0^0

Foys · August 2019

Héhéhé a écrit:

Quelqu'un peut me donner la démonstration que $0^0=1$?

Pour le point de vue dit "des cardinaux":
Si $A,B$ sont des ensembles, $B^A$ désigne l'ensemble des parties $R$ de $A\times B$ telles que
(i) pour tout $u\in A$, il existe $v\in B$ tel que $(u,v)\in R$
(ii) pour tous $f \in A$ et tous $g,h\in B$, si $(f,g)\in R$ et $(f,h)\in R$ alors $g=h$
autrement dit les $R$ telles que pour tout $p$ dans $A$, il existe un unique $q$ dans $B$ tel que $(p,q)\in R$.

Les éléments de $B^A$ sont souvent appelés "fonctions de $A$ dans $B$".

On peut montrer que pour tout ensemble $X$, $X^{\emptyset}$ contient un seul élément, en effet:
Soit $X$ un ensemble. Alors pour tout $u\in \emptyset$, il existe un unique $v\in E$ tel que $(u,v)\in \emptyset$. En effet par l'absurde, dans le cas contraire il existe $u_0$ tel que $u_0 \in \emptyset$ (*) et tel qu'il n'existe aucun (ou plusieurs)$v_0$ tels que $(u_0,v_0)\in \emptyset$. Mais (*) est fausse car $\emptyset$ est vide d'où une contradiction.
Ceci montre que $\emptyset \in X^{\emptyset}$.
Unicité: on a $X^{\emptyset}$ contenu dans l'ensemble des parties de $\emptyset \times X$ (édité) or $\emptyset \times X$ est vide, donc sa seule partie est $\emptyset$.

Lorsqu'on prend pour définition de $b^a$ le cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble de cardinal $a$ dans un ensemble de cardinal $ b$ on a immédiatement via ce qui précède, $0^0=1$.

Lorsque $m^n$ n'est pas défini par des cardinaux mais par induction (habituellement: pour tout $n$, $n^0:=1$ et $n^{k+1}:= n \times n^k$ ce qui est le cas de tous les langages fonctionnels avec des entiers à la Peano), $0^0=1$ est conséquence immédiate de la définition.

Parfois $x,y \mapsto x^y$ désigne une fonction partielle de $\R$ dans lui-même : il ne s'agit que du prolongement de la fonction de même nom définie sur les entiers.

Dom · August 2019

Voyons cher ev,

En 4e :
On peut raconter les histoires suivantes.
« Au lieu de multiplier par $a$ et monter d’un étage, on divise par $a$ pour descendre d’un étage. Mais attention les petits loups car pour diviser par $a$, faudrait quand même qu’il soit non nul !!! ».
Cette histoire n’est pas du pédagogisme :
On définit par récurrence (bah oui ça pourrait se faire, sans utiliser le mot ‘récurrence’) les puissances, si on est puriste en faisant $u_1=a$ puis pour $n$ naturel supérieur à $2$ non nul $u_n=a\times u_{n-1}$.
Évidemment j’ai commencé à $1$ mais, défini par le produit, c’est plutôt à partir de $2$ qu’il serait légitime de commencer.
La fonction $\times$ prend deux arguments.

Édit : je viens de voir le dernier message de Foys.
Commencer à 1 comme je fais n’est pas naturel (oui c’est de l’humain).
Commencer à 0 non plus.
On le fait car on sait ce qu’il se passe.
Rappelons qu’on commence en 6e-5e à dire « $u\times u$ se note $u^2$ ».
Il ne vient à personne de vouloir penser à $u^1$ à ce stade.

On obtient ensuite « naturellement » les puissances nulles et négatives puisqu’on peut diviser par $a$ tant qu’on veut.
On « remonte » les calculs...

Ainsi il est naturel de poser/définir/choisir la convention pour $a$ non nul, $a^0=1$.
Il n’y a pas de problème.
Mais on ne règle pas le cas $0^0$.
Le raisonnement précédent ne fonctionne pas.

À bien d’autres :
Je crois que la discussion est impossible manifestement.
Je n’ose pas dire qu’il s’agit de mauvaise foi, ce serait désagréable et certainement tomber à côté connaissant la qualité des intervenants.

