0^0
Bonjour
Au niveau de la seconde, que dîtes-vous aux élèves à propos de $0^0$ ?
Dans les manuels on trouve "pour tout nombre relatif $a$, $a^0=1$".
Est-ce que l'on dit alors que $0^0=1$ ? Par ailleurs on trouve que $a^n/a^m=a^{n-m}$ pour $a\neq 0$.
Mais si on prend $a=0$ et $m=0$, $a^n/a^m=0/1=0$ et c'est bien défini.
Au niveau de la seconde, que dîtes-vous aux élèves à propos de $0^0$ ?
Dans les manuels on trouve "pour tout nombre relatif $a$, $a^0=1$".
Est-ce que l'on dit alors que $0^0=1$ ? Par ailleurs on trouve que $a^n/a^m=a^{n-m}$ pour $a\neq 0$.
Mais si on prend $a=0$ et $m=0$, $a^n/a^m=0/1=0$ et c'est bien défini.
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Réponses
On doit pouvoir trouver plusieurs fils de discussion sur ce sujet.
Oui, $0^0=1$. Bourbaki l'a dit.
Bonne journée ensoleillée ma non troppo.
Fr. Ch.
« On dit ... pour $a\neq 0$ [...] mais si on prend $a=0$ [...] »
:-S
On dit bien aux élèves $0^0=1$ et toutes les formules avec les puissances négatives ou avec les quotients sont valables pour la puissance d’un nombre (ici $a$) non nul.
Selon les définitions :
- celle du collège, naïve mais intuitive, avec les entiers naturels, puis relatifs : ce n’est pas défini et on choisit cette convention (après d’autres...)
- celle du supérieur avec les applications : c’est parfaitement défini et ça vaut $1$
e.v.
En algèbre et théorie des ensembles, on utilise très souvent la convention $0^0 = 1$.
Mais je rappelle que la fonction $(x,y) \in \,]0,+\infty[^2 \mapsto x^y \in \mathbb R$ n'admet pas de limite en $(0,0)$... Donc en analyse, on ne considère en général pas que $0^0 = 1$, ça conduit à des résultats faux sinon.
Par exemple, si $f(x)=e^{-1/x^2}$ et $g(x)=x^2$, alors $f$ et $g$ ont une limite nulle en $0^+$ mais $f^g$ ne tend pas vers 1 en 0.
En effet, la vigilance sera de regarder si les élèves, en analyse, interprètent bien, dans le cadre des limites, les formes $0^0$ (ou encore $1^{\infty}$ d’ailleurs), comme des formes indéterminées.
J'ajoute que les arguments d'EV dans son post sont certes convaincants, mais ils restent des arguments pour une convention. Le fait que $0^0=1$ n'est pas un résultat.
Si $A,B$ sont des ensembles (finis pour simplifier) ayant respectivement $m$ et $n$ éléments, le nombre de fonctions de $A$ dans $B$ est égal à $n^m$.
D'où le $0^0=1$.
Quant à la "réalité" il se passe dans le monde réel le fait que en maths TOUT LE MONDE sauf les apparatchiks qui dirigent le lycée et le collège d'une main de fer, utilise cette convention.
Cette convention bien pratique pose cependant des problèmes de cohérence, ce qui explique qu'on n'en parle pas trop au lycée (*). Par exemple toutes les puissances d'exposant entier positif de 0 sont nulles .. sauf l'exposant 0; et, avec les définitions adéquates (**), toutes les puissances d'exposant rationnel positif de 0 sont nulles .. sauf l'exposant 0.
Mais j'ai toujours enseigné cette convention quand elle était utile (par exemple l'écriture $\sum a_ix^i$ des polynômes). En première et terminale C, ce n'était que là qu'on en avait besoin.
Cordialement.
(*) On l'évoquait avec prudence à l'époque où les programmes du lycée étaient essentiellement "une activité déductive basée sur des définitions précises", après 1970.
(**) avec les racines n-ièmes
Je renonce, on ne peut pas changer les certitudes irraisonnables.
