Démontrer que...
Quand on fait des maths, que ce soit avant le bac où après, la plupart des exercices se présentent comme une suite de questions "démontrer que [un résultat]".
Ça permet de voir d'une part si l'élève/l'étudiant maîtrise les "mécaniques" d'une démonstration : poser des hypothèses, fouiller parmi les résultats de son cours si l'un d'entre eux résout le problème (et si oui, comment), etc. Par contre, à chaque fois, le résultat à obtenir est donné. Et pour moi, faire ça, ça détruit une partie du travail de recherche.
Par exemple, si on demande de démontrer la formule du binôme de Newton, classique : on part des identités remarquables avec l'exposant $2$, puis on fait un raisonnement par récurrence. Mais ce raisonnement par récurrence est énormément simplifié par le fait qu'on connaît la formule qu'on veut établir... si on n'avait pas connaissance de cette formule, donc si la question était "y a-t-il une formule pour le développement de $(a+b)^n$ quel que soit $n$ ?" au lieu de "montrer que la formule pour $(a+b)^n$ est [...]", l'exercice serait beaucoup plus difficile.
Et ça, je trouve que c'est dommage, que c'est un problème, même. Peut-être pas jusqu'au bac, parce qu'il y a plein de lycéens qui doivent suivre des cours de maths alors qu'ils veulent faire quelque chose de complètement non matheux après. Mais au cours de ma formation, je trouve que je n'ai pas vraiment été formé à faire de la recherche en mathématiques "par moi-même". Dans le sens où, si quelque chose m'intéressait, et que personne n'a encore résolu la question (donc : si je ne pouvais pas me contenter d'essayer de comprendre le travail de recherche de quelqu'un d'autre), je ne saurais pas trop comment attaquer la question.
Les gens ici qui font/ont fait de la recherche en maths... comment faites-vous pour tenter de répondre à une question dont vous n'avez pas le résultat exact déjà disponible ? Vous essayez 150 pistes différentes avec tout ce que vous savez, ou vous avez une méthode pour vous "guider" ?
Par exemple, moi une fois, j'ai fait un travail "de recherche" sur les représentations irréductibles de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_q)$. Sans le bouquin que j'avais, sans un prof référent, si mon travail ça aurait été de trouver la liste entière des représentations irréductibles de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ tout seul, je ne sais pas combien de temps ça m'aurait pris... en supposant que j'y serais arrivé, déjà.
Ça permet de voir d'une part si l'élève/l'étudiant maîtrise les "mécaniques" d'une démonstration : poser des hypothèses, fouiller parmi les résultats de son cours si l'un d'entre eux résout le problème (et si oui, comment), etc. Par contre, à chaque fois, le résultat à obtenir est donné. Et pour moi, faire ça, ça détruit une partie du travail de recherche.
Par exemple, si on demande de démontrer la formule du binôme de Newton, classique : on part des identités remarquables avec l'exposant $2$, puis on fait un raisonnement par récurrence. Mais ce raisonnement par récurrence est énormément simplifié par le fait qu'on connaît la formule qu'on veut établir... si on n'avait pas connaissance de cette formule, donc si la question était "y a-t-il une formule pour le développement de $(a+b)^n$ quel que soit $n$ ?" au lieu de "montrer que la formule pour $(a+b)^n$ est [...]", l'exercice serait beaucoup plus difficile.
Et ça, je trouve que c'est dommage, que c'est un problème, même. Peut-être pas jusqu'au bac, parce qu'il y a plein de lycéens qui doivent suivre des cours de maths alors qu'ils veulent faire quelque chose de complètement non matheux après. Mais au cours de ma formation, je trouve que je n'ai pas vraiment été formé à faire de la recherche en mathématiques "par moi-même". Dans le sens où, si quelque chose m'intéressait, et que personne n'a encore résolu la question (donc : si je ne pouvais pas me contenter d'essayer de comprendre le travail de recherche de quelqu'un d'autre), je ne saurais pas trop comment attaquer la question.
Les gens ici qui font/ont fait de la recherche en maths... comment faites-vous pour tenter de répondre à une question dont vous n'avez pas le résultat exact déjà disponible ? Vous essayez 150 pistes différentes avec tout ce que vous savez, ou vous avez une méthode pour vous "guider" ?
Par exemple, moi une fois, j'ai fait un travail "de recherche" sur les représentations irréductibles de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_q)$. Sans le bouquin que j'avais, sans un prof référent, si mon travail ça aurait été de trouver la liste entière des représentations irréductibles de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ tout seul, je ne sais pas combien de temps ça m'aurait pris... en supposant que j'y serais arrivé, déjà.