Arriver là et dire « bah les gars, puisque $2^3$ c’est le nombre d’applications machin-chose, c’est évident qu’avec zéro partout ça fait 1 !!! M’enfin !!! » c’est vraiment n’avoir rien compris au contexte.

Bref. On raconte toujours les mêmes choses. L’auteur selon moi parle des puissances définies comme ça. Avec la multiplication. C’est en 4e que ça se fait. Voilà pourquoi je m’y suis mis. Même si l’auteur parle du lycée.

Ça tourne carrément en rond.... « Bah les gars, voyons, m’enfin... ».

Héhéhé · August 2019

Merci Foys pour cette réponse détaillée.

Comme le souligne Dom, je vois mal comment utiliser ces définitions/démonstrations pour justifier que $0^0=1$ à des élèves de seconde...

Corto · August 2019

Héhéhé : si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels on peut définir $a^b$ comme le cardinal de l'ensemble des fonctions allant d'un ensemble $X$ ayant $a$ éléments vers un ensemble $Y$ ayant $b$ éléments. On peut montrer que cette définition a bien un sens, ce cardinal ne dépendant pas du choix de $X$ et $Y$. Pour $0^0$ on cherche donc les fonctions qui vont de l'ensemble vide dans l'ensemble vide, il se trouve qu'il y en a exactement une (appelée fonction vide). On a donc bien (avec cette définition) démontré $0^0=1$.

Un abstract nonsense pas vraiment passionnant (même si bien pratique) à mon humble avis personnel.

Edit : Foys a été plus rapide.

verdurin · August 2019

Bonsoir,
j'ai l'impression que la notation $x^y$ recouvre plusieurs choses différentes, disons au moins 4.

l'ensemble des applications de $x$ dans $y$ ;
le cardinal de l'ensemble précédent avec $x$ et $y$ désignant les cardinaux des ensembles précédents ;
si G est un groupe multiplicatif d'élément neutre $e$ on défini les puissances par $x^0=e$ et $\forall (x,n)\in G\times \Z\ x^n=x\cdot x^{n-1}$ ;
c'est l'application de $\R^{*+}\!\!\times\R$ dans $\R$ définie par $(x,y)\mapsto x^y=\exp(y\ln x)$.

Il me semble assez clair que si deux personnes utilisent des définitions différentes elles ne peuvent pas toujours être d'accord sur un résultat particulier.

Edit « dans $\R$ » rajouté.

Cyrano · August 2019

Attention à ne pas commettre de circularité.
On ne peut pas définir $2^3$ en disant que c'est $\exp(3\ln(2)).$ Pour la simple et bonne raison que $\exp$ dans sa définition (sous forme de série) requiert d'utiliser des expressions de la forme $x^n$. Il faut donc définir les puissances naturelles (par exemple, par induction) avant de définir l'exponentielle et la fonction $(x,y) \mapsto x^y.$

Et pour ceux qui voudraient définir $\exp$ via une équa diff ou l'inverse du logarithme, vous devriez faire attention et remonter toute la théorie en arrière pour bien être sûr qu'aucune puissance naturelle n'apparaît.

Dom · August 2019

C’est un dialogue de sourd.
Christophe a repris le témoin l’autre côté et avec son style, que j’avoue juger irrespectueux.

Ou comment se mettre des œillères....en plus d’être sourd.

On n’est pas en train de débattre de la meilleure définition. On n’est pas en train de dire que les 4e voient des choses géniales sur les puissances.
On parle du secondaire où la définition des puissances par induction n’existe pas, du moins à ce stade (ni les autres parlant de cardinaux des ensembles, faut-il le préciser).
Ce n’est qu’avec l’intuition du produit itéré que les profs travaillent.
Je n’y peux rien, c’est un fait, un constat.

Il ne s’agit pas non plus du sexe des anges.
Je ne comprends pas cette faculté à nier le sujet en en prenant un autre.

verdurin · August 2019

Bonsoir Cyrano.
Tu peux remarquer que j'ai défini ce que tu appelles « puissances naturelles » juste avant de parler d'exponentielle et de logarithme.
On peut rajouter $\forall n\in\N^*\ 0^n=0$ et $\exp(x)=1+\sum\limits_{\N^*}\frac{x^n}{n!}$.

Mais ce n'est pas vraiment le problème.
Qui est plutôt que $2\times2\times2=\exp(3\ln(2))$, et qu'il est donc « naturel » de les écrire de la même façon.