2/ Pour moi "forme indéterminée" signale que le cas n'est pas prévu par les tableaux du cours, bien pratiques, car ils permettent une rédaction concise du style "par composition et opérations sur les limites". De ce fait "forme indéterminée" signale que le boulot commence, même si sur de trop nombreuses copies, cela signifie "j'ai fini mon boulot, le reste c'est du tord-méninge pas vraiment de mon ressort".
3/ Je serais très surpris qu'on ne puisse pas produire un problème de limites - ne serait-ce qu'avec des fonctions constantes - dont la solution soit indécidable.
Sinon, pour le reste, je suis du même avis que vous : Je m'en fous complètement.
e.v.
Le problème n'est pas pour les matheux (relire le message initial), mais pour le formation des lycéens.
C'est bizarre comme le fait de signaler que ce "théorème" n'est pas si intuitif que ça fait réagir les matheux de façon irréfléchie ....
Certes la définition du produit itéré est peut-être naïve mais elle n’est tout de même pas folle.
En effet, comme Gérard, on a l’impression que rien n’est lu, que la question est évoquée lors d’une soutenance d’HDR.
En maths les axiomes et définitions sont des conventions, et l'appartenance ou non d'un énoncé quelconque à l'ensemble (mot employé dans son sens intuitif sans référence particulière à une théorie mathématique) des théorèmes (énoncés productibles à partir de règles spécifiques et d'axiomes convenus à l'avance et de rien d'autre) est un phénomène naturel. C'est comme aux échecs: les règles du jeu sont inventées arbitrairement, le fait qu'une position est un gain forcé, non. Rappelons aussi que tout axiome d'une théorie est un théorème de cette théorie (parmi les règles spécifiques évoquées ci-dessus se trouve la simple citation*).
$0^0=1$ est donc un théorème dans tous les cas.
L'expression "forme indéterminée" n'appartient pas au discours mathématique à proprement parler mais plutôt au méta-discours: comme dit plus haut, il s'agit d'abréger "la présente écriture n'est pas directement traitable avec les recettes que j'ai dans mon cours". Il n'existe pas de prédicat "forme indéterminée" en maths. Vous n'avez pas de théorème qui commence par "Pour tout $h \in \Phi$, si $h$ est une forme indéterminée alors ...".
Or les élèves peuvent percevoir à tort cette notion comme une véritable propriété mathématique ce qui engendre des confusions très handicapantes (lorsqu'il s'agit de calculer des limites un peu plus difficiles, voir les mini drames que provoquent les calculs d'équivalents d'expressions où par exemple une somme apparaît).
En fait on a introduit ce terme parce qu'à défaut de faire vraiment comprendre les limites aux jeunes, on essaie de les leur faire calculer comme de mauvais logiciels de calcul formel, à coups de hacks ("si je vois la lettre $x$ ici et là, je fais ça..."), après je jette la pierre à personne (ce chapitre est difficile pour presque tout le monde dans tous les cas) mais les contresens engendrés par certaines présentations aggravent les problèmes à mon avis.
Ces théories sont toutes deux contenues dans la théorie des ensembles dont l'inconsistance n'est toujours pas établie.
La "théorie des limites de fonctions" ne dit pas grand-chose à part que l'application à valeurs réelles définie sur $]0,+\infty[^2$ par $x,y\mapsto x^y$ n'admet pas de prolongement continu à $[0,+\infty[^2$.
Je n'ai pas dit qu'il était intuitif.
[size=x-small](*)Je mets au défi les détracteurs de ce fait (un axiome est un cas particulier de théorème) de citer un seul exemple de livre de logique formelle, ou de logiciel de vérification de preuves comme coq, mizar etc... où cette convention-là n'est pas respectée.[/size]
Les formes indéterminées ne datent pas d'hier.
Elles y apparaissent en bas de la page 177.
Ce n'est pas une invention de nos pédagogogistes en place et je ne partage pas tes réticences.
Comment fais-tu pour t'en passer ?