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Réponses
P.S. vu que l’enseignement de physique/chimie est devenu littéraire au collège/lycée, faut-il parler de physique de “mamie” ? (:P)
En général, j'apprends le mieux en répondant à la question "comment enseigner ça à un néophyte", d'où la manière dont j'ai posé la question ici. Je me demande de quoi un lycéen aurait besoin pour établir par exemple la formule du binôme (par récurrence, certes, mais il faudrait aussi l'initier au symbole somme, aux coefficients binomiaux etc, en amont) sans qu'on la lui donne. Du genre, "développer $(a+b)^n$ pour $n=2,3,4$, puis chercher une formule générale pour le développement de $(a+b)^n$ pour tout entier $n$ (on procèdera par récurrence)."
J'ai beau avoir eu entre 18 et 20 de moyenne en maths jusqu'au bac, avec seulement ça comme indices, à l'époque je ne sais pas si j'aurais réussi à trouver quoi que ce soit. Et typiquement, les raisonnements par récurrence, c'est encore asse simple : on voit qu'on a une propriété à démontrer "pour tout $n$" (ça c'est le trigger de la récurrence), on regarde un peu ce qu'il se passe au début, on fait une conjecture, on la teste. Pour un truc qui ne se démontre pas par récurrence (comme mon truc sur les représentations, où il faut juste fouiller jusqu'à trouver une des idées qui fait avancer le truc), je me sens beaucoup plus rapidement démuni.
J'ai pris cet exemple-là parce que c'est un cas extrême, démarrer une nouvelle théorie. J'aurais pu prendre Galois ou d'autres... Mais juste creuser une question, dont on ne connaît pas le résultat (plutôt : dont le résultat n'est pas connu du tout), même sans que ça aboutisse à une théorie nouvelle ou un théorème profond, ça me paraît vraiment difficile à faire, c'est ça qui m'intéresse. Apprendre à rechercher, en gros.
l'esprit de recherche est très lié à l'envie de "trouver seul". Je l'avais dans mon jeune temps, par exemple quand j'ai voulu trouver en troisième comment écrire simplement la somme des n premiers entiers. Cependant, pour que ce soit efficace il faut avoir une technique suffisante (je l'avais) pour prouver, et parfois aussi des idées élégantes (je n'ai pas eu tout à fait l'idée de Gauss -qui était plus jeune-, j'ai fait une grosse démonstration, avec 2 cas). Il y a aussi une part d'idées personnelles dans le fait de trouver une nouvelle preuve.
Donc on ne peut pas séparer la technique "démontrer" du reste. Après, si on n'a pas d'idées, on ne fera pas non plus de démonstrations (Erdös demandait des choses à prouver à tout le monde - On lui en donnait car il trouvait des preuves là où les autres avaient bloqué).
D'autres lectures sur le "comment ils ont trouvé" :
* La correspondance Lebesgue-Borel : "Les lendemains de l'intégrale"
* Les textes où Poincaré explique son cheminement de pensée
* L'autobiographie de Schwartz : "Un mathématicien aux prises avec le siècle"
Mais j'ai remarqué que ceux qui font de la recherche efficace ne passent beaucoup de temps sur cette question.
Cordialement.
Faire ça, ça ressemble à ce qu'on fait en cours de maths, sauf qu'en cours de maths on a une idée des connaissances qui vont servir à résoudre le problème. Sans ça, il faut juste... chercher lesquelles servent.
Et il n'y a aucune technique pour devenir un grand découvreur.
i) L'aspect de se confronter à une nouvelle théorie : on lit, on fait des exercices (qui sont parfois des théorèmes) pour bien comprendre les mecanismes techniques en oeuvre et mieux comprendre les notions développées.
ii) L'aspect de répondre à des questions "ouvertes" de la théorie : c'est là qu'il faut se documenter pour voir ce qu'il se fait car on répond rarement à des questions ouvertes depuis longtemps comme ça par miracle (c'est même si tu y arrives une fois dans ta vie un exploit remarquable, c'est pour dire!) mais aussi (et surtout!) pour voir comment traiter des problèmes intéressants en relation avec des thèmes importants (c'est là que l'expérience intervient et que la communication avec les autres peuvent aider!).
Ton goût pour certains thèmes peut t'inciter à regarder certains types de problèmes, bien entendu.