Et que l'on va avoir un conflit entre la seconde et la quatrième définition quand on écrit $0^0$.

C'est tout le sujet de ce fil et, à mon avis, il est assez vide de sens.

Cyrano · August 2019

Bonsoir Verdurin.

Non, il n'y a pas de conflit. La fonction $(x,y) \mapsto x^y$ n'est simplement pas continue en $(0,0)$.
Est-ce un si grand drame ? On peut se consoler en se disant que la fonction $x \mapsto x^x$, elle, elle l'est.

verdurin · August 2019

Bonsoir Cyrano.
Sur quel ensemble définis-tu la fonction $(x,y)\mapsto x^y$ ?
Et comment la définis-tu ?

Foys · August 2019

Dom a écrit:

On parle du secondaire où la définition des puissances par induction n’existe pas, du moins à ce stade (ni les autres parlant de cardinaux des ensembles, faut-il le préciser).
Ce n’est qu’avec l’intuition du produit itéré que les profs travaillent.

(c'est moi qui mets en gras et en rouge)
En fait les deux notions colorées sont la même chose.
Sans concept d'induction a priori (et sans le point de vue des cardinaux), comment est-il seulement possible de comprendre $p^q$ ou $p,q$ désignent n'importe quel nombre?

Foys · August 2019

Au passage une itération, ça commence à zéro souvent.

Le modeste programme en python ci-dessous calcule des puissances d'entiers, à partir d'itérations.
Et bien sûr il renvoie 1 lorsque on lui met $(0,0)$ en argument.

tournicoti@tournicoton:~$ python
Python 2.7.9 (default, Jun 25 2019, 03:39:02) 
[GCC 4.9.2] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> def ma_puissance (p,n):
...     if n == 0:
...             return 1
...     else:
...             return p * (ma_puissance (p,n-1))
... 
[color=#FF0000]>>> ma_puissance (0,0)
1[/color]
>>> ma_puissance (3,3)
27
>>> ma_puissance (4,9)
262144
>>> ma_puissance (9,5)
59049

Dom · August 2019

Non Foys, ce n’est pas la même chose car dans cet extrait, quand je dis « produit », je parle du collège où un produit a au moins deux facteurs (deux arguments).
On touche enfin...presque...le cœur de la discussion.

Foys · August 2019

Dom a écrit:

je parle du collège où un produit a au moins deux facteurs (deux arguments).

Comme dans "$1\times x = x$" et $1 \times 1 = 1$ ?

Dom · August 2019

Je veux bien que l’on joue.
Tout cela est fatigant.

La première fois qu’un gamin voit la notation « $^2$ » sur un nombre, c’est pour écrire plus rapidement un produit du nombre par lui-même.
Il rencontre AVANT la notation exposant avec les unités de mesure de surface et de volume.

Il démarre à $2$, j’en suis navré. Puis il continue avec les autres entiers supérieurs à $2$.
Il « accélère » le produit du nombre par lui-même $n$ fois.

La définition donnée est « quel que soit l’entier $n$ supérieur ou égal à $2$, et quel que soit le nombre $a$, la $n$-eme puissance de $a$, est le produit des $n$ facteurs tous égaux à $a$, et on note $a^n$ ce nombre. ».
C’est en ce sens que la définition, si pourrie soit-elle, fonctionne mal.
« Le produit des $1$ facteurs tous égaux à $7$ » n’a pas de sens car l’opération $\times$ n’est pas définie avec un seul argument DANS CE CADRE.

Tout le reste « y’a qu’à, faut qu’on, il suffit de » m’amuse terriblement puis me fatigue.
Toi, tu ne sembles pas fautif, mais d’autres sont honteusement de mauvaise foi ou très incompétents.