Tu ne dis rien pour ne pas traumatiser les potaches avec des mots qui sortent strictement du lexique mathématique orthodoxe ?
Tu dis : "tiens je vais écrire un développement limité à l'ordre 3, ça fait longtemps qu'on n'en a pas fait" ?
Sinon, tout ça est complétement hors-sujet.
Dans le nombre $0^0$ je ne vois pas apparaître le mot limite, ni aucune forme indéterminée aussi nuisible soit-elle. Maintenant si vous me dites que ce n'est pas un nombre mais un truc vachement conceptuel dont les tenants et aboutissants m'échappent comme anguille sur verglas, je remballe mes gaules et vous laisse à vos arguties.
e.v.
Il serait donc mieux de dire que par convention a^0=1 pour tout réel a non nul et que 0^0 n'est pas défini.
Par ailleurs, pourrait-on donner une explication compréhensible par un élève de seconde sur le pourquoi nous ne définissons pas 0^0 ?
On peut dire beaucoup de choses, comme le fait que la terre est plate ou que "0^0 est non défini". Ca n'en fait pas des vérités pour autant.
"Le monde pullule d'abrutis et malheureusement certains accèdent aux responsabilités de faiseurs de programme de lycée".
Pour une explication plus politiquement correcte, je n'ai pas d'idée.
Soit un polynôme qu'on écrit comm' d'hab' : $\displaystyle P(x)=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}a_{k}x^{k}$.
Seule la « convention » $0^0=1$ peut permettre d'affirmer : $P(0)=a_{0}$.
On pourrait rechercher tout ce qui a été dit sur ce forum à propos de $0^0$. J'ai une anecdote personnelle à ce sujet, mais je suis certain de l'avoir déjà racontée. Un vieux, ça radote.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
C'est la seule facon de garantir qu'on puisse substituer sans risque pour calculer une limite, ce qu'on fait en premier quand on calcule une limite. Je pense que c'est une mauvaise idee de donner une valeur conventionnelle a 0^0 parce que cela va fatalement embrouiller les eleves/etudiants qui calculeront des limites, il vaut bien mieux considerer que c'est indetermine/indefini.
(Si on a 2 fonctions f et g qui tendent vers 0 en x=0, on peut garantir que f^g tend vers 1 si f et g sont developpables en series entieres en 0 et f non identiquement nulle, mais on ne peut rien dire en general).
Elle accepte sans barguigner $3^0$, $1^{-1}$ et même $1^{-1.}$ mais va savoir pourquoi, $0^0$ la fait gueuler au charron.
Sale bête.
Et on en découvre tous les jours.
e.v.
Comme quoi les concepteurs de calcul formel ne connaissent pas le théorème de Bourbaki.
dc
bc
scheme (avec guile)
Costauds, ces appartchiks, ils influencent même les américains de Maplesoft et de Wolfram (mathématica) !
Foys, inutile de continuer à t'énerver, regarde la réalité.
Cordialement.
Cordialement.
C blasphème lui aussi. Dennis Ritchie était-il un épigone de Bourbaki?
Une réalité sociologique intéressante (ou effrayante selon le point de vue) émerge (timidement tout de même vu la taille de l'échantillon):
Les logiciels de calcul formel à vocation pédagogiste (calculettes, maple etc) se vautrent dans les fausses maths, par contre les langages de programmation respectables et les outils des pros se rangent du côté de la vérité.
Personne n’est gêné pas le résultat qui vaut $1$.
Tu dis qu’on axiome est une théorème. Bon et bien dans ce cas, d’accord, c’est un problème sémantique.
Une définition, pour moi, n’est pas un théorème.
Je pratique les maths dans un univers inconsistant, incohérent, indécidable ou incomplet, je n’en sais rien et je ne sais rien.
Reprenons : est-ce qu’un théorème est (nécessaire) un axiome ?
Les collégiens acceptent la définition des puissances entières positives supérieures à $2$.
Puis ils acceptent la puissance $1$.
