce que l'un des chiffres de $0$ à $9$ apparaît une infinité de fois dans la suite $(d_k)_{k\in \N}$ ?
II.2°) Peut-on choisir un des dix chiffres de $0$ à $9$, et prouver que ce chiffre apparaît une infinité de fois dans ladite suite?
(en gros: donner explicitement un exemple de ce qui est annoncé dans la question II.1°)


La réponse à la question I.1°) est évidemment oui. Car (par exemple) si ce n'est pas vrai, alors l'ensemble $E_0$ des $n$ tels que $b_n=0$ et l'ensemble $E_1$ des $m\in \N$ tels que $b_m=1$ sont finis. Et alors $\N=E_0\cup E_1$ est fini, ce qui est faux. Donc on a une contradiction et la réponse à I.1°) est affirmative. II.1°) se traite exactement de la même façon.

Quid des autres questions?
Pour I.2°) en fait $0$ et $1$ apparaissent tous deux une infinité de fois parce que $\pi$ est irrationnel (il s'écrirait $a/2^b$ avec $a,b$ entiers sinon. Pour le cas de $0$, songer que $0.001=0.00011111111111\ldots$ -avec une infinité de "$1$" en base $2$).
Bref I.2°) se résout mais en faisant appel à un résultat non trivial (l'irrationnalité de $\pi$)

Quant à II.2°) Cette question est incomparablement plus difficile que les autres. En fait sauf erreur il s'agit d'un problème ouvert qu'on ne sait pas aborder.

Qu'est-ce qu'un raisonnement par l'absurde? C'est un raisonnement qui a la forme suivante: on a une affirmation $\bf A$ que l'on veut montrer, on commence par supposer que $\bf A$ est fausse (i.e. on suppose $\neg \mathbf A$) et on aboutit à une contradiction.
Les raisonnements servant à répondre aux questions I.2°) et II.2°) sont des raisonnements par l'absurde.

Qu'est-ce qu'un raisonnement par contraposition? Encore une forme de raisonnement, cette fois on a deux affirmations $\mathbf A,\mathbf B$ et on souhaite montrer que la négation de $\bf B$ entraîne la négation de $\bf A$ (i.e.l'implication $\neg \mathbf B \Rightarrow \neg \mathbf A$). La contraposition consiste pour cela à supposer $\bf A$ et à en déduire $\bf B$ (autrement dit à prouver $\mathbf A \Rightarrow \mathbf B$)
Le but est souvent d'établir qu'en fait $\mathbf A$ est fausse en s'appuyant sur un $\mathbf B$ dont il est connu (ou au moins facilement prouvable) qu'il est faux. Un exemple de ça est quand vous montrez que $100$ n'est pas un multiple de $3$ ($\neg \bf A$). Vous supposez qu'il l'est $(\bf A)$et au bout du compte arrivez à "$1$ est un multplie de $3$" $(\bf B)$.
Le raisonnement par contraposition est compatible avec les exigences de l'intuitionnisme.

Ce qu'a montré la découverte de l'intuitionnisme est qu'il existait une dissymétrie entre $A$ et $\neg \neg A$ et que la logique classique masquait la différence potentiellement énorme entre montrer qu'une chose existe (sans quoi il y aurait une contradiction) et exhiber vraiment cette chose (si vous laissez votre vtt dans la rue pour aller à l'épicerie et que vous découvrez à votre retour l'antivol scié et le vélo disparu, vous allez conclure "il existe un coupable", savoir qui est une autre histoire).

La différence entre contraposition et raisonnement par l'absurde disparaît d'ailleurs en logique classique, surtout si les connecteurs sont définis à partir d'autres ($X\Rightarrow Y$ et $\neg X \vee Y$ ne sont pas équivalents en logique intuitionniste).



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