La technique de la guerre d’usure va fonctionner.
Après tout on trouve plein de conneries sur les réseaux sociaux sans qu’elles soient démenties.

verdurin · August 2019

Dans le genre « preuve par un programme »

>>> def ma_puissance(p,n):
	if p==0 : return 0
	if n==0 :
		return 1
	else :
		return p * (ma_puissance (p,n-1))

	
>>> ma_puissance(3,3)
27
>>> ma_puissance(0,0)
0

Ce qui ne prouve pas que $0^0=0$.
Et

>>> ma_puissance(2,-2)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#11>", line 1, in <module>
    ma_puissance(2,-2)
  File "<pyshell#8>", line 6, in ma_puissance
    return p * (ma_puissance (p,n-1))
  
  
  File "<pyshell#8>", line 6, in ma_puissance
    return p * (ma_puissance (p,n-1))
  File "<pyshell#8>", line 2, in ma_puissance
    if p==0 : return 0
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison

( J'ai supprimé beaucoup de lignes) ne prouve pas que $2^{-2}$ n'existe pas.

Foys · August 2019

verdurin a écrit:

Dans le genre « preuve par un programme »

Le mien est plus court B-): tu as besoin de rajouter artificiellement une condition en plus.

Foys · August 2019

Dom a écrit:

La définition donnée est « quel que soit l’entier $n$ supérieur ou égal à $2$,

Bref c'est le secondaire qui bâtit de toutes pièces des fausses conceptions chez les élèves, et après soit ils arrêtent complètement les maths (et oublient toutes ces usines à gaz), soit il faut tout réapprendre de zéro dans le supérieur.

Dom · August 2019

Oui ! C'est ça !
Et c’est pourquoi la question originale du fil est pertinente.
« J’suis dans la mouise, comment faire au mieux ? ».

J’ai mis un lien vers l’officiel pour Christophe. Je ne vais pas le charger ici.
On y lit notamment :

« La définition des exposants 0 et 1, de même que celle des exposants négatifs, demandent certaines précautions car il ne s’agit plus de produits itérés. »

Il s’agit d’un « document d’accompagnement des programmes ».
C’est instructif. Ici : https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Puissances/94/2/RA16_C4_MATH_doc_maitre_puissances_N.D_555942.pdf
La page qui donne cette source : https://eduscol.education.fr/cid99696/ressources-maths-cycle-4.html

Merci Foys d’avoir eu le courage de vouloir saisir quelque chose sans déconsidérer ton interlocuteur.

Foys · August 2019

Eduscol a écrit:

« La définition des exposants 0 et 1, de même que celle des exposants négatifs, demandent certaines précautions car il ne s’agit plus de produits itérés. »

C'est effrayant d'être aussi bête (Dom ton lien ne marche pas, j'ai dû aller consulter celui de l'autre fil pour voir que cette citation hallucinante y figurait bel et bien edit: le lien marche).

[large]POURQUOI EST-CE QUE J'ARRIVE A PROGRAMMER UNE FONCTION QUI CALCULE LES PUISSANCES D'ENTIERS NATURELS (AVEC 0^0=1) EN CINQ LIGNES EN COMPTANT LE TITRE, SANS JAMAIS PRENDRE UNE SEULE DE CES PRETENDUES PRECAUTIONS?[/large]

lien: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1850838,1851182#msg-1851182

Sérieusement ce texte n'apprend rien du tout en maths, il renseigne seulement sur les confusions mentales lourdes qui existent dans la tête de son auteur.

gerard0 · August 2019

Dom,

laisse tomber, tu es face à des gens qui ne lisent que ce qu'ils écrivent et décodent les phrases des autres avec le filtre de leurs propres certitudes. Le message précédent est d'une indigence intellectuelle rare, qui ne peut s'expliquer que par le style polémique de celui qui ne veut pas discuter mais gagner la bataille verbale.
Tu le sais, sur ce forum, il y a une bande qui gagne toujours par épuisement des autres. Ne t'épuise pas.

Et Bulledesavon a pu penser par lui-même que c'est inutile de poser ce genre de questions ici.

Cordialement.

Dom · August 2019

Foys : lien corrigé, merci.
J’ai essayé de justifier comprendre ce texte de manière rationnelle depuis le début.
Je ne dis pas que je le cautionne.
Ce que je dis depuis le début commence dès la page 1, en bas, dans « progressivité... ».

Par contre cela m’étonne que tu utilises le même registre que Christophe en disant « ... les confusions mentales lourdes qui existent dans la tête de son auteur. ». C’est peut-être vrai, je n’en sais rien, vraiment.
Mais c’est surtout la manière dont ça sert parfois en tant qu’argument d’autorité « si tu dis ça, c’est que t’es cinglé ou encore traumatisé etc. ». J’ai même lu une évocation du syndrome de Stockholm. Ça tue le débat puisque celui qui est en face « ne se rend pas compte ... ».