Puis ils acceptent la puissance $0$ pour un nombre non nul et toutes les puissances négatives.
Avec ces définitions qui rendent compatibles les calculs déjà vus pour les puissances positives tout le monde est content.
A ce niveau du secondaire : pas de $0^0$.
Mais le prof donne la convention (acceptons « définition ») suivante.
Ok pour dire que c’est un axiome. Même si je trouve cela pompeux.
Au niveau de la classe de seconde, je pense que l'argument de Chaurien ci-dessus, avec les polynômes, devrait faire mouche, en prenant par exemple un simple trinôme du second degré.
Du point de vue de la logique, il est très dangereux de faire croire à des élèves qu'un théorème est une convention. On PROUVE que $0^0 =1$, on ne le pose pas.
Un axiome est un théorème mais non l'inverse en général.
Les axiomes sont des théorèmes.
Ce sont même les théorèmes les plus faciles - je sais, facile n'appartient pas au discours mathématique - à démontrer à partir des axiomes. Les mains dans les poches.
@ Cyrano.
Ce n'est pas aussi simple. Toute la discussion (et la prise de tête) vient de ce que les différents intervenants ont des définitions - donc des conventions - différentes de truc à la puissance bidule. (et vas-y que je te quantifie pas, au passage) Donc pour les uns $0^0 = 1$ est un théorème, et pour les autres c'est un non-sens.
J'applaudis des quatre sabots. Merdre je m'ai cassé la gueule. À part ça "dangereux" n'appartient pas au discours mathématique1.
C'est vachement bizarre de définir quelque chose d'une façon au secondaire et autrement dans le supérieur.
Soit tu n'as jamais de $0^0$, et là amuse-toi avec les polynômes de Chaurien ou la théorie de l'intégration, soit tu l'acceptes dès le début, sachant, qu'il n'y a pas de difficulté conceptuelle.
J'attire ton attention qu'en créant un cas particulier dans le secondaire $m^0$ est défini SAUF si $m=0$, tu introduis une difficulté là où il n'y a pas lieu d'en faire apparaître.
Je me suis laissé dire qu'en didactique, c'était pas à faire.
e.v.
1 Mouais, faudra expliquer ça à Archimède.
D'autre part rien d'etonnant a ce que plusieurs logiciels qui utilisent la meme librairie C renvoient tous la meme valeur.
Par définition, on a \( \forall x\in \R, \; x^0 = 1 \), donc en spécifiant \( m = 0 \) on a bien \( 0^0 = 1 \).
Dis-moi, ce que tu ne comprends pas
amicalement,
e.v.
C’est fait dans la page de Bourbaki donnée plus haut.
Dans Numworks, la calculette répond undef dans l’appli Calculs et 1 dans l’appli Python.
-- Schnoebelen, Philippe
nicolas.patrois: je n'ai pas accès au reste de Bourbaki. Comment est défini $a^b$ pour $a$ et $b$ des entiers naturels ?
Quel est le problème ?
Il va bien falloir définir quelque chose quelque part.
Une définition est une convention.
C'est bien parce que les différents intervenant n'arrivent pas à convenir d'une définition que le débat part en sucette cosmique.
e.v.
Et pour moi, il faut mettre du gigot de mouton dans le cassoulet.
e.v.
[ Je déclenche le chronomètre. ]
Encore une fois je suis d'accord à 100% avec le fait qu'une définition conduisant (peu importe comment) à $0^0=1$ est le meilleur choix, mais parler de théorème (au sens méta-mathématique, pas formel/logique) me parait assez abusé.
Dans ce cas-là, il va falloir se réunir, discuter, s'engueuler, voter entre deux claquements de portes, ce qui a droit de porter le nom de théorème méta-mathématique parmi les théorèmes logiques (mathématiques ?).
Quand tu vois ce qui défile dans ce fil, ça va pas être triste.
Une fois de plus, on se heurte à cette distinction entre les mathématiques et faire des des mathématiques : activité humaine si l'en est. Asine à la rigueur.
e.v.