Axiome ou pas axiome
Bonjour
Je me place au niveau de la seconde.
Je souhaiterais montrer dans un cours de seconde que a<b équivalent à a+c<b+c en utilisant que a<b équivaut à a-b<0.
Du coup, je souhaiterais mettre la propriété a<b équivaut à a-b<0 en amont de la propriété a<b équivalent à a+c<b+c.
Seulement je m'interroge sur le statut de cette propriété. En effet je montre la deuxième à partir de la première et j'admets la première. Mais cette première peut-elle être démontrée ? A-t-elle le statut d'axiome ?
Merci.
Je me place au niveau de la seconde.
Je souhaiterais montrer dans un cours de seconde que a<b équivalent à a+c<b+c en utilisant que a<b équivaut à a-b<0.
Du coup, je souhaiterais mettre la propriété a<b équivaut à a-b<0 en amont de la propriété a<b équivalent à a+c<b+c.
Seulement je m'interroge sur le statut de cette propriété. En effet je montre la deuxième à partir de la première et j'admets la première. Mais cette première peut-elle être démontrée ? A-t-elle le statut d'axiome ?
Merci.
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Réponses
En fait, tu n'as pas besoin de formuler d'équivalence pour la première : "Si a<c, alors a+b < c+b " suffit. Ça exprime la compatibilité de l'ordre avec l'addition.
le seul livre que j'ai vu en parler est le
Casamayou, Pantigny et Combres : "Démontrer pour comprendre",
dont voici un extrait, qui répond à la question :
https://drive.google.com/file/d/1PmX3bfzJ4dHR4cfa8AKbZIE4DVMmZHDw/view
https://fr.shopping.rakuten.com/s/casamayou+pantigny#xtatc=INT-601
Amicalement,
Comme je l'ai déjà dit, formuler une équivalence est inutile. ""Si a <= c, alors a+b <= c+b " suffit.
Et pour la multiplication, outre les coquilles qui consistent à écrire deux fois a au lieu de a et b, il suffit d'avoir "Si 0 <= a et 0 <= b, alors 0 <= ab". Les autres sont conséquences de ça.
car coïncidence je suis justement en train de faire cours (contre mon gré le choix progression est mutualise dans mon bahut)
Choix que j'ai faits (de mon téléphone):
notion première "être positif". Déroulé des axiomes dessus.
u <= v est juste une abréviation de (v-u) est positif.
Plus tard "stratégie conseillée pour solve ineq": pas de ssi, etc. Juste se ramener à
"Truc>0"
viser ou une factorisation ou échouer.
Remarque : plan entraînant le plus court texte de cours et les plus courtes preuves sur <
Les ssi , passagse l'autre côté et autres pedagogismes laissés à responsabilité auteur copie (pas interdits donc mais pas cautionné par cours)
donne des calculs plus simples que
$a<b\Leftrightarrow a-b<0$
car les positifs sont stables par multiplication
Christophe c la propriété "a<b équivaut à b-a>0" est posée comme un axiome ?
Mais on ne va pas dire axiome dans un cours de seconde non ?
Pourtant je souhaiterais rappeler cette propriété pour l'utiliser pour démontrer des propriétés du type "a<b équivaut à a+c<b+c".
Je trouve que la première propriété posée devrait être la compatibilité de l’ordre avec l’addition.
Puis la même chose avec la multiplication (par un nombre positif).
Je préférerais dans un premier temps n’utiliser que le symbole $\leq$ (je veux dire toujours dans le même sens).
Ça fait échanger les membres quand, par exemple, on passe à une fonction décroissante (inverse de positifs, opposé, ...).
Avec ça on démontre plein de choses, notamment l’ordre sur les carrés, les racines carrées, les inverses...
Plus simple : ajout membre à membre, multiplication (positive) membre à membre.
Que ça soit d'un point de vue intuitif ou de la définition via les axiomes de Peano, la définition de $x\leq y$ est $\exists a\geq 0 y=a+x$. On démontre toujours dans Peano la compatibilité de l'annélide $(\mathbb{N},+,\cdot )$ avec l'ordre. Puis on constate la conservation de cette compatibilité en remontant à $\mathbb{R}$ via les procédés attendus: symétrisation, corps des fractions et "complétudition" (cette dernière repose d'ailleurs autant sur une méthode liée à l'ordre qu'à l'algèbre et pardon pour le néologisme). À chaque étape, il faut bien sûr redéfinir ce qu'est l'ordre, mais la recette est automatique et le nouvel ordre est systématiquement compatible avec l'ancien (exemple pour le passage de $\mathbb{Z}$ au corps des fractions: l'ordre induit $(a,b)\leq (x,y) \leftrightarrow ay\leq bx$ est compatible avec la relation d'équivalence $(a,b) .E. (x,y) \leftrightarrow ay= bx$ et on voit bien ce que ça donne avec $b=y=1$ pour retourner sur $\mathbb{Z}$).
Bref, de base, la définition ("axiomatiquement intuitée", ou démontrée dans Peano), c'est plutôt $a\leq b \leftrightarrow 0 \leq b-a$, mais on prend plutôt l'autre relation dans la formulation de la définition d'un groupe ordonnée, c'est équivalent (dans un groupe), mais ça permet de ne pas "rentrer dans le dur" dés la définition en y ajoutant la définition de ce qu'est un "élément positif".
Mais ce que je sais, c'est que pour axiomatiser la notion de corps ordonné, on peut au choix :
- avoir une relation d'ordre total, demander la compatibilité avec l'addition $a\leq b \implies a+c\leq b+c$ et la multiplication $(0\leq a\text{ et }0\leq b)\implies 0\leq ab$,
- ou avoir le sous-ensemble $P$ des éléments positifs ou nuls, auquel on demande d'être stable par addition et multiplication, que $P\cup -P$ soit le corps tout entier , et que $-1\not\in P$.
Le lien entre les deux est bien sûr $x\leq y \Leftrightarrow y-x \in P$.