Au moins tu as vu que ce que je disais était vrai et officiel.
Mon analyse (l’essai de comprendre la motivation de ce texte) n’est peut-être pas la bonne, je veux bien le reconnaître.

Gérard :
En effet, presque tout le monde est arrivé avec ses gros sabots, sans lire.
C’est quasiment dictatorial.
Je ne vais sur aucun autre forum. Je me dis que ce doit être pire encore.
Ici, il n’y avait pas de désaccord, juste des faits. Mais qui saura le reconnaître ?

Tu as raison. À quoi bon s’épuiser. Il n’y a rien à gagner.
Je ne me permettrai pas de psychologiser.

ev · August 2019

Je vais essayer de répondre @ bulledesavon en m'appuyant sur l'engueulodrome qui précède. Je rappelle que je me place dans une classe de seconde. Les puissances ont déjà été vues au collège. Plus ou moins bien.

1/ $0^0$ existe et surtout est utilisé.
2/ Pas nécessairement en classe de seconde, mais certainement plus tard.
3/ Pas question qu'il y ait à ce moment-là des objurgations du style "Le prof nous avait dit que $0^0$ ça existait pas !"
(ou les angles de plus de 360°, je dois en oublier un paquet.)
4/ Les programmes mettent l'accent sur les algorithmes et la programmation, profitons-en.

Ma suggestion, je pense qu'elle est raisonnable.
1/ Racler les cortex des potaches pour en faire sortir une définition de la puissance positive d'un nombre relatif.
Ne pas hésiter à la retravailler.
2/ La traduire à la va-comme-j'te-pousse sous la forme d'algorithme qu'on cherchera le plus simple possible.
3/ En tirer un programme scratch/basic/python/choisis_ton_poison_Juliette.

4/ Si un petit malin mal intentionné ou pas te demande pour $0^0$, tu lui demande de faire tourner le programme. Sinon, tu la boucles avec une barre à mine. Pas question de faire croire qu'il y a un problème là où il n'y en a pas.
Si ensuite il te demande si c'est juste, tu lui réponds "Ben, on a fait tout ce qu'il faut, non ?"

5/ Tu fais programmer les puissances strictement négatives des nombres non nuls.

Remarques :
La même démarche peut se faire au collège dès l'introduction des puissances.
La question didactique est alors de décider si tu donnes la définition avant le programme.
Rien ne t’empêche de commencer à programmer la multiplication par un entier, positif puis quelconque.

L'histoire semi-officielle (un document d'accompagnement n'est pas un texte de loi, mais ta hiérarchie va te l'opposer si tu ne l'as pas suivi...) que faire une seule fois (ou zéro) c'est pas une itération est une aberration sémantique.
* iter - le chemin en latin - peut ne comporter qu'un seul pas. Tu marches sur une mine, game over. Dans le cas de Bloody Omaha, tous n'ont pas eu le temps de faire un pas de leur vivant.
* quand tu programmes une boucle, tu ne sais pas toujours combien de fois tu vas passer dedans. Peut-être une, peut-être zéro.
* Cette histoire d'avoir peur du vide/peur du zéro devient vraiment inquiétante. Nous voilà retourné bien loin en arrière. À une époque où tout se traduit par des zéros et des uns, si on enlève les zéros, il ne reste plus que les uns, c'est-à-dire compter sur ses doigts.

Rappelons-le, le zéro, l'ensemble vide et l'événement impossible sont indispensables pour faire des maths.

Après, tout ça, ce n'est que mon avis, chacun fait comme il aime.

amicalement,

e.v.

Rescassol · August 2019

Bonjour,

Histoire d'en rajouter un, pour Matlab, on a $0^0=1$. Je ne prends évidemment pas parti.

Cordialement,

Rescassol

ev · August 2019

@ Rescassol.

J'avais un tableur ouvert, je lui ai posé la question $ \tt =0^0 $. Il m'a très gentiment répondu 1.

Bon, quel est le score ? Quelle est la cote ?

amicalement,

e.v.