Je ne sais pas si ça va t'éclairer, mais sans révéler les détails, voici le processus de ce sur quoi je travaille actuellement. Nous avons eu l'idée, avec mon co-auteur, de matcher deux choses ensemble, ce qui n'a pas encore été fait (sauf si on a loupé quelque chose dans l'étude bibliographique). Cela n'apportera pas de grand théorème, mais tout de même quelques résultats nouveaux et surtout une lecture plus aisée d'une problématique complexe. Donc là le but n'est pas de démontrer un résultat en particulier, mais de "promouvoir" une idée nouvelle pour aborder une problématique, et donc de l'illustrer par des exemples pertinents. A notre stade, on sait que la méthode fonctionne, puisque nous l'avons déjà testée sur des exemples "simples" mais déjà pas complètement dénués d'intérêt. Afin de montrer sa puissance, nous aimerions la mettre en oeuvre dans des situations plus complexes. A ce stade, j'ai besoin de savoir si un énoncé est vrai ou non (là pour le coup je ne le sais pas !). Si celui-ci est vrai, la méthode fonctionnerait quasiment en toute généralité ("non pathologique"). La difficulté est que ni moi ni mon co-auteur ne sommes vraiment compétents dans la théorie utile. On en connaît les bases, mais pas tous les raffinements qu'aurait un spécialiste. La lecture de la littérature nous fait penser que cet énoncé, bien qu'il soit simple et naturel, n'est pas encore connu. Je suis donc soumis à chercher si le résultat est vrai ou faux (moi je pense à 90% qu'il est vrai et que la démonstration est à notre portée, je doute qu'elle soit compliquée), et à en chercher la démonstration, par lecture de choses proches et surtout par réflexions personnelles ex-nihilo. A ce stade, je n'ai aucun contre-exemple, et à plusieurs reprises j'ai pensé avoir démontré le résultat, mais à chaque fois une faille plus ou moins microscopique bloquait ... Si on échoue, une autre piste serait, au lieu de démontrer le résultat en situation générale, de le faire sur un problème particulier mais déjà suffisamment intéressant. Là j'ai une idée bien spécifique, et pour celui-ci je dispose d'autres pistes (techniques complètement différentes d'ailleurs, mais là je dois me documenter, heureusement si on va vers cette piste mon co-auteur connaît un peu les outils). C'est l'unique chose qui occupe mon esprit en recherche depuis 3 mois déjà, mais c'est vrai que davantage passionné par l'enseignement je n'y consacre sans doute pas tout le temps, toute l'énergie, que ce problème mériterait pour quelqu'un qui a un niveau modeste comme le mien (je suis presque certain que quand on aura trouvé, je m'écrirai "putain, c'est galéré plusieurs mois là dessus, c'est du niveau L3" !!!)
En gros, quand vous faites de la recherche, vous faites un peu comme un étudiant : vous cherchez ce qui existe déjà et qui se rapproche de ce sur quoi vous travaillez, vous vous exercez pour comprendre les rouages de la théorie en question, et après vous ne pouvez littéralement plus qu'essayer les idées qui vous viennent.
Ça va, j'ai appris à faire ces choses-là... avec un peu plus d'aisance dans les mathématiques "de base" (disons, avec une agrégation en poche), je pense que je serai capable de faire ça, moi aussi :-)
Finalement si je regarde mes deux théorèmes les plus importants de mon point de vue, j'en ai démontré un en dormant (il me hantait l'esprit depuis 3 ans), et quant à l'autre sa démonstration est très élémentaire, mais il a fallu réfléchir très longtemps dessus pour s'en rendre compte. Le deuxième théorème n'était connu qu'en linéaire, tout le monde le pensait faux en non linéaire, et on a démontré qu'il était vrai dès que l'on fait les hypothèses assurant que les choses aient "raisonnablement" un sens. On a aussi réfléchi très longtemps sur ce problème, mais après avoir défini les outils et techniques adéquates, l'argument de la démonstration est en gros niveau L1 ! Ces deux choses pour te dire que l'aspect pugnacité est essentiel pour progresser ...
Il ne me semble cependant pas indispensable d'avoir un niveau académique top partout (l'avantage de l'agrég c'est qu'elle te donnera un socle de connaissances généralistes). Et il me semble qu'à moins de t'attaquer à des problèmes majeurs sur lesquels beaucoup de chercheurs planchent depuis de nombreuses années, avec des idées, de l'autonomie et de la pugnacité on peut arriver à faire des choses nouvelles et intéressantes, même sans avoir un niveau exceptionnel.
Je pense que ce n'est pas vrai du tout, au moins dans la fac où j'enseigne. Je trouve des "effectuer", "résoudre", "calculer", "trouver", et le sempiternel "donner l'ensemble de définition" et très, très peu de "démontrer que".
D'accord, mais je ne crois pas que les exercices doivent être du "travail de recherche".
L'exercice serait surtout très mal posé. "Développement" ne veut rien dire, et on ne saurait pas quelle note donner à une personne qui répondrait $(a+b)^n$.
Je déclare d'emblée : mes intentions sont purement pédagogiques ; je précise que toutes les affirmations que je fais dans la suite du message sont des opinions.
