Volume d'un tonneau

Si on définit ce que sont les « D », certainement mieux...

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tonneau_(formules)

La formule est un peu bizarre, elle paraîtrait un peu plus naturelle en simplifiant par 2 :
$V=\pi L\left[\dfrac{d}{2}+\dfrac{1}{3}\left(D - d\right)\right]^2$

Est-ce qu'on connaît les intégrales au lycée ?

L'étape 1, c'est de déterminer la fonction f qui donne le diamètre du tonneau, en fonction de x (x varie de -L/2 à L/2, par exemple)
f(-L/2) = f(L/2) = d
f(0) = D
Et la courbe y=f(x) est un arc de cercle... ça nous permet de trouver cette fonction f.

On peut ensuite voir notre tonneau comme une superposition de disques , d'épaisseur h très petite, et de diametre f(x) définie ci dessus ; on sait donc calculer le volume de chacun de ces disques très fin.

Et si on connaît la notion d'intégrale, on peut calculer le volume de ce tonneau, à condition de tomber sur une fonction 'intégrable'. Ici, on tombe sur un polynome de degré 2, donc l'intégrale ne pose pas de problème.

Bonjour,
Le volume du tonneau dépend évidemment de la forme de la courbure des douves , plus ou moins ventrues…. disons $y=f(x)$

On peut envisager le calcul suivant deux points de vue:
1) Calculer un rayon moyen sur une section diamétrale:$$r_m=\frac {\int_0^\ell f(t)dt}\ell$$ puis calculer le volume du cylindre de longueur $\ell$ et de rayon $r_m$ (voir figure en haut)

2) Appliquer le théorème de Guldin : le volume d'un solide de révolution engendré par une surface $S$ égale son aire multipliée par la distance parcourue par son centre de gravité $G$ (voir figure en bas)
On remarquera que la distance de $G$ au centre de gravité est pile poil $\frac 1 2 r_m$ et les deux méthodes sont équivalentes.

Moyennant ça, un jeune de terminale peut calculer le volume d'un tonneau s'il sait intégrer la fonction courbure de la douve. (?)
En particulier si les douves sont paraboliques, ça donne la formule proposée par bulledesavon (?) qui se simplifie un peu en termes de rayons au lieu de diamètres.

Bon nombre de mathématiciens et non des moindres y sont allés de leur formule.
Le grand Johannes Kepler s'est lui aussi intéressé à ce problème (Neue Stereometrie der Fässer). On lui attribue la formule : $V=(2D^2+d^2) \dfrac {\pi h}{12}$. Selon Wikipédia-fr, c'est une autre formule, mais il peu crédible que Kepler se soit contenté de l'approximation par deux troncs de cônes juxtaposés.
Les germanophones pourront consulter la page http://www.keplerraum.at/fass.html où il est question d'estimer la capacité du tonneau par lecture simple sur une jauge à graduation cubique que l'on introduit par le trou de la bonde…, méthode dite des douaniers sur Wiki-fr.

Amicalement. jacquot
[Edit : J'ai écrit des âneries ]

Bonjour Yves M,
Eh bien, j'avais fait la même faute avant de barrer:
Le rayon moyen ne convient pas, il faut prendre le rayon quadratique moyen, c'est à dire calculer la moyenne de $f(x)^2$ sur l'intervalle.
D'ailleurs ça revient alors au même que de calculer le volume par une intégration simple qui consiste à sommer des tranches cylindriques d'épaisseur $dx$.

Je me suis rendu compte que j'avais raconté des âneries quand j'ai essayé de vérifier pour un tronc de cône…
Amicalement. jacquot

Cherchant de vieux manuels pour l'ami xax, je tombe sur ça.

Merci Chaurien, pour cet intéressant extrait du Petit Archimède.

Pour Yves_M, on cherche une fonction telle que $f (0)=R $ , $f(\frac L 2)=r $ et $\displaystyle \int_0^{L/2}[f (t)]^2dt=\frac L{18}(2R+r)^2$

Mais l'article de Chaurien raconte que l'expérience avait montré que cette formule était un peu trop généreuse pour les tonneaux courants de l'époque.

Je pense qu'à l'époque on savait que l'assemblage de deux troncs de cône donnait $V=\dfrac{\pi L}{12}(D^2+Dd+d^2)$ et que l'on a essayé de bricoler la formule pour l'adapter à la ventripotence du tonneau en donnant pà $D $ une certaine prépondérance sur $d $.
Amicalement. jacquot