Dom · August 2019

Un dernier message :

a) la définition donnée dans les programmes n’est pas bonne
b) bulledesavon demande « comment faire avec $0^0$ ? »
c) des intervenants disent qu’il n’y a pas de problème (c’est compris dans « la » définition)
d) je dis qu’avec les programmes officiels, il y a un problème, (même pour la puissance 1) et j’en apporte la preuve

Je ne comprends pas à quel endroit je dis une bêtise.
À quel endroit il faudrait prendre parti ?
À quel endroit y a-t-il un désaccord ?

C’est fini pour ce fil, en ce qui me concerne.
Je remercie Foys d’être resté honnête.

ev · August 2019

@ Dom.

La seule erreur que je vois, c'est que les documents officiels ne définissent pas les puissances. Sauf erreur de ma part, j'ai lu le programme de cycle 4 avec mes lunettes pour lire en diagonale.
C'est le document d'accompagnement qui - une fois de plus - dit des bêtises.

En cherchant une définition algorithmique de $ a^n , \; a\in \R, \; n \in N $ la plus simple possible
1/ Tu vas prendre parti contre les documents d'accompagnements
2/ Tu vas tomber sur une définition qui in fine va
2.a te donner $ 0 ^0 = 1 $.
2.b te mettre en désaccord avec des (les ?) calculettes. Pas grave, tu expliques que c'est pas la première fois que la calculette a des vapeurs.
2. c te mettre en désaccord avec des (les ?) collègues. Ton atout majeur, tu as la définition la plus simple, disons la plus compacte.
2.d te mettre en désaccord avec ta hiérarchie. Mouais, c'est parce qu'ils n'ont trouvé que ça à te reprocher. S'ils t'ont à la bonne, tu peux raconter n'importe quoi en classe, et je t'assure qu'il y a des collègues qui ne s'en privent pas.

Il est important de tout quantifier.
1/ Parce que c'est comme ça que marchent les maths.
2/ parce que si on t'oppose un document ou pseudo-document (un document est daté et signé, ergo le document d'accompagnement - signé Furax - n'est pas un document) tu peux toujours dire à l'élève/ collègue, inspecschtroumpf qui te le colle sous le blair : "Ah, oui, mais c'est quantifié avec mon cul tout ça, tien, regarde, avec ma quantification, il n'y a pas de place au doute".

En cas de doute, Dom, rédige une (la ?) définition hallal. Compare avec la définition algorithmique simple.
Jette ce qu'il y a en trop au nom de la liberté pédagogique qui existe toujours. Si, si !

Même qu'on l'a retrouvée égorgée dans un fossé.

Ai-je répondu à tes questions ?

e.v.

parisse · August 2019

Matlab c'est du calcul approche, et il utilise la libc pour ca, comme R, comme bc, ...

ldd /usr/bin/bc
...
	libc.so.6 => /lib/x86_64-linux-gnu/libc.so.6 (0x00007f4232962000)
...

Je doute fort qu'ils aient du code specifique pour 0^0.
Notez aussi que le standard IEEE prevoit aussi une fonction pour renvoye NaN.

nicolas.patrois · August 2019

Pour la libc, il suffit d’aller voir dans le code source… et peut-être dans celui du compilateur.

Foys · August 2019

Ci-dessous, un extrait de la page de manuel de bc:

man a écrit:

expr ^ expr
The result of the expression is the value of the first raised to the second. The second expression must be an integer. (If the second expression is not an integer, a warning is generated and the expression is truncated to get an integer value.) The scale of the result is scale if the exponent is negative. If the exponent is positive the scale of the result is the minimum of the scale of the first expression times the value of the exponent and the maximum of scale and the scale of the first expression. (e.g. scale(a^b) = min(scale(a)*b, max(scale, scale(a))).) It should be noted that expr^0 will always return the value of 1.

Source: https://www.gnu.org/software/bc/manual/html_chapter/bc_3.html

omega · August 2019

ev a écrit:

(un document est daté et signé, ergo le document d'accompagnement - signé Furax - n'est pas un document)

@ev : ce n'est pas la première fois que tu dis cela. Mais tu tiens ça d'où ? Moi, j'ai bêtement regardé la définition du dictionnaire à plusieurs endroits et je n'ai vu nulle part cette nécessité d'être daté et signé. Donc quelle est ta source s'il te plaît ?

ev · August 2019

@ Omega.

Source : mon avocat.

amicalement,

e.v.