Les raisons de l'échec assez massif dans les études de maths à l'université est que les étudiants et étudiantes ne savent pas ce que veut dire "démontrer" (et on ne leur dit pas, ou pas bien). Je reprends la métaphore de Christophe C (peut-être même que je paraphrase !) : un exercice de maths est un labyrinthe avec des murs invisibles. On commence à faire des maths quand on arrive à sortir du labyrinthe (un peu d'inspiration est demandée) mais sans franchir les murs invisibles (on respecte les "règles du jeu des maths" - c'est-à-dire qu'on démontre ce qu'on raconte).
Donner un exercice sans préciser sous quelle forme la réponse est attendue correspond à leur dire :" voici un labyrinthe, il y a dix mille sorties, il y en a une qui est plus belle mathématiquement et je veux que vous la trouviez". Comment espérer qu'en donnant des exercices comme celui-là, d'entrée de jeu, les étudiantes et étudiants arrivent tout d'un coup à démontrer correctement ? Et, pire encore, comme ces exercices admettent quasiment tout le temps des réponses "bêtes" (car répétition de la question) mais mathématiquement correctes, et qu'on ne les compte pas comme étant justes, cela sème en elles et eux l'idée que le respect de l'interdiction de franchir les murs est secondaire par rapport au fait de sortir du labyrinthe. Et ça, c'est très grave.
J'ai entendu que des profs de collège mettaient faux à des élèves qui "mettaient des racines au dénominateur" (à la consigne "simplifier cette fraction", la réponse $\frac{1}{\sqrt{2}}$ était considérée comme incorrecte - la réponse attendue étant $\frac{\sqrt{2}}{2}$).
Je ne suis pas (trop) contre le fait de donner des exercices qui ne commencent pas par "démontrer que", mais à condition que les personnes à qui on les donne aient déjà une idée claire de ce que sont les maths et de ce qu'est une démonstration.
Je me suis peut-être écarté de la question. Mais j'ai l'impression que ta proposition d'éradiquer (j'exagère) les "démontrer que" au profit de consignes plus ouvertes prétendait répondre au besoin de former les gens à la recherche ; et moi, je réponds que peut-être (et encore, je n'y crois pas trop) mais que c'est risqué d'encourager toutes les personnes qui ne feront pas de recherche sur des idées mathématiquement fausses.
Voilà voilà ! Bonne soirée !
Personnellement j'ai toujours préféré l'expression $\frac{1}{\sqrt{2}}$ qui me paraît plus simple, et j'ai constaté à maintes reprises que beaucoup (la plupart ?) des étudiants de première année n'ont pas conscience que $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}2$
Bien sûr, je ne veux pas transformer des collégiens en des chercheurs en mathématiques, les exemples que j'ai donnés ne devaient servir qu'à illustrer mon propos (peut-être que je m'y suis pris maladroitement).
Ce que je voulais dire, c'est que pendant mes études, on ne m'a pas vraiment appris/permis d'apprendre à "faire de la recherche". Dans le sens, face à un problème ouvert, en étant non guidé, développer une méthode de travail qui permette d'aboutir à des résultats pertinents (donc : qui ont une chance de faire avancer le problème) sans que ça prenne trois plombes.
Mon exemple de $(a+b)^n$ était à comprendre comme ça :
Si la question est "montrer que $(a+b)^n = \displaystyle \sum ...$", on est guidé par le résultat. Je sais quoi obtenir, je n'ai plus qu'à trouver comment. Et évidemment, à des fins pédagogiques, c'est très bien comme ça, l'exercice en question servant (au moment où on apprend à le résoudre, donc en lycée/L1) généralement à travailler le raisonnement par récurrence, le calcul avec des sommes, des factorielles, des changements d'indices etc.
Si la question était "pour tout $n$, trouver une formule de développement en somme de $(a+b)^n$", l'exercice serait tout à fait différent. Ici, on ne sait plus exactement quel est le résultat à trouver. On a une idée de ce qu'on cherche, mais c'est tout. J'utilisais ça comme un parallèle avec un chercheur en mathématiques qui explore une théorie dont tous les résultats importants ne sont pas encore connus (puisque c'est son travail de chercheur de les trouver, justement). Dans le sens : dans ma théorie, il y a un objet A et un objet B, y a-t-il un lien entre les deux ? On ne peut pas répondre à cette question de la même manière qu'on répondrait à "montrer que le lien entre A et B est ...", simplement parce qu'on ne connait pas le résultat. On ne sait même pas s'il y en a un, comme si j'avais demandé "pour tout $n$, existe-t-il une formule pour développer $(a+b)^n$ en somme ?"
Donc je me demandais s'il est possible d'apprendre une démarche, une méthode, pour parcourir l'inconnu avec nos connaissances, sans vraiment savoir lesquelles seront utiles ou pas. Visiblement, tout le monde dit que non, que chacun se débrouille à sa manière.