Foys · August 2019

ev fait peut-être référence à des documents adinistratifs ou au moins à des textes ayant un intérêt légal quelconque (pas des notes de cours, articles d'internet, etc)

parisse · August 2019

Bon, j'ai dit une bêtise pour bc, il n'utilise pas la librairie standard C/math pour les calculs puisqu'il travaille en multiprécision. Mais ça reste du calcul approché. Du coup, je viens de regarder la doc de la fonction pow de la librairie standard C, on y lit "If y is 0, the result is 1.0 (even if x is a NaN).". Ca ne me dérange pas que 0.0^0.0 renvoie 1.0 en calcul approché (les spécialistes de calcul approché ont sans doute de bonnes raisons de ne pas renvoyer NaN), mais je découvre que NaN^0.0 renvoie 1.0 et là ça me surprend.

xax · August 2019

Je suis assez convaincu par les arguments de Chaurien, Foys, Corto, mais il y a un truc qui me chiffonne : le ln(1) c'est bien défini, mais ln($0^0$) ça fait bizarre, dit d'une autre façon, j'ai l'impression que l'égalité $0^0 = 1$, si elle a un sens, est interne à la théorie des ensembles. Je suis pas assez savant pour l'affirmer et j'ai pas de volume de Bourbaki sous la main, mais je sais pas si la fonction vide a un sens en analyse.

Je dis peut-être des bêtises, mais si j'avais à enseigner ce genre de truc au collège, je dirais : "voilà, en théorie des ensembles on peut définir une puissance qui est un peu différente de l'itération, mais qui est bien pratique pour comprendre à quoi ça correspond ce $0^0 = 1$ - je pense que ça peut s'expliquer proprement et simplement - ET vous prenez vite le 1 quand ça se présente sans garder $0^0$"

Bon, évidemment je suppose qu'on doit plus trop voir de théorie des ensembles au collège de nos jours - et même au lycée - donc ce doit être vraiment duraille à faire comprendre.

Quant à la difficulté d'introduire ce genre de choses au regard des programmes officiels, à mon avis il n'y ni débat ni dispute à avoir puisqu'ils sont pourris. J'ai regardé rapidos les docs et la vidéo, c'est vraiment terrible, le prof a l'air sympa en plus, mais il ne se rend même plus compte de ce qu'il raconte. Ça fait peur.

Math Coss · August 2019

En quoi est-ce que $\ln 0^0$ est plus étrange que $\ln\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}}$ ? (Ici, $\ln$ est la fonction réelle, qui n'a pas de prolongement analytique/continu à $\C^*$ entier.) Serais-tu en train d'appliquer en-dehors de son domaine d'application la propriété \[\forall a\in\R^{+*},\ \forall b\in\R,\quad \ln a^b=b\ln a\,?\]Dans le même genre, tu pourrais t'étonner de l'égalité $1=\sqrt{(-1)\times(-1)}$.

nicolas.patrois · August 2019

xax, c’est du même genre que $\sqrt{6}=\sqrt{-2}×\sqrt{-3}$, non ?

noix de totos · August 2019

Ce sujet revient périodiquement ici, et sans doute sur d'autres forum. Il montre combien il est parfois difficile de faire concilier les mathématiques avec son enseignement dans les petites classes.

À ce sujet, Jean Jacquelin (Alias JJ sur ce forum) avait écrit une note intéressante publiée en ligne il y a quelques années, mais je ne la retrouve plus. Il y aura certainement quelqu'un qui la retrouvera.

Cidrolin · August 2019

Ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,910781,910843#msg-910843 ?

xax · August 2019

@Math Coss : non je n'applique pas du tout ça, je constate juste qu'il y a un problème quand on prend le ln terme à terme : il a un sens et est bien défini d'un côté, il est difficile à comprendre de l'autre,
@nicolas.patrois : non plus,
vous prenez des cas analytiques, alors que $0^0$ ne l'est pas.
les interrogations que j'ai viennent du fait que les raisonnements dont le plus détaillé est celui de Foys ont besoin de la fonction vide dont je n'ai pas idée de son sens analytique.

Je viens de voir qu'il y a un article dédié sur wikipédia qui semble être la traduction de l'article anglais, qui indique les même réserves : $0^0$ n'est pas de nature analytique : https://fr.wikipedia.org/wiki/Zéro_puissance_zéro et https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero

Donc en fait $0^0 = 1$ dont on a parfois besoin en analyse est un prolongement par continuité sémantique en dehors des domaines opérationnels où elle a un sens.

Je conçois que ça puisse marcher, qu'on l'utilise effectivement (cas des polynômes) et qu'on puisse utiliser la valeur dans des programmes ou des logiciels de calcul, mais je ne comprends pas bien pourquoi, le fondement théorique de la transposition. À mon avis ça existe forcèment, mais je ne l'ai pas vu exposé.

Donc, motivation première du questionnement ici, comment l'expliquer à des lycéens?

noix de totos · August 2019

Merci, Cidrolin. Tu joues à la perfection le rôle de mémoire du forum, comme le faisait jadis Bernard Schott, alias bs, qu'on ne voit hélas plus ici depuis quelques années.

Foys · August 2019

@xax: la page wikipédia dit n'importe quoi (c'est un concentré des confusions mentales de gens qui n'ont jamais réussi à vraiment saisir pourquoi $A^{\emptyset}$ n'est pas vide ou pourquoi $X\Rightarrow Y$ est nécessairement vraie quand $X$ est fausse*).

Quant au "sens analytique", il y a une unité en maths, le concept de fonction est le même dans toutes les disciplines (à distinguer de celui de programme informatique et de celui de terme bien typé d'un langage typé, même si certains voudraient assimiler toutes ces choses). Si les analystes ne traitent pas de fonctions définies sur l'ensemble vide, c'est parce que celles-ci n'ont aucun intérêt pour eux cependant ça ne veut pas dire que ces fonctions "n'ont pas de sens"

[size=x-small](*) à la lumière de la correspondance de Curry-Howard, ces deux problèmes sont en fait les mêmes.[/size]

Foys · August 2019

On est en train de retourner au moyen-âge et de revivre les difficultés des gens devant le concept de zéro (dont l'invention a été pénible certes).

Foys · August 2019

wikipédia a écrit:

Zéro à la puissance zéro, noté $0^0$, est une expression mathématique qui n'a pas de valeur évidente. Il n'existe pas de consensus quant à la meilleure approche

De consensus parmi qui? Quels gens? Ce serait bien de le préciser. Il y a un consensus sur 0^0=1 partout autour de moi (parmi les gens qui font des maths).
Aujourd'hui il n'y a pas de consensus sur la pertinence des vaccins dans la société (ce qui risque de provoquer de gros problèmes sanitaires à terme).

ev · August 2019

Donald Knuth (LST) rappelle l'histoire de la fonction $ x \longmapsto 0^{0^x} $.

e.v.

Cyrano · August 2019

Foys écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1850838,1851564#msg-1851564
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

J'ai discuté récemment avec un ami qui m'a dit "0 n'existe pas réellement car quand on écrit 0, il y a déjà un caractère donc le 1 est déjà présent".
Faut avouer que philosophiquement, ce n'est pas anodin de distinguer un concept de son symbole. Certaines personnes encore aujourd'hui d'ailleurs défendent l'idée qu'aucun concept mathématique "n'existe" en dehors de "sa notation".

nicolas.patrois · August 2019

xax a écrit:

@Math Coss : non je n'applique pas du tout ça, je constate juste qu'il y a un problème quand on prend le ln terme à terme : il a un sens et est bien défini d'un côté, il est difficile à comprendre de l'autre,
@nicolas.patrois : non plus,
vous prenez des cas analytiques, alors que $0^0$ ne l'est pas.
les interrogations que j'ai viennent du fait que les raisonnements dont le plus détaillé est celui de Foys ont besoin de la fonction vide dont je n'ai pas idée de son sens analytique.

Je ne vois pas pourquoi la formule fausse sur les racines carrées serait plus analytique que celle avec le logarithme.

Fin de partie · August 2019

0^0 ce sont les yeux de la tête de t0t0? X:-(

nicolas.patrois · August 2019

Ses lunettes.

biely · August 2019

L'élève moyen de seconde confond déjà l'élément neutre de l'addition et celui de la multiplication et nous sort régulièrement des choses du style 4/4=0 donc est-ce bien utile de se lancer dans une explication de la tête à t0t0?

0